第2章相交线与平行线 假期自主提升综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心概念，通过分层题型构建“概念理解-性质应用-综合探究”逻辑链，渗透辅助线添加、性质判定互推等方法，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念应用|单选1-3、填空8-10|垂线段最短应用、平行公理、余角补角计算|从实际现象抽象几何概念，建立概念与性质的关联| |性质判定综合|单选4-7、填空11-14|平行线性质与判定互推、角平分线性质|通过多线相交模型，强化“角的关系→线平行→角的关系”推导链| |综合探究|解答15-20|辅助线添加（过点作平行线）、方程思想|以“平行线间折拐”为载体，整合角的计算与证明，发展逻辑推理与应用意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第2章相交线与平行线》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1.用“垂线段最短”来解释的现象是() 起 木板上弹墨线 两钉子固定木条 测量跳远成绩B. c D. 弯曲河道改直 2.在平面上，有不共线的4条直线，交点个数最多是m个，最少是n个，则n-m的值() A.6 B.-5 C.-6 D.5 3.∠A的两边分别与∠B的两边互相平行，则∠A与∠B的数量关系为() A.互余 B.互补 C.相等或互补 D.相等或互余 4.如图，已知ABCD,直线EF分别交AB、CD于点M、N,作∠END的平分线交 AB于点P,∠FMB的度数为70°，则∠NPB的度数是() E A.100° B.110° C.125° D.155° 5.通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点.如图，箭头所画的 是光线的方向，点F,F是凸透镜的焦点，BD‖CE‖FF,若∠BDF=148°， ∠CEF=160°，则∠DFE的度数为() A.10° B.12° C.20° D.32 6.如图，ABCD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=30°.则下列 结论：①∠BOE=70°，②OF平分∠BOD,③∠POE=∠BOF,④ ∠POB=2∠DOF.其中正确的个数为() A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图所示，直线ABCD,点E在AB上，点H在CD上，点F、G在直线AB的上方， 点Q是FE延长线上一点，且满足∠FEG=3∠AEF,∠GHQ=3∠DHQ,则∠G与 ∠Q的数量关系是() G A B H D A.∠G+∠Q=65° B.∠Q=3∠G c.3∠Q-∠G=180 D.4∠Q-∠G=180° 二、填空题 8.如图，OM‖a,ON‖a,所以O、MW三点共线，理由是 M 9.如果一个锐角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，那么这个角的余角是 度、 10.现有直线AB和直线外一点C,如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行 线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是： 11.如图，直线AB⊥CD,垂足为O,直线EF经过点O,∠1=28°，则∠COE的大小 (度). 12.如图，直线l1‖12，将直角三角板如图放置，若∠1=55°，则∠2= 13.如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形， 其中AB‖DG,AE‖CF,∠BAC=50°，∠CDG=70°，∠EAC=80°，则 ∠DCF= 风 14.将北斗七星的位置画到纸上，分别标为A,B,C,D,E,F,G.然后将A,B,C, D,E,F,A顺次首尾连接（如图所示）.设AF恰好经过点G,且点B,G,C在同一条 直线上.已知AF‖DE,∠D=105°，∠C=135°，则∠CGF的度数为 B G D 三、解答题 15.如图，直线AB与CD相交于点O,OM⊥AB (1)若∠1=∠2，说明ON与CD的位置关系： (2)若∠BOC=4∠1，求∠BOD的度数. 16.如图，四边形ABCD中，E是DC的延长线上一点，连接AE,交BC于点F, ∠1+∠2=180° (1)试说明∠BCE=∠D. 解：理由如下 因为BC与AE相交于点F, 所以∠AFC=∠2 因为∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠1+∠AFC=180°( 所以( )(同旁内角互补，两直线平行)， 所以∠D=∠BCE( 请将以上说理过程补充完整 (2)若∠B=∠D,AE是∠BAD的角平分线，且∠E=58°，求∠BCE的度数. 17.如图，在△ABC中，点D,E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上， DH‖AC,且∠1+∠2=180°. E D 1)求证：EF‖DC: (2)若CD平分∠ACB,∠BHD=64°，求∠2的度数. 18.如图，直线BC‖OA,∠C=∠OAB=110°，E,F在线段BC上（不与点B,C 重合)，且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF. B (0C与AB是否平行？