第12讲 直线的一般式方程（思维导图+2知识点+4大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第12讲 直线的一般式方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 直线的一般式方程及辨析 题型02 一般式方程的图像特征 题型03 一般式下的平行、垂直问题 题型04 直线过定点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.直线的一般式方程 1. 根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(一般式),提升直观想象与数学运算的核心素养. 学习重点：掌握直线方程的一般式形式 学习难点：理解一般式下的平行、垂直、过定点问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的一般式方程 1、定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0（）叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明：（1）、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. （3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 2、直线的一般式方程与其它形式方程的互化 （1）一般式化为斜截式的步骤 ①移项得； ②当时，得斜截式方程． （2）一般式化为截距式的步骤 （1）把常数项移到方程右边，得； ①当，方程两边同时除以，得； ②化为截距式方程：． 即时即练 1．（24-25高二上·浙江·期中）直线的倾斜角为_______. 2．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 【方法总结】 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 注意:要注意斜率不存在或者为0时的情况. 知识点02 一般式方程下的平行与垂直 1、平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 2、平行与垂直的直线系方程 （1）平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 （2）垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 即时即练 1．（25-26高二上·全国·期末）已知直线，，若，则的值为________． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，若，则实数______． 3．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； 4．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）直线经过的定点的坐标为__________. 5．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【方法总结】 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论: 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 题型01 直线的一般式方程及辨析 1．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期中）直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·江苏·期中）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高二上·广东·期中）设直线（、不同时为0），则（  ） A．若，则与坐标轴平行 B．若，则的倾斜角唯一 C．若，则的斜率唯一 D．若，则在坐标轴上的截距唯一 5．（多选题）（25-26高二上·山东临沂·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．当时，l过坐标原点 B．当时，l的倾斜角为 C．当时，l与两条坐标轴都相交 D．当，时，l经过第一、二、四象限 【技巧归纳】 求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项顺序排列. 注意:要注意斜率不存在或者为0时的情况. 题型02 一般式方程的图像特征 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 2．在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象有可能是（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）若，，则在下列函数图象中，不可能是直线的图象的是（ ） A．B．C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江双鸭山·阶段检测）直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，则实数的取值范围是______． 题型03 一般式下的平行、垂直问题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 2．下列直线中与直线垂直的一条是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（    ） A．或 B． C． D． 6．（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 7．（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 8．（25-26高二上·安徽·期末）已知直线与平行，则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 或3 【技巧归纳】 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论: 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 题型04 直线过定点问题 1．（25-26高二上·浙江台州·期中）直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D．或 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中、均为正数，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【技巧归纳】 解含有参数的直线恒过定点的问题的两种方法 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点,从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示所有直线必过定点(x0,y0). 1．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为 （    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）如果，且，那么直线不通过（    ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 5．（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 6．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 7．已知直线，䒴，，则（    ） A．或 B． C．或 D． 8．（25-26高二上·河南郑州·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（    ） A． B．1 C． D．7 10．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期末）直线的倾斜角为______． 13．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 14．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 15．（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $