2.2.1 第2课时 函数概念(二)新授课2026-2027学年高一上学期北大师版必修一

该高中数学课件聚焦函数概念（二），核心涵盖常见函数定义域值域、复合函数定义域及求值域的分离常数法等知识。通过“必备知识”梳理一次、反比例、二次函数基础，“基础自测”巩固函数概念辨析，搭建从函数定义到定义域值域应用的学习支架。 其亮点在于结合数学眼光观察函数图象（如二次函数开口方向与值域关系）、数学思维归纳求法（如定义域需满足分式分母非零等条件），通过题型探究（例2用数形结合求二次函数值域）和“归纳提升”总结方法。帮助学生发展抽象能力与推理意识，教师可借助系统题型与分层练习提升教学效率。

§2　函　数 2.1　函数概念 第2课时　函数概念(二) 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　常见函数的定义域和值域 知识点 a＞0　 a＜0　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 思考：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a＞0和a＜0两种情况？ 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 ×　 ×　 √　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝ (　　) A．2　 B．3 C．4　 D．5 [解析]　因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2， 所以f(f(－1))＝f(2)＝22＋1＝5． D　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是 (　　) A．{y|－1≤y≤1}　 B．R C．{y|2≤y≤3}　 D．{－1，0，1} [解析]　函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}． D　 x x＜2 2≤x≤3 x＞3 y －1 0 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 求函数的定义域  例 1 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 函数的值域  　　　　函数y＝－x2＋1，－1≤x＜2的值域是 (　　) A．(－3，0]　 B．(－3，1] C．[0，1]　 D．[1，5) [分析]　首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系． 例 2 B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　由y＝－x2＋1，x∈[－1，2)，可知当x＝2时，ymin＝－4＋1＝－3； 当x＝0时，ymax＝1， 因为x≠2，所以函数的值域为(－3，1]． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的值域 (1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值． (2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值． (3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　A中x≥0，所以y≥0；B中x＞0，所以y＞0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1． B　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 复合函数、抽象函数的定义域  　　　　(1)若函数f(x)的定义域为(－1，2)，则函数f(2x＋1)的定义 域为__________． (2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x)的定义域为____________． (3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为__________． 例 3 (－1，5)　 (0，6)　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　(1)f(x)的定义域为(－1，2)，即x的取值范围为(－1，2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1，2)求得． (2)f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，即x的取值范围为(－1，2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域． (3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定： (1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出． (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域； (2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域． [解析]　(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4，10]． (2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1，2]． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 函数概念理解有误 　　　　设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是 (　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 B　 例 4 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [错解]　函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D． [错因分析]　不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应． [正解]　图(1)定义域M中的(1，2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0，2]上任给一个元素，在值域(0，2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 例 5 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 2．配方法 　　　　求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域． [分析]　这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域． [解析]　∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]， ∴其图象是开口向下，顶点为(－1，4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧． 根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3． 故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12，3]． 例 6 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 例 7 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 1．下列表格中的x与y能构成函数的是 (　　) A． B． C． D． C　 x 非负数 非正数 y 1 －1 x 奇数 0 偶数 y 1 0 －1 x 有理数 无理数 y 1 －1 x 自然数 整数 有理数 y 1 0 －1 [解析]　A中，0既是非负数又是非正数；B中，0又是偶数；D中，自然数也是整数，也是有理数，故选C． 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　选项B、C、D中两函数的定义域不同，只有A中的两函数是同一函数． A　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 3．已知函数f(x)的定义域[－2，3]，则函数f(x＋1)的定义域为______________． [解析]　由题意得－2≤x＋1≤3， ∴－3≤x≤2，故函数f(x＋1)的定义域为[－3，2]． [－3，2]　 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第二章　函　数 数学（必修·第一册　BSD） 函数 一次函数 反比例函数 二次函数 _________ _________ 对应关系 y＝ax＋b (a≠0) y＝(k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 定义域 R {x|x≠0} R R 值域 R {y|y≠0} 提示：当a＞0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为． 当a＜0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为． 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数． (　　) (2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数． (　　) (3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数． (　　) [解析]　(1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数． (2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数． (3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数． 2．函数f(x)＝＋的定义域为 (　　) A．(－∞，－1)∪(－1，3]　 B．(－∞，3] C．(－1，3]　 D．(－∞，－1) [解析]　函数f(x)＝＋，令解得x≤3且x≠－1． 所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，3]． 　　　　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)f(x)＝－． [分析]　→→ [解析]　(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即解得x＜0，且x≠－2． 故原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，0)． (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即 故原函数的定义域为(－∞，1)∪(1，4]． 【对点练习】❶　(2021·合肥高一检测)函数f(x)＝的定义域是 (　　) A．(－∞，3]　 B．∪ C．∪　 D．(3，4)∪(4，＋∞) [解析]　要使函数有意义，则 得得x≤3且x≠， 即函数的定义域为∪． 【对点练习】❷　下列函数中，值域为(0，＋∞)的是 (　　) A．y＝　 B．y＝ C．y＝　 D．y＝x2＋1 　 [解析]　(1)由－1＜2x＋1＜2，得－1＜x＜， ∴f(2x＋1)的定义域为． (2)∵－1＜x＜2，∴－1＜2x＋1＜5，∴f(x)的定义域为(－1，5)． (3)由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)得f(x)的定义域为(－1，5)， 由－1＜x－1＜5得0＜x＜6，∴f(x－1)的定义域为(0，6)． 求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用 1．分离常数法 　　　　求函数y＝的值域． [分析]　这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域． [解析]　∵y＝＝＝3＋， 又∵≠0，∴y≠3．∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}． [归纳提升]　求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式． [归纳提升]　遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a＋的形式，从而求得函数的值域． 3．换元法 　　　　求函数y＝x＋的值域． [分析]　忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围． [解析]　设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)， 于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥． 故函数y＝x＋的值域为． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是 (　　) A．y＝x与y＝　　 B．y＝x2与y＝ C．y＝1与y＝(x＋1)0　 D．y＝|x|与y＝()2 4．若函数f(x)＝x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b＞1)，则a＋b的值为______． 　 [解析]　∵f(x)＝x2－x＋a＝(x－1)2＋a－， ∴当x∈[1，b]时，f(x)min＝f(1)＝a－，f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a． 又f(x)在[1，b]上的值域为[1，b]， ∴解得 ∴a＋b＝＋3＝． $