请说明理由. (2)求∠EOB的度数. (3)若左右平移线段AB,是否存在∠OEC=∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的 度数：若不存在，请说明理由. 19.点A,C为射线l上两点，且ABCD 图1 图2 图3 (1)如图1，点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED: (2)如图2，点E在线段AC的延长线上运动时，过点B作BM‖ED交l于点M,试画出图形 探求∠MBA与∠CDE的数量关系并加以证明； (3)如图3，若点E,F在线段AC上，且∠ABE=3∠ABF=60°，DE平分∠FDC,则 2∠BED-∠BFD的度数为 20.综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动. 图① 图② 图③ 图④ (1)观察发现如图①，ABCD,点E在直线AB、CD之间，连接EB、ED.若∠B=28°， ∠D=50°，则∠BED的大小为 度 (2)探究迁移：(I)如图②，AB‖CD,BE,CE交于点E,探究∠BEC,∠B,∠C 之间的数量关系，并说明理由、 (Ⅱ)如图③，AB‖CD,若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分 ∠CQE,当∠PEQ=98时，直接写出∠PFQ的度数是 (3)如图④，AB‖CD,若E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH 的反向延长线交QF于点F,当∠PEQ=a时，直接写出∠PFQ的度数= (用含的式子表示) 参考答案 1.解：A、测量跳远成绩是利用“垂线段最短”来记录成绩的，故符合题意； B、是“两点确定一条直线”，故不符合题意； C、是“两点确定一条直线”，故不符合题意： D、是“两点之间，线段最短”，故不符合题意. 2.解：如下图所示，要使得交点最多，则两两相交且无公共交点，此时有6个交点，即 m=6, 如下图所示，要使得交点最少，则两两平行，此时没有交点，即=0， .∴.n-m=0-6=-6 3.解：如图1所示， E D B4 图1 ,∠A的两边分别与∠B的两边互相平行， ..AC BE,AD BF, ∴.∠A=∠DEG,∠B=∠DEG, .∠A=∠B: 如图2所示， B D 图2 ,∠A的两边分别与∠B的两边互相平行， .AC‖BE,AD‖BF, .∠A+∠AEG=180°，∠B=∠AEG. .∠A+∠B=180°： 综上所述，∠A与∠B的数量关系为相等或互补. 4.解：AB‖CD, ∴.∠FMB+∠END=180°，∠PND+∠NPB=180°. .∠END=180°-∠FMB=110°， ,NP平分∠END, ∴.∠ENP=∠PND=5∠END=55°， ,∠PND+∠NPB=180°， .∠NPB=180°-∠PND=125°. 5.解：BD‖CE‖FF, .∠DF0=180°-∠BDF=180°-148°=32°， ∠EF0=180°-∠CEF=180°-160°=20°， .∠DFE=∠DFO-∠EFO=32°-20°=12° 6.解：AB‖CD,∠ABO=30°， ∴.∠ABO=∠BOD=30, .∠B0C=180°-30°=150°， .OE平分∠BOC, :∠BOE=∠C0E=之×1500=75：所以0错误， OF⊥OE, .∠EOF=90°， .∠B0F=90°-75°=15°， OE三∠BOD,即OF平分∠BOD,所 .OP⊥CD .∠COP=90°， .∠P0E=90°-∠E0C=15°， .∠POE=∠BOF;所以③正确： .∠P0B=75°-∠POE=60°，而∠D0F=15°， ,∠POB≠2∠DOF,所以④错误. 7.解：设∠AEF=x,∠DHQ=y, .∴∠FEG=3x,∠GHQ=3y, ∴.∠GEB=180°-∠AEF-∠FEG=180°-4x, ∠GHD=∠GHQ+∠QHD=4y, .AB‖CD .∴.∠EKH=∠GHD=4y, .:∠GEB+∠G=∠EKH, .∴.180°-4x+∠G=4y, .∠KEQ+∠EKH=∠GHQ+∠Q, ∴.x+4y=3y+Q, ∠Q=x+y, .4∠Q=4x+4y, .∴.4∠Q=4x+180°-4x+∠G, .∴.4∠Q-∠G=180°. G K B >O D 8.解：OM‖a,ON‖a, .OM‖ON, 则点O、M、N三点共线，理由是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 9.解：设这个锐角为a,则补角为180°-Q,余角为90°-a, 依题意得180°-α=2(90°-c)+40°，解得c=40°. 故余角为90°-40°=50°， 故答案为：50. 10.解：依题意， D 观察作图过程，得出∠FCD=∠CAB, ,∠FCD,∠CAB是一组同位角， 即该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行. 11.解：.AB⊥CD, .∴.∠AOC=90° .∠AOE=∠1=28 ∴.∠COE=∠AOC+∠AOE=90°+28°=118°， 故答案为：118， 12.解：如图所示，过点B作BDl1, B l1‖BDl2, .∠1=∠ABD,∠2=∠CBD ∴.∠ABD+∠CBD=∠1+∠2=∠ABC=90°， .∠2=90°-∠1=35°， 故答案为：35· 13.