精品解析：2026年四川省巴中市中考数学试题

巴中市2026年初中学业水平考试数学试卷 （满分150分，120分钟完卷） 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“正数大于0，0大于负数”的基本性质即可求解． 【详解】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数， ∴， 因此最大的实数是． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，五角星是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项，太极图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C选项，奥运五环是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D选项，该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同底数幂乘法法则、同类项概念、完全平方公式、单项式乘多项式法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，A错误． B、∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴，B错误． C、∵根据完全平方公式，，∴，C错误． D、∵根据单项式乘多项式法则，用单项式乘多项式的每一项再相加，∴，D正确． 4. 一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，根据概率公式，随机事件的概率等于所求情况数除以所有可能的总情况数，代入计算即可． 【详解】解：∵布袋中有8个红球和16个黑球， ∴球的总个数为， ∴取出红球的概率为． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 6. 要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需将其分割成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，需要的木条数等于对角线的条数． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，要使六边形木架不变形，需把它分成三角形． ∵过边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴对于六边形，至少要再钉上根木条． 7. 函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 8. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程． 【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少， ∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． ∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同， ∴可列方程：． 9. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 10. 关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 第Ⅱ卷非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 计算：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 12. 代数式有意义时，x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数需大于等于，可得 ． 根据分式的定义，分母不能为，可得， 即， 联立两个条件可得 ， 解不等式得． 13. 如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 【详解】解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 14. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 15. 如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由题意易得，则有，，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）求不等式组的解集； （3）先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 【答案】（1） （2） （3），当时，值为 【解析】 【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并同类项得到最终结果． （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． （3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的，将合适的代入得到计算结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 【小问3详解】 解： 根据分式有意义的条件，可得，，即且． ∴从，，中只能选取代入，得原式． 17. 如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，．求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由题意证出四边形为菱形，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； （2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； （3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）25，补全条形统计图如下： （2）112人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而问题可求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法进行求解概率即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为（名）， ∴（名），即B类男生人数为（名）， A类女生人数为（名）， 补全条形统计图略； 【小问2详解】 解：由（1）可得：（人）， 答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人； 【小问3详解】 解：由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，则可列表如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． 19. “观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） （1）求无人机距河面的高度； （2）求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）当为直角三角形时，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 21. 如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）证明：∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （3）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而通过证明可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； （3）在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； 【小问3详解】 解：存在点，使得，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市2026年初中学业水平考试数学试卷 （满分150分，120分钟完卷） 第Ⅰ卷选择题（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的） 1. 下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色不同外没有其他区别，布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取一个球，取出红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A. B. C. D. 10. 关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 计算：__________________． 12. 代数式有意义时，x的取值范围是_____________． 13. 如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 14. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 15. 如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 三、解答题（本大题共8个小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2）求不等式组的解集； （3）先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 17. 如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，．求的度数． 18. 学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； （2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； （3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 19. “观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） （1）求无人机距河面的高度； （2）求两艘皮划艇之间的距离． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 21. 如图，是的直径，点C、D在圆上，D是的中点，于点E，交于点，、交于点，在延长线上且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 22. 四边形是矩形，点在边上，． （1）【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； （2）【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； （3）【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 23. 如图，抛物线（）与轴交于、两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； （3）在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $