第2章特殊三角形 期末复习单元达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2025-2026学年浙教版八年级数学上册《第2章特殊三角形》 期末复习单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数为勾股数的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 3．定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是（   ） A．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．到角两边距离不相等的点不在这个角的角平分线上 C．角平分线上的点到角两边的距离不相等 D．不在角平分线上的点到角两边的距离不相等 4．如图，在中，，是斜边上的中线．若，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D．10 5．如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．如图，在中，，现将三角形的一个角沿折叠，使得点落在边上的点处．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 7．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在和中，，，，．连接、交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题（满分24分） 9．已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形周长为 ． 10．在中，，，，则 ． 11．在中，，，，则 °． 12．如图，和关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，若，则的长度为 ． 13．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的 ． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为 ． 15．如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 16．如图所示，圆柱高为米，在底面周长为米的圆柱上，有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点，则彩带长至少为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，，，且，求证：． 18．如图，，，，，，请你连接．求： (1)的长； (2)四边形的面积． 19．如图，的顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线成轴对称． (1)请在如图所示的网格中作出． (2)连接，则与直线的关系是______． (3)在直线上找一点，使得值最小． 20．如图，在中，，，的平分线交于点D，且． (1)求的大小； (2)求证：． 21．2025年成都世界运动会（第12届世界运动会）是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事．随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是和已知，，点C在点B的正东方处，点D在点C的正北方处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 22．如图1，三点在一条直线上，和均为等边三角形，连接交于点F，交于点M，交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：； 23．【问题背景】 （1）如图1，点P是线段，的中点，求证：； 【变式迁移】 （2）如图2，在等腰中，是底边上的高线，点E为内一点，连接，延长到点F，使，连接，若，请判断、、的数量关系并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等腰中，，，点D为中点，E点在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请直接写出的长． 参考答案 1．解：A：是轴对称图形，故该选项符合题意； B：不是轴对称图形，故该选项不合题意； C：不是轴对称图形，故该选项不合题意； D：不是轴对称图形，故该选项不合题意． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指三个正整数a、b、c（其中c最大），满足，直接计算各选项的平方和与最大数的平方是否相等即可判断． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， ∵“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”是真命题， ∴定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”， 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ∵， ． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质可以求出，由折叠的性质可得，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 【详解】解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①；过点分别作，，垂足分别为，，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：， ，即， ，， ， ，故②正确； ， 设和交于点， ， ， 即，故①正确； 过点分别作，，垂足分别为，， ， ， 平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据题意分类讨论：当腰长为时，由三角形三边数量关系可得不符合题意；当腰长为时，符合题意，由三角形周长的计算方法即可求解． 【详解】解：若腰长为，则三边为、、， ，不符合三角形三边关系（两边之和大于第三边），故不成立； 若腰长为，则三边为、、，满足任意两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边， 周长为， 故答案为：20． 10．3 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【详解】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 11． 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 12．2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据成轴对称图形的性质得出，再根据全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上， ∴， 与是对应边， ∴， 故答案为：2． 13．角平分线、高线、中线 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的角平分线、高线、中线等知识点，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义逐个图形分析即可解答． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故答案为：角平分线、高线、中线． 14．8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 【点睛】 15．2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质． 根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2． 16．米 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 将圆柱体侧面展开，通过勾股定理计算即可得解． 【详解】解：将圆柱体侧面展开如图： 此时米，米， 有一条彩带从柱底点沿圆柱表面缠绕圈到达圆柱顶正上方的点， 米， 在中，米， 则彩带长至少为米． 故答案为：米． 17．见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明 是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明 ，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ； （2）解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 19．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质，解答即可． （3）连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵和关于直线成轴对称， ∴； 故答案为： （3）解：如图，连接，交直线l于点P，连接，点P即为所求． 20．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）求出，再证明即可； （2）先证明，推出，再证明，推出，由此即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：延长、交于点G． ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 21．(1)，理由见解析 (2)小亮的路线更短 【分析】（1）根据，，可得，进而可得； （2）根据可得，根据勾股定理计算的长，然后比较即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，， ， ， ， ； （2）解：点D在点C的正北方，点A在B的正南方，， ， ，， ， 路线的长为：， 路线的长为：， ∵ ∴ ∴ ∴， 小亮的路线更短． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，灵活运用相关判定与性质定理是解题的关键． （1）由等边三角形定义解得，继而整理得，由证明，最后由全等三角形对应边相等即可证明结论； （2）由得到，再由角的和差证明 ，接着由证明可得，即是等边三角形，从而得到，最后根据内错角相等两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即． ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵ ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得到，再利用平行线的判定即可证明； （2）连接，先证明，得到，，结合，得到，再利用勾股定理即可得出结论； （3）延长到点T，使，连接，延长交于点J，先证明，得到，，再证明得到，，利用线段的和差求出和，再利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点P是线段，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵在等腰中，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长到点T，使，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $