1.1集合的概念（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习以“分层递进+知识全覆盖”为特色，A组夯实集合概念基础，B组提升综合应用能力，C组与拓展链接高考，形成从概念理解到高考实战的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|8个单一知识点（元素构成集合、集合表示等）|基础选择/填空题，如元素与集合关系判断| |B组能力进阶|跨知识点综合应用（互异性、集合相等）|多选/解答题，如集合元素个数探究| |C组思维拔高|创新拓展（新定义、探究性问题）|“影子关系”集合等情境题，培养创新意识| |拓展链接高考|高考考点迁移|2018全国II卷等真题再现，衔接升学需求|

分层作业 1.1集合的概念 参考答案 ( 知识点0 1 )判断元素能否构成集合 1．C；2．D；3．A；4．B ( 知识点0 2 )元素与集合的关系 1．C；2．A；3．C；4．D； ( 知识点0 3 )集合的表示（列举法） 1．A；2．B；3．C； 4．【答案】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． ( 知识点0 4 )集合的表示（描述法） 1．C；2．BCD； 3．【答案】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 4．【答案】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． ( 知识点0 5 )集合相等 1．D；2．AD；3．BD；4． ( 知识点0 6 )集合的互异性 1．D；2．；3．；4． ( 知识点0 7 )集合中元素的个数 1．B；2．C；3．D；4．AB； 5．【答案】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 6．【答案】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. ( 知识点0 8 )集合的新定义 1．C；2．C；3．BCD；4． 一、单选题 1．B；2．B；；3．D；4．C；5．C；6．B. 二、多选题 7．AC;8．AC 三、填空题 9．；10．2 四、解答题 11．【答案】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 1．D；2．B；3．C；4．BD；5．3；6．7 7．【答案】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 8．【答案】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 1．A；2．A；3．A；4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1集合的概念 目 录 A组 巩固过关 知识点01 判断元素能够构成集合 知识点02 元素与集合的关系 知识点03 集合的表示（列举法） 知识点04 集合的表示（描述法） 知识点05 集合相等 知识点06 集合的互异性 知识点07 集合中元素的个数 知识点08 集合的新定义 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )判断元素能否构成集合 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 3．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（ ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ ( 知识点0 2 )元素与集合的关系 1．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 3 )集合的表示（列举法） 1．（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）集合可用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（ ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． ( 知识点0 4 )集合的表示（描述法） 1．（24-25高一上·天津·阶段检测）下列说法中正确的是（ ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 2．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． ( 知识点0 5 )集合相等 1．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为（ ）. A．或 B． C． D．或 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 4．设三元集合=，则___________． ( 知识点0 6 )集合的互异性 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（ ） A． B．或 C．3 D． 2．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为___________． ( 知识点0 7 )集合中元素的个数 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ） A．0 B．1 C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 6．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． ( 知识点0 8 )集合的新定义 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A． B． C． D． 4．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（ ） A． B．或 C．3 D． 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（ ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 6．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 二、多选题 7．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）给出下列说法，其中正确的有（ ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 8．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）下列说法中正确的是（ ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 三、填空题 9．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 10．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 四、解答题 11．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（ ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 7．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 8．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 1．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 2．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（ ） A． B． C． D． 3．（2013·江西·高考真题）若集合中只有一个元素，则=（ ） A．4 B．2 C．0 D．0或4 4．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1集合的概念 目 录 A组 巩固过关 知识点01 判断元素能够构成集合 知识点02 元素与集合的关系 知识点03 集合的表示（列举法） 知识点04 集合的表示（描述法） 知识点05 集合相等 知识点06 集合的互异性 知识点07 集合中元素的个数 知识点08 集合的新定义 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )判断元素能否构成集合 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 3．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（ ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. ( 知识点0 2 )元素与集合的关系 1．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 4．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. ( 知识点0 3 )集合的表示（列举法） 1．（25-26高一上·山东济南·期中）用列举法表示集合是大于且小于3的整数，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把描述法表示的集合转化成列举法来表示即可. 【详解】集合是大于且小于3的整数, 故选：A. 2．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）集合可用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出一元二次方程的根，根据集合的描述法得元素，从而得所求. 【详解】由可得或， 又因为，所以该集合用列举法表示为. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． ( 知识点0 4 )集合的表示（描述法） 1．（24-25高一上·天津·阶段检测）下列说法中正确的是（ ） ①空集与表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．只有②和④ 【答案】C 【分析】根据集合的概念及表示逐项分析即得. 