1.1集合的概念与表示（题型专练）数学苏教版2019必修第一册

1.1 集合的概念与表示 题型一 集合的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 4．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、集合元素互异性的应用、集合的分类 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【详解】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 题型二 元素和集合的关系 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】化简，由中元素结构即可判断. 【详解】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 4．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合的关系判断得解. 【详解】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 题型三 用列举法表示集合 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 2．（19-20高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】是自然数集且，所以的值越小，则的值越小，注意相同元素要舍去，即可得到对应集合. 【详解】 要想越小，则取值越小， 故时，；故时，；故时，；故时，； 故集合中最小的4个元素所构成的集合为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若集合，用列举法表示集合A，则 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】解方程组可求得，由此可得结果. 【详解】由，解得或. 所以集合. 故答案为：. 题型四 用描述法表示集合 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合中元素的特点用描述法表示即可. 【详解】因为集合， 根据集合中5个元素的特点知，. 所以， 故选：C. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 题型五 常用数集的应用 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据常见数集与元素之间的关系以及空集定义逐项判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知0是自然数，所以，即A正确； 对于B，空集中没有任何元素，是集合，而0是实数，两者不相等，所以错误； 对于C，是有理数，可得，即C正确； 对于D，是实数，因此，即D正确. 故选：B 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题型六 集合中元素个数的判断 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的描述法转化为列举法表示得解. 【详解】，该集合中的元素有5个． 故选：C． 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 4．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据题意求出的取值，即可得解. 【详解】因为集合，集合， 所以， 所以， 即集合中有个元素. 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【详解】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 3．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 题型二 根据集合中元素的个数求参数 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】分，两种情况讨论可求的取值集合. 【详解】①若，则，解得，满足集合 中只有一个元素，所以符合题意； ②若，则为一元二次方程，因为集合有且只有一个元素， 所以，解得. 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 题型三 集合的新定义问题 1.（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 2.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 3.（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合新定义 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】集合元素互异性的应用、列举法表示集合 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 4．（24-25高一上·北京丰台·期末）设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． (1)若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； (2)若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： (3)若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集 (2)4 (3)1013． 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）首先要理解和谐子集的定义，根据定义来判断给定集合是否为和谐子集； （2）（3）对于求元素个数最大值，需要根据和谐子集的条件，通过分析元素之间的关系，逐步确定可以选取的元素. 【详解】（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②， 所以不是集合的和谐子集. 对于集合，满足和谐子集的条件①， 且对集合中任意三个元素， 不存在，使得，满足条件②， 所以是集合的和谐子集. 综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集. （2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类： 被3除所得的余数为0的元素有6： 被3除所得的余数为1的元素有4，7： 被3除所得的余数为2的元素有5，8． 因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合， 否则，或者，与已知矛盾． 设为集合中元素的个数，则． 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是4. （3）不妨设集合中的最小元素是， 则存在唯一非负整数数对，使得，其中． 将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类： 被除所得的余数为1的元素有； 被除所得的余数为2的元素有；… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为的元素有； …… 被除所得的余数为的元素有； 被除所得的余数为0的元素有． 因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合． 设为不大于的最大整数， 则在前行中，每行至多有个元素符合题意， 在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意， 所以 构造集合， 因为，所以集合是集合的和谐子集， 故集合中元素个数的最大值是1013． 【点睛】关键点睛：此题涉及整数集合的新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，按照被将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类，进行推理判断解决． 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：当时，． 【答案】(1)集合是“封闭集”， 集合不是“封闭集”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、集合元素互异性的应用、集合新定义 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【详解】（1）集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2）因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； （3）因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即① 所以当时，② 则①②为 也即，命题得证． 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 题型一 集合的概念 1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 4．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 题型二 元素和集合的关系 1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 4．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 题型三 用列举法表示集合 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20高一·全国·课后作业）集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ． 4．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若集合，用列举法表示集合A，则 ． 题型四 用描述法表示集合 1．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 题型五 常用数集的应用 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）下列关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型六 集合中元素个数的判断 1．（24-25高一上·广东·阶段练习）集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）设集合，集合，则集合中有（ ）个元素 A．4 B．5 C．6 D．7 5．（25-26高一上·全国·课后作业）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（18-19高一上·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则实数a的值为 ． 题型二 根据集合中元素的个数求参数 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知集合只有一个元素，则的取值集合为 . 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 题型三 集合的新定义问题 1.（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，记且.则 ， . 3.（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 4．（24-25高一上·北京丰台·期末）设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合的和谐子集． 条件①：； 条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得． (1)若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）； (2)若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值： (3)若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值． 5．（24-25高一上·河南驻马店·期末）已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． (1)若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； (2)若集合是“封闭集”，且，求集合； (3)设集合是“封闭集”，证明：当时，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$