1.2 集合间的基本关系 （题型专练，4基础题型+4提升题型+培优题）数学人教A版2019必修第一册

1.2 集合间的基本关系 题型一：空集的概念以及判断 1.下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可． 【详解】解：，，所以，A不是空集． ，，所以,B不是空集． ，，，；即C是空集． ，，，即，所以；D不是空集． 故选：C． 2.下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3.（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 【答案】BCD 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断 【详解】对于，不是的元素，故不正确；对于，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于，是的元素，故正确；对于，是任何非空集合的真子集，有一个元素，是非空集合，故正确. 故答案为：. 4.（多选）下列说法中，正确的有 A．空集是任何集合的真子集 B．若，，则 C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D．如果不属于的元素一定不属于，则 【答案】BD 【知识点】空集的概念以及判断、判断两个集合的包含关系 【分析】根据空集的定义和性质可判断A，C正确与否，根据真子集的性质可判断B正确与否，根据韦恩图可判断D正确与否. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错； 真子集具有传递性，故选项B正确； 若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错； 由韦恩图易知选项D正确. 故选BD. 【点睛】在集合中，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，集合中的包含关系具有传递性，有时集合的关系难判断时，可根据数轴或韦恩图来考虑. 题型二：求集合的子集（真子集） 1.已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据真子集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D 2.已知集合则满足条件的集合的个数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】先求得集合A，再由集合的包含关系求得集合C得选项. 【详解】由已知得，.因为，所以满足条件的集合有，，，，共个. 故选：D. 3.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 4.（多选题）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求集合的子集（真子集）、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系以及子集的定义求解即可. 【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有， 故选：AC 题型三 判断元素与集合的关系 1.下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 【答案】A 【知识点】判断两个集合是否相等 【详解】对于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,对于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合. 选A 2.已知集合和，那么表述最准确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】利用集合元素的关系，判断集合的关系． 【详解】由于， 所以. 故选：C 3.下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合、列举法表示集合、判断两个集合是否相等 【分析】举反例可判断A；根据集合的定义可判断B；根据集合的性质可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，不能用列举法表示，故A错误； 对于B，集合表示含有元素的集合，不是空集，故B错误； 对于C，集合表示上的点构成的集合， 表示的实数构成的集合，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 4.（多选题）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】利用集合的意义，逐项判断即可作答. 【详解】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是； 对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是； 对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是； 对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是. 故选：ABD 题型四：判断两个集合是否相等 1.（多选题）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 2.（多选题）下列四个选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】空集的性质及应用、判断两个集合是否相等、判断两个集合的包含关系 【分析】注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B. 【详解】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误； 对于B选项，集合的元素是点，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误； 对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确； 对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确. 故选：CD. 3.（多选题）下面关于集合的表示正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合是否相等 【解析】本题首先可根据判断出A错误，然后根据这种情况判断出B错误，再然后根据判断出C正确，最后根据无解判断出D正确. 【详解】A项：因为，所以，故A错误； B项：若，则，故B错误； C项：，故C正确； D项：因为，所以无解，故D正确， 故选：CD. 【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系，只有当两个集合中包含的元素完全相同时两个集合才相等，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题. 4.（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合是否相等、空集的性质及应用 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 题型一：根据集合的包含关系求参数 1.若集合,，且，则 A．2,或,或0 B．2,或,或0,或1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由题得x2=x或x2=4，且x≠1，解不等式即得解. 【详解】解：∵集合A={1，x，4}，B={1，x2}，且B⊆A， ∴x2=x或x2=4，且x≠1， 解得x=0，±2． 故选A． 【点睛】本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 2.若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据题意得到集合不是空集，进而求得实数的取值范围. 【详解】因为空集为非空集合的真子集，可知当集合不为空集时满足题意， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B． 3.若集合，，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【解析】因为，所以，分类讨论，求出集合，根据子集关系列式可解得结果. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，由知，， 所以或，解得或. 综上所述：或或. 故选：D 【点睛】本题考查了根据集合的并集求参数，考查了分类讨论思想，属于基础题. 4.已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由先求出且，对照四个选项即可得到答案. 【详解】解：因为，且集合， 所以且， 根据选项情况，由此可以判定只能选择C． 故选：C 题型二：判断两个集合的包含关系 1.若集合，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】化简得，再判断每一个选项即得解. 【详解】由题得，所以，所以选项A错误，选项B正确； 元素和集合之间不能用“”，所以选项C错误； ，应该是,所以选项D错误. 故选：B 2.已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是等腰直角三角形}，{是等边三角形}，则 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系. 【详解】∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴. 故选B. 【点睛】本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题. 3.以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案． 【详解】根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确 故选：D 4.