解：如图，过点C作CM‖AB, ○AB M-- G :AB‖DG, AB‖DG‖CM, .∠ACM=∠BAC=50°，∠DCM=∠CDG=70°， .∠ACD=∠ACM+∠DCM=120°， .AE CF, .∠ACF=180°-∠EAC=180°-80°=100°， ,∠DCF=∠ACD-∠ACF=20°. 14.解：如图所示，过点C作CM‖DE, B G M--- :AF‖DE,CM DE, .AF‖CM‖DE .∠MCD=∠D=105°，∠CGF=∠GCM. .∠GCD=135, .ㄥGCM=∠GCD-∠MCD=30°， .∠CGF=30° 15.(1)解：ON⊥CD.理由如下： .OM⊥AB, ∴.∠AOM=90, ∴.∠1+∠AOC=90° 又∠1=∠2， .∠2+∠AOC=90°， 即ㄥCON=90°， .ON⊥CD; (2)解：由(1)知∠1+∠AOC=90, .∠1=90°-∠AOC, .∠B0C=4∠1，∠AOC+∠B0C=180°， .∠A0C+490°-∠A0C=180°， 解得∠AOC=60, ∴.∠BOD=∠AOC=60° 16.(1)解：理由如下： 因为BC与AE相交于点F, 所以∠AFC=∠2（对顶角相等）. 因为∠1+∠2=180°（已知）， 所以∠1+∠AFC=180°（等量代换）， 所以AD‖BC(同旁内角互补，两直线平行)， 所以∠D=∠BCE(两直线平行，同位角相等)· 故答案为：对项角相等，等量代换，AD‖BC,两直线平行，同位角相等； (2)解：ADBC, .∠B+∠BAD=180°， ∠B=∠D, .∠D+∠BAD=180°. .AB‖CD .∠BAE=∠E=58°， ,AE是∠BAD的角平分线， ∴.∠BAD=2∠BAE=116, .∠D=180°-∠BAD=64°， .∠BCE=∠D=64° 17.(1)证明：.DH‖AC, ∴.∠1=∠ACD, :∠1+∠2=180°， ∴.∠ACD+∠2=180°， ∴.EF‖DC: (2)解：.DH‖AC, ∴.∠ACB=∠BHD=64°， .CD平分∠ACB, :∠ACD= ∠ACB=32°， 由(1)知∠ACD+∠2=180°， ∴.∠2=180°-∠ACD=148° 18.(1)解：OC‖AB,理由如下： BC OA, .∴.∠COA+∠C=180°， .∠C=∠OAB, .∴.∠COA+∠OAB=180°， .OC‖AB: (2)解：.OE平分∠COF, ∠E0F=COp, :∠FOB=∠AOB=∠FOA, :∠EOB=∠EOF+∠oB-C0F+号<rOA-∠COP+∠0A=<C0A BC‖OA, ∴.∠C0A=180°-∠C=180°-110°=70°， .∠E0B=号x70=35; (3)解：存在∠OEC=∠OBA,理由如下： 若左右平移线段AB,题目中的条件未变化，则由(2)的求解过程可知∠EOB=35°不变， 设∠OEC=∠OBA=x,则∠OEB=180°-x,∠OBC=70°-x, .180-x+70-x+35=180, 解得X=52.5°， 则∠0EC=52.5」 19.(1)证明：过点E作EG‖AB, BEG=∠B .AB‖CD ∴.EG‖CD .∠DEG=∠D ∴∠B+∠D=∠BEG+∠DEG=∠BED: (2)解：图形如下，∠MBA=∠CDE； 证明：延长BM,DC相交于点P, M C I.:AB‖CD .∠MBA=∠P, ,BM‖ED, ∴.∠CDE=P, ∴.∠MBA=∠CDE: (3)解：设∠CDE=X, .DE平分∠FDC, ∴∠FDE=∠CDE=X, ∴.∠CDF=2x, ∠ABE=3∠ABF=60°， ∴.∠ABF=20° 由(1)知，∠BED=∠ABE+∠CDE=60°+X, ∠BFD=∠ABF+∠CDF=20°+2X, .∴.2∠BED-∠BFD=260°+x-2x+20=120°+2X-2X-20°=100°. 20.(1)解：如图，过E点作直线FG‖AB, B F G C D FG‖AB .∠1=∠B=28°， .AB CD :.FG CD, .∠2=∠D=50°， .∠BED=∠1+∠2=78°： (2)解：(I)∠B+∠BEC-∠C=180°，理由如下： 如图，过E点作直线FG‖AB, A F-- ---G E D :FG‖AB, .∠1=180°-∠B, .AB CD, FG‖CD, .∠2=∠C, .∠BEC=∠1+∠2=180°-∠B+∠C, .∠B+∠BEC-∠C=180°； (Ⅱ)如图， A 1y3 ⊙ F E 2人4 C Q 一D 由(1)可得，∠PFQ=∠1+∠2，∠PEQ=∠3+∠4， ,∠PEQ=98°， .∠3+∠4=98° 又.∠APE+∠3=180°，∠CQE+∠4=180°， ∴.∠APE+∠CQE=360°-∠3+∠4=262°， :PF平分∠APE,QF平分∠CQE, <1=PE,2=<C0E 21+z2-<PE+号2CQE-APE+∠C0c-2×262=-131 ∠PFQ=131°： (3)解：如图④，过E点作直线MN‖AB, E M-- A P -D 图④ .AB CD, MN‖AB CD, ∴.∠MEP=∠EPB,∠MEQ=∠EQD, 设∠MEP=B,则∠EPB=B, 又∠PEQ=a, .∠MEQ=∠EQD=β+a, .QF平分∠CQE, ∴CQF=∠pQE=180-eE0D=180-B+a川=90-2B-2a. ,PH平分∠APE, ∠APH=∠EPH=180-∠EPB=180-Bl=90-2B, ∠BPr=∠APH=90-B, 由(2)可得，∠BPF+∠PFQ-∠CQF=180°， 90°-0+zPFQ-90°-2B-3a=180 化简，得2PFQ=180-之a