2.2.1 第1课时 函数概念(一)课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念，涵盖定义、三要素及同一函数判断，通过生活实例与数学问题导入，从变量依赖、集合对应、图象直观多角度抽象概念，衔接集合知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过“思考-提示-归纳提升”深化理解，如判断同一函数时对比定义域与对应关系。题型分层设计，实例丰富，助力学生培养抽象思维与推理能力，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

§2　函　数 2.1　函数概念 【素养目标】 1．通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 2．了解构成函数的三要素．(数学抽象) 3．理解同一个函数的概念．(数学抽象) 4．能判断两个函数是否是同一个函数．(逻辑推理) 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 1．函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次． 2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x)的含义，学生要加深理解． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 第1课时　函数概念(一) 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　函数 (1)定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B．如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每个数x，在集合B中都有__________________和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数． (2)记法：y＝ f(x)，x∈A． (3)定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫作函数值，即集合______________． 唯一确定的数y　 知识点1 {f(x)|x∈A}　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：(1)对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？为什么？ (2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ (3)f(x)的含义是什么？ 提示：(1)不一定．值域是集合B的子集，即{f(x)|x∈A}⊆B． (2)不一定．可以是数表，也可以是图象． (3)集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 　　　同一个函数 知识点2 前提条件 __________相同 ____________完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 定义域　 对应关系　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？ 提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．已知f(x)＝2x＋1，则f(5)＝ (　　) A．3　 B．7 C．11　 D．25 [解析]　f(5)＝2×5＋1＝11，故选C． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．(练习改编)如图能表示函数关系的是__________． [解析]　由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系． ①②④　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [－1，7]　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 函数概念  例 1 B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数y＝f(x)的定义域为M，值域为N，对于下列四个图象，不可作为函数y＝f(x)的图象的是 (　　) C　 [分析]　(1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断． (2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应． 2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数． (3)A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数． (4)对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 求函数值  例 2 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　解题时要注意审题，观察分析、发现规律． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） －9　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 函数的三要素  角度1　定义域和值域 　　　　(2021·丰台高一检测)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为________________________________，值域为______________________． 例 3 [解析]　根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}． {x|－2≤x≤4或5≤x≤8}　 {y|－4≤y≤3}　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 例 4 x x≤1 1＜x＜2 x≥2 f(x) 1 2 3 D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算对应得到唯一的函数值y． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)已知函数f(x)，g(x)分别由表给出 则方程g(f(x))＝3的解集为____________． x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 {1，3}　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型四 同一函数  [分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只需看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可． 例 5 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤 (1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 1．下列图形中，不能确定y是x的函数的是 (　　) [解析]　由函数的定义知A，B，C是函数，故选D． D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则 (　　) A．a＝1，b＝－1　 B．a＝－1，b＝－1 C．a＝－1，b＝1　 D．a＝1，b＝1 [解析]　由f(1)＝－2得a＋b＝－2， 由f(－1)＝0得－a＋b＝0， ∴a＝－1，b＝－1，故选B． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 020的公共点有 (　　) A．0个　 B．1个 C．0个或1个　 D．以上答案都不对 [解析]　若函数y＝f(x)定义域包括x＝2 020，则有一个公共点，若函数y＝f(x)的定义域不包括x＝2 020，则没有公共点，故选C． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．函数y＝的定义域是______________． [解析]　要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0， ∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤7， ∴函数y＝的定义域是[－1，7]． 4．已知f(x)＝，g(x)＝－x2＋2． (1)求f(3)，g(3)的值； (2)求f[g(2)]的值； (3)求f[g(x)]的解析式． [解析]　(1)f(3)＝＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7． (2)f[g(2)]＝＝＝． (3)f[g(x)]＝＝＝． 　　　　(1)下列对应或关系式中是A到B的函数的是 (　　) A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1 B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图： C．A＝R，B＝R，f：x→y＝ D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ [解析]　(1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合． (2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数． 【对点练习】❶　下列对应是否为A到B的函数： (1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0． 　　　　已知f(x)＝，x∈R． (1)求f(2)，f，f(3)，f的值； (2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f＋f＋…＋f的值． [分析]　(1)将x＝2，，3，代入f(x)＝计算即可； (2)由(1)中求得f(2)，f，f(3)，f的值可得f(2)＋f与f(3)＋f的值是定值这一规律，再求得f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f＋f＋…＋f的值． [解析]　(1)∵f(x)＝， ∴f(2)＝＝，f＝＝，f(3)＝＝，f＝＝． (2)由(1)知， f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1． ∴f(a)＋f＝＋＝＋·＝＋＝1， ∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f＋f＋…＋f ＝f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 018)＋f＝2 017． 【对点练习】❷　已知函数f(x)＝，则f(1)＋＋…＋＝_______． [解析]　＝＝＝－1， ∴＝＝…＝＝－1， 又∵f(1)＝0， ∴f(1)＋＋…＋＝－9． 角度2　对应关系 　　　　(2022·哈尔滨高一检测) 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”，这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得x在取值范围中的每一个值 ，都有一个确定的 y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式，已知函数f(x)由表给出，则f的值为 (　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 [解析]　因为∈{x|x≤1}， 所以f＝1， 则10f＝10， 所以f＝f(10)． 又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)＝3． 【对点练习】❸　(1)(2021·杭州高一检测)函数y＝f(x)＝的值域是 (　　) A．R　 B．{y|－1≤y≤1} C．{－1，1}　 D．{－1，0，1} [解析]　(1)根据函数的解析式y＝ 在x∈{x|x＞0}时，函数值为1，在x＝0时，函数值为0，在x∈{x|x＜0}时，函数值为－1，故函数的值域为{－1，0，1}． (2)根据题意，若方程g(f(x))＝3，必有f(x)＝1，则有x＝1或3，即方程g(f(x))＝3的解集为{1，3}． 　　　　判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？ (1)y＝与y＝1； (2)y＝与y＝x； (3)y＝·与y＝． [解析]　(1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1．但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数． (2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x＜0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数． (3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数． 【对点练习】❹　f(x)与g(x)表示同一函数的是 (　　) A．f(x)＝x2，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝，g(x)＝x－3 D．f(x)＝，g(x)＝ [解析]　对于A，g(x)＝＝|x|，与f(x)的解析式不同；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}；对于C，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于D，f(x)＝＝1(x＞0)，g(x)＝＝1(x＞0)，解析式与定义域都相同，故f(x)与g(x)表示同一函数． 4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝_________． 或2　 [解析]　由f(a)＝2得＝2， ∴a＝2或． $