已知集合，，则A与B之间的关系是（    ） A． B． C． D．B 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】分析集合A和B中元素的特性，然后进行比较集合A和B的关系即可得出答案. 【详解】由集合可得集合A中的元素包含：，即得A中的元素是2的整数倍； 由集合可得集合B中的元素包含：，即得B中的元素是4的整数倍，显然比较可得B是A的真子集，即B. 故选：D. 【点睛】本题考查了集合之间关系的判断，本题准确的理解集合中元素的特性并进行比较是解题的关键，属于一般难度的题. 题型三 根据两个集合相等求参数 1.若，则的值为（    ） A．-3 B．3 C．-12 D．12 【答案】C 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项. 【详解】解：因为，所以，解得，所以， 故选：C. 2.已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为（    ） A．0 B．－ C．2 D．5 【答案】C 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等，即可列出方程，求得参数值. 【详解】因为B＝，且A＝B， 所以当x＝2时，2a＋1＝5，解得a＝2. 故选：C. 【点睛】本题考查由集合相等求参数值，属简单题. 3.若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意得出或，求解即可. 【详解】因为，所以或， 由可解得（不符合，舍去）或， 由可解得， 综上，，则. 故选：C. 4.已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 题型四： 判断集合的子集（真子集）的个数 1.若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A．15 B．16 C．32 D．256 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】按具有伙伴关系的集合中的元素的性质依次写出来再统计即可． 【详解】具有伙伴关系的集合中有1个元素时：、共2个 具有伙伴关系的集合中有2个元素时：、、共3个 具有伙伴关系的集合中有3个元素时：、、共4个 具有伙伴关系的集合中有4个元素时：、、共3个 具有伙伴关系的集合中有5个元素时：、共2个 具有伙伴关系的集合中有6个元素时：共1个 则共有个 故选A 【点睛】本题考查集合的子集，属于中档题． 2.已知，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】求出集合，列出符合条件的集合即可得出结论. 【详解】，所以，， 则满足条件的集合有：、、、、、、、、、、、、、、、，共个， 故选：B. 3.已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．32 B．4 C．5 D．31 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、描述法表示集合 【分析】由条件确定集合A的元素个数，再求集合A的真子集个数. 【详解】∵ ∴为12的正约数，又， ∴ ，4，3，2，0 ∴集合， ∴ 集合A的真子集个数为31， 故选：D. 4.设集合，，则集合满足，的集合的个数是． A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由，又集合满足，，即, 再结合元集的子集个数为，代入运算即可得解. 【详解】解：因为集合，， 所以, 又集合满足，，即, 又三元集的子集个数为， 即满足，的集合的个数是8个， 故选D. 【点睛】本题考查了集合交集的运算及集合子集的个数，重点考查了集合间的包含关系，属基础题. 1.（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【解析】A.根据 判断；B.根据是分数判断；C.根据是实数判断；D.根据判断. 【详解】A. 因为，所以，故正确； B. 是分数，故错误； C. 是实数，故错误； D. 因为，所以，故正确； 故选：AD 2.（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由包含关系，，按的取值分类讨论即可. 【详解】，，即， 由集合中元素的互异性知，，即且. 当时，，， 验证：当时，，； 当时，，. 当时，（舍），或 验证：当时，，,. 综上，或. 故选：BCD. 3.（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 4.（多选）定义集合运算：，设则（    ） A．当时， B．可取两个值，可取两个值，对应4个式子 C．中有4个元素 D．的真子集有7个 E．中所有元素之和为4 【答案】BD 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】结合的定义,求出集合,然后对四个选项逐个分析可得到答案. 【详解】当,时，,故A错误; 可取,可取,则可取,,,四个式子,选项B正确; ,共3个元素,选项C错误; 的真子集有个,选项D正确; 中所有元素之和为,选项E错误. 故选:BD. 【点睛】本题是新定义题,考查了学生分析问题的能力,理解的定义是解决本题的关键,是基础题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 题型一：空集的概念以及判断 1.下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 2.下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3.（多选）给出下列选项，其中正确的是（    ） A． B． C． D．⫋ 4.（多选）下列说法中，正确的有 A．空集是任何集合的真子集 B．若，，则 C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D．如果不属于的元素一定不属于，则 题型二：求集合的子集（真子集） 1.已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知集合则满足条件的集合的个数（    ） A． B． C． D． 3.已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 4.（多选题）已知非空集合满足：①，②若，则.则集合可能是（    ） A． B． C． D． 题型三 判断元素与集合的关系 1.下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 2.已知集合和，那么表述最准确的是(　　) A． B． C． D． 3.下列结论中正确的是（    ）． A．所有的集合都可以用列举法表示 B．集合表示空集 C．集合，，则 D．已知，，，则 4.（多选题）下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 题型四：判断两个集合是否相等 1.（多选题）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）下列四个选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）下面关于集合的表示正确的是 （    ） A． B． C． D． 4.（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 题型一：根据集合的包含关系求参数 1.若集合,，且，则 A．2,或,或0 B．2,或,或0,或1 C．2 D． 2.若，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3.若集合，，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 4.已知集合，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 题型二：判断两个集合的包含关系 1.若集合，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合{是三角形}，{是等腰三角形}，{是等腰直角三角形}，{是等边三角形}，则 A． B． C． D． 3.以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知集合，，则A与B之间的关系是（    ） A． B． C． D．B 题型三 根据两个集合相等求参数 1.若，则的值为（    ） A．-3 B．3 C．-12 D．12 2.已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为（    ） A．0 B．－ C．2 D．5 3.若，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4.已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型四： 判断集合的子集（真子集）的个数 1.若,则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 A．15 B．16 C．32 D．256 2.已知，则集合的个数为（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．32 B．4 C．5 D．31 4.设集合，，则集合满足，的集合的个数是． A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 1.（多选）下列关系表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）若集合，，且，则满足条件的实数可以是（　　） A． B． C． D． 3.（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 4.（多选）定义集合运算：，设则（    ） A．当时， B．可取两个值，可取两个值，对应4个式子 C．中有4个元素 D．的真子集有7个 E．中所有元素之和为4 学科网（北京）股份有限公司 $$