【详解】对于①，集合中有个元素，而中没有元素，两集合不相等，故①错误； 对于②，由1，2，3组成的集合可表示为或，故②正确； 对于③，方程的所有解的集合可表示为，故③错误； 对于④，集合为无限集，不能用列举法表示，故④错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）（多选）下列四个命题中不正确的是（ ） A．集合用列举法表示为 B．若，则 C．方程组的解组成的集合为 D．集合与是同一个集合 【答案】BCD 【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD. 【详解】对于A,由于，故方程的根为，因此,故A正确， 对于B,,故，故B错误， 对于C,方程组的解组成的集合为，故C错误， 对于D,，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误， 故选：BCD 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 4．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． ( 知识点0 5 )集合相等 1．（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为（ ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 2．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）（多选）下列各组集合表示的不是同一集合的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据同一个集合概念进行判断即可. 【详解】A中，都是点集，和是不同的点，则是不同的集合，所以A是； B中，都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，所以B不是； C中，表示函数的定义域，表示函数的值域，表示的范围相同，是同一个集合，所以C不是； D中，是数集，是点集，则是不同的集合，所以D是. 故选：AD 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列集合中表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 4．设三元集合=，则___________． 【答案】 【详解】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时,,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 考点：集合相等的定义. ( 知识点0 6 )集合的互异性 1．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（ ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意，是集合的元素，则或，解得或. 根据集合元素的互异性检验：当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 故选：. 2．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 4．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为___________． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. ( 知识点0 7 )集合中元素的个数 1．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 2．（25-26高一上·山西大同·期中）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法写出集合的元素即可求解. 【详解】由题意知，所以中元素的个数为4. 故选：C. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 4．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 6．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. ( 知识点0 8 )集合的新定义 1．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 3．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 4．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 一、单选题 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合表示小于的无理数，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由集合，可得集合表示小于的无理数， 对于A，由，所以，所以A错误； 对于B，由且，所以，所以B正确； 对于C，由且，所以，所以C不正确； 对于D，由，所以，所以D不正确. 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（ ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意，是集合的元素，则或，解得或. 根据集合元素的互异性检验：当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 故选：. 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 5．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（ ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 6．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 二、多选题 7．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测）给出下列说法，其中正确的有（ ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确. B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误. D中的元素具备确定性能构成集合，D错误. 故选：AC 8．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）下列说法中正确的是（ ） A．若集合由方程和方程的所有实数根组成，则 B．若集合由“”中的字母构成，则中有个元素 C．一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等边三角形 D．若集合由不等式的所有整数解组成，则 【答案】AC 【分析】求出集合进而判断ABD；利用集合元素的互异性判断C. 【详解】对于A，解方程，得；解方程，得或， 因此，，A正确； 对于B，，中有个元素，B错误； 对于C，由集合中有三个元素，得互不相等，则不可能是等边三角形，C正确； 对于D，解不等式，得，则，，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．（25-26高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则_________． 【答案】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 10．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 四、解答题 11．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 1．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，若且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中的元素进行求解. 【详解】因为， 又且，则， 故选：D 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知，若集合，则的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（ ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 4．（25-26高一上·广东·期末）（多选）若集合，且，则的值可能是（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】由，， 若时，或， 当时，集合不符合题意舍去， 当时，集合符合题意， 若时，则，此时集合不符合题意舍去， 若时，即，解得：或， 当时，集合符合题意， 当时，集合不符合题意舍去， 综上所述：或， 故选：BD. 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）定义集合，若集合，，则集合中包含______个元素． 【答案】3 【分析】利用定义作集合运算，注意元素的互异性即可. 【详解】因为集合，， 根据定义可得， 所以集合中包含3个元素， 故答案为：3 6．（25-26高一上·上海松江·期中）若，则，就称为“影子关系”集合，在集合的所有非空子集中，“影子关系”集合的个数为__________. 【答案】7 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合的所有非空子集中， 为影子关系的集合有 . 故答案为：7 7．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 8．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 1．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 2．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 3．（2013·江西·高考真题）若集合中只有一个元素，则=（ ） A．4 B．2 C．0 D．0或4 【答案】A 【详解】 考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 4．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $