2.2.2 第2课时 分段函数 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦分段函数，通过基础自测题（定义域、求值等）回顾函数概念，结合“思考”问题明确分段函数本质，搭建从函数基本概念到分段函数的认知支架。 其亮点是分层设计（基础自测-题型探究-应用问题），以运动、收费等实例培养数学建模能力，归纳提升总结方法强化数学思维。助力学生提升解决实际问题能力，为教师提供系统教学资源。

§2　函　数 2.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数而不是几个函数． 知识点 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　∵－2＜0，∴f(－2)＝－(－2)＝2， 又2＞0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．函数y＝|x|的图象是 (　　) B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） －3　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 分段函数的求值问题  [分析]　分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的值． 例 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止． 当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21, f(5)＝f(21)＝24． A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 分段函数的图象及应用  [分析]　先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象． 例 2 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式． (4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)函数图象如图所示． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 分段函数的应用问题  　　　　如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y． (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围． 例 3 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） (2)y＝f(x)的图象如图所示． (3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8＜x≤12时，2(12－x)≥2， ∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型． (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时． (1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式； (2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？ 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） ②当20＜x≤30时，f(x)＞g(x)， 故当12≤x＜15时，选A家俱乐部合算． 当x＝15时，两家俱乐部一样合算，当15＜x≤30时，选B家俱乐部合算． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 [错解]　∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x＜0时， f(x)＝x， ∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 当x＜0时，f(x)的定义域为(－∞，0)． 例 4 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [正解]　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 建模应用能力 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． 在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验． 学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 例 5 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20 000元，可变成本为100x元． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 1．已知函数f(x)中，f(1)＝0，且对任意n∈N*，都有f(n＋1)＝f(n)＋3，则f(3)＝ (　　) A．0　 B．3 C．6　 D．9 [解析]　f(3)＝f(2)＋3＝f(1)＋6＝6． C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　作出y＝f(x)的图象，如图所示．由图象知，f(x)的值域是[0，2]∪{3}，故选D． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 1．函数f(x)＝的定义域为 (　　) A．[－1，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(－1，1)∪(1，＋∞) [解析]　由函数解析式得解得x≥－1，且x≠1． 故函数的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，选A． 2．若f(x)＝则f[f(－2)]＝ (　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 [解析]　因为y＝|x|＝所以B选项正确． 4．已知f(x)＝，则f[f(－3)]的值为_______． [解析]　∵f(x)＝， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3． 　　　　已知函数f(x)＝ (1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]； (2)若f(a)＝10，求a的值． [解析]　(1)f(－4)＝－4＋2＝－2， f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0， f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0． (2)当a≤－1时，a＋2＝10，可得a＝8，不符合题意； 当－1＜a＜2时，a2＝10，可得a＝±，不符合题意； 当a≥2时，2a＝10，可得a＝5，符合题意； 综上可知，a＝5． 【对点练习】❶　已知f(x)＝则f(5)的值是 (　　) A．24　　　　 B．21 C．18　 D．16 　　　　已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． [解析]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1； 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x． 所以f(x)＝． 【对点练习】❷　已知函数f(x)＝ (1)画出函数的图象； (2)若f(x)＝1，求x的值． (2)由f(x)＝1和函数图象综合判断可知，当x∈(－∞，1)时，得f(x)＝－2x＋1＝1，解得x＝0； 当x∈[1，＋∞)时，得f(x)＝x2－2x＝1，解得x＝1＋或x＝1－(舍去)． 综上可知x的值为0或1＋ ． [解析]　(1)y＝． [解析]　(1)由题意f(x)＝6x，x∈[12，30]， g(x)＝． (2)①12≤x≤20时，6x＝90，解得：x＝15， 即当12≤x＜15时，f(x)＜g(x)， 当x＝15时，f(x)＝g(x)， 当15＜x≤20时，f(x)＞g(x)． 分段函数概念的理解错误 　　　　求函数f(x)＝的定义域． [错因分析]　错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数f(x)＝是两个函数． 　　　　某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数； (2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ [解析]　(1)依题设，总成本为20 000＋100x， 则y＝ (2)当0＜x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000， 则当x＝300时，ymax＝25 000． 当x＞400时，y＝60 000－100x是减函数，则y＜60 000－100×400＝20 000． 综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25 000元． 2．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值为 (　　) A．1　 B．1或 C．　 D． [解析]　当x≤－1时，由x＋2＝3，得x＝1(舍)；当－1＜x＜2时，由x2＝3得x＝或x＝－(舍)；当x≥2时，由2x＝3得x＝(舍)．故选D． 3．函数f(x)＝的值域是 (　　) A．R　 B．[0，＋∞) C．[0，3]　 D．[0，2]∪{3} 4．已知函数f(x)＝求f的值． [解析]　f ＝×2－3＝－2， f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1， ∴f＝f(－2)＝－1． $