2.3 第1课时 函数的单调性 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性与最值，从一次函数、二次函数图象入手，通过“观察特征—抽象定义—辨析概念（如‘任意’不可省、单调区间非定义域整体）—应用拓展”的学习支架，衔接已学函数与抽象性质。 其亮点在于以直观想象为核心（图象分析单调区间、最值实例），融合数学抽象（严谨定义表述）与逻辑推理（定义证明、二次函数分类讨论求最值），题型分层且注重易错点解析。助力学生形成数学思维，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

§3　函数的单调性和最值 【素养目标】 1．根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念．(数学抽象) 2．会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性．(直观想象) 3．理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题．(数据分析) 4．能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法．(逻辑推理) 5．掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法．(数据分析) 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 1．函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质． 2．单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)加深理解其含义及应用． 3．应少做偏题、怪题，避免烦琐的技巧训练． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 第1课时　函数的单调性 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 素养作业•提技能 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　函数的单调性 知识点1 函数 增函数 减函数 条件 设函数y＝f(x)的定义域为D，对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时， __________________ __________________ 结论 y＝f(x)是增函数 y＝f(x)是减函数 当I是定义域D上的一个区间时，函数y＝f(x)在区间I上单调递增 当I是定义域D上的一个区间时，函数y＝f(x)在区间I上单调递减 f(x1)＜f(x2)　 f(x1)＞f(x2)　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 提示：不能，不能用特殊代替一般． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　函数的单调性与单调区间 函数y＝f(x)在__________上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫作函数的单调区间． 思考2：区间D一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念． 区间D　 知识点2 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　函数的最大(小)值 设函数y＝f(x)的定义域为D，若存在实数M，对所有的x∈D，都有____________________，且存在x0∈D，使得___________，则称M为函数y＝f(x)的最大(小)值． 思考3：函数f(x)＝－x2的定义域为R，存在实数1，对所有的x∈R，都有f(x)≤1．那么1是函数f(x)＝－x2的最大值吗？为什么？ 提示：不是．因为不存在x0∈R，使得f(x0)＝－x＝1． f(x)≤M(f(x)≥M)　 知识点3 f(x0)＝M　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有 (　　) A．f(x1)＜f(x2)　　 B．f(x1)＞f(x2) C．f(x1)＝f(x2)　 D．以上都有可能 [解析]　因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1＜x2，所以f(x1)＞f(x2)，故选B． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　分别画出各个函数的图象，在区间(0，2)上上升的图象只有B． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 由图象求函数的单调区间  　　　　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的单调区间． 例 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？ (2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？ [解析]　函数的单调增区间为[－1.5，3)，[5，6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3，5)，[6，7]． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (3)区间端点的写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　根据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD）   [解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2，4]． 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1，0)，(0，1]． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 由图象求函数的最值  　　　　(1)函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A．－2，f(2)　 B．2，f(2) C．－2，f(5)　 D．2，f(5) 例 2 C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)由函数的图象可知，最小值为－2，最大值为f(5)． (2)①由题意，当x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分；当x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示： ②由图象可知，当x＝0时有最大值为3；当x＝2时有最小值为－1． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 二次函数的最值  　　　　已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R； (2)[0，3]； (3)[－1，1]． 例 3 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析] 　f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示． (1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立． 故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)由图可知，在[0，3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；故x＝2处取得最小值，最小值为－7． (3)由图可知，函数f(x)在[－1，1]上是减函数，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　定轴定区间的二次函数的最值问题的解法 解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值．经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)． [解析]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为直线x＝1． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝f(1)＝1； 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是 (　　) A．[0，1]　 B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1]　 D．[－3，4] [解析]　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3，1]是上升的，故其增区间是[－3，1]． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是 (　　) A．y＝2x＋1　 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x　 D．y＝x2＋2x＋1 [解析]　函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A．f(－2)，0　 B．0，2 C．f(－2)，2　 D．f(2)，2 [解析]　由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 5．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为 (　　) A．3，5　 B．－3，5 C．1，5　 D．5，－3 [解析]　∵函数f(x)在[－2，2]上单调递减， ∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 (　　) A．y＝3－x　 B．y＝x2＋1 C．y＝　 D．y＝－x2 3．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为 (　　) A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，－2 4．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 ＞0成立，则必有 (　　) A．f(x)在R上是增函数　 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)是先增后减　 D．函数f(x)是先减后增 [解析]　由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有＞0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A． [归纳提升]　函数单调区间的求法及表示方法 (1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求． (2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数． (2)已知函数f(x)＝， ①在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象； ②由图象指出当x取什么值时f(x)有最值． [归纳提升]　图象法求最值的步骤 — ↓ — ↓ — 【对点练习】❷　已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． [解析]　作出f(x)的图象如图：由图象可知， 当x＝2时，f(x)取最大值为2； 当x＝时，f(x)取最小值为－．所以f(x)的最大 值为2，最小值为－． 当t＞1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数． 所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2． 综上可得，g(t)＝ 2．下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是 (　　) A．y＝|x|　 B．y＝3－x C．y＝　 D．y＝－x2＋4 [解析]　因为－1＜0，所以一次函数y＝－x＋3在R上单调递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减． $