第02讲 解直角三角形及其应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第02讲 解直角三角形及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解直角三角形的相关计算 题型2 构造直角三角形解直角三角形 题型3 仰角、俯角实际应用题 题型4 方位角实际应用题 题型5 坡度、坡比实际应用题 题型6 解直角三角形的其他实际应用题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形定义 仰角俯角 实际应用题 1. 掌握解直角三角形概念，梳理直角三角形三边、两锐角、边角三大核心等量关系。 2. 已知直角三角形两边或一边一锐角，熟练求解剩余边角，掌握基础解题步骤。 3. 理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角实际专有名词含义，识记对应公式。 4. 学会将测量、航海、坡面工程类实际问题转化为直角三角形数学模型。 5. 认识组合直角三角形模型，掌握辅助线构造直角三角形的基础解题方法。 学习重点：直角三角形边角公式、解直角三角形基础运算、坡度与方位角概念、实际问题建模解题。 学习难点：实际场景文字转化几何图形、构造辅助线求解、坡度坡角综合计算、复合型直角三角形解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形的概念 1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 2.直角三角形共有六个元素：三条边、三个角，其中直角固定为90°。 即时即练如图，已知：在中，已知，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）钝角处理失误：不会延长底边构造直角三角形，直接把放进直角三角形计算； （2）角度看错：误用直接三角函数，忽略直角三角形内角只能取补角； （3）线段长度算错：误写，忘记在外侧，应该相加； （4）根式化简不彻底：算出不化简为； （5）特殊三角函数值记混，正余弦颠倒导致算反。 知识点02 解直角三角形的实际应用 1. 仰角、俯角：由视线与水平线的夹角中，当视线在水平线上方时叫做仰角，当视线在水平线下方时叫做俯角。 2. 坡度与坡角：坡面的垂直高度与水平宽度的比为坡度；坡面与水平面的夹角为坡角；坡度等于坡角的正切值。 3. 方向角：以正南、正北方向为基准，描述物体方位的角度。 即时即练2022年12月4日晚，神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，标志着我国空间站运营常态化，也意味着我国是当今世界上唯一拥有独立建设空间站能力的国家，也预示着中国载人航天技术登上新的台阶．如图是神舟十四号载人飞船返回舱在降落过程中某时刻的画面及此时画面的几何分析图，若伞绳，求的长约为多少．（参考数据：） 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）角度平分遗忘：直接用代入三角函数计算，没有利用等腰三角形三线合一分成； （2）忘记乘 2：算出半段后，直接把当作，忽略； （3）三角函数选错：混淆，误用计算对边； （4）审题混淆边角：分不清斜边、对边、邻边，比例式列反。 题型1 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【例2】如图，在中，于点，那么______． 【例3】如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）边角关系：sin、cos、tan 三角函数公式； （2）边边关系：勾股定理； （3）角角关系：两锐角互余； （4）解题原则：有斜用弦，无斜用切，求边用乘，求角用除，尽量用已知条件，少用推导数据，减少误差。 【变式1-1】如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，等边三角形中，分别为边上的点，与交于点于点，若，则的值是_______ 【变式1-4】如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式1-5】如图，在四边形中，，于点，连接．若，，，求点到的距离． 题型2 构造直角三角形解直角三角形 【例4】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【例5】如图，在中，，，，则的长为______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）适用于：非直角三角形、不规则图形，无现成直角可利用； （2）核心方法：作高造直角； （3）解题逻辑：公共高为桥梁，串联两个直角三角形的边长、角度关系。 【变式2-1】已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 题型3 仰角、俯角实际应用题 【例6】如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【例7】某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔的高度，无人机在距地面的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为．求出红山塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）画图建模：画出水平线、视线、竖直高度，构造Rt△； （2）利用平行线性质，转化内错角相等，转移仰角、俯角； （3）设未知数，结合三角函数、勾股定理列方程求高度、距离。 【变式3-1】如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为_____m．（参考数据：，，） 【变式3-2】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【变式3-3】因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【变式3-4】今年3月25日是第29个“全国中小学生安全教育日”，某校在当天开展了消防安全教育主题活动，邀请消防队来学校开展活动，他们分享了这样一个真实的案例：某小区电瓶车充电失火，火势迅速向上蔓延，有人被困12楼上．消防队及时赶到，但楼房前消防通道（距楼房10米）停有车辆．消防队排除万难，成功救人．同学们报以热烈掌声． 大家关心消防云梯的有关知识，经了解，获得以下数据：云梯长，云梯根部距地面高度，车两侧安全距离分别用a，b表示，测得（b表示云梯根部距楼房的距离，s表示消防救援的安全距离）．为保持安全，云梯最大仰角为．（参考数据：．结果保留一位小数） (1)求云梯最大伸展高度（竖直距离的长），案例中消防车云梯能否成功到达12楼（每层）？ (2)求图中安全距离s的长度，案例中原来停有的车辆对本次救援是否有影响？ 题型4 方位角实际应用题 【例8】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【例9】如图，一艘船向东航行，上午时到达处，看到有一灯塔在它的北偏东方向，距离它海里的处；上午时到达处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）【参考数据：，，】 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）正北、正南线互相平行，与水平线垂直，天然存在直角； （2）根据方位角标出角度，作垂线构造直角三角形； （3）多方位角题型，通过角度和差算出三角形内角，再解三角形。 【变式4-1】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为______海里． 【变式4-2】如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【变式4-3】某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方．    (1)求的距离（结果精确到m）； (2)小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿 到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 题型5 坡度、坡比实际应用题 【例10】如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【例11】如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）根据坡度设高、宽参数（如，设）； （2）勾股定理求斜坡总长； （3）结合已知边长列方程求解。 【变式5-1】如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为_______（参考数据：） 【变式5-3】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 题型6 解直角三角形的其他实际应用题 【例12】桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【例13】某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 ________米．（结果精确到1米）（参考数据：） 【例14】图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）建模：将实际图形抽象为直角三角形或组合直角三角形； （2）找边角：提取已知边长、特殊角、隐藏直角； （3）选方法：优先特殊角、勾股定理，其次三角函数列方程； （4）验结果：结合实际场景，舍去不合理的负值解。 【变式6-1】圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为______．（参考数据：） 【变式6-3】长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索与水平桥面的夹角是，点A处距离大桥立柱底端D的距离为96米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离为5米，求大桥立柱的高．（结果精确到1米）[参考数据：，，] 【变式6-4】如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． (1)________m，_______m（结果保留根号）； (2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【变式6-5】图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 1．在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 3．在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若，，，，则点A，D之间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，河坝的横断面的坡比，坝高米，则的长度是______米． 8．在中，，，，求 ________ 9．如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则________． 10．如图，秋千链子的长度，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面，秋千向两边摆动，当踏板处于位置时，摆角最大，此时，则在位置，踏板与地面的距离约为________m（，，结果精确到）． 11．在中，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 _______． 12．如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为____ 13．如图所示，在中，，，求的长．（结果保留根号） 14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 15．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 16．在中，，，若，求的长． 17．苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．” 从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，，于点且，连接． (1)求的面积； (2)求点到的距离． 18．为了保护视力，某人购买了可升降夹书架，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②）测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） 19．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 20．2024年4月25日20时59分搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射“80后”乘组航天员叶光富、李聪、李广苏开启了为期半年的太空之旅．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达P点时，从位于地面A处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达Q处，此时测得仰角为 ． (1)求点P离地面的高度； (2)求飞船从P处到Q处的平均速度． （结果精确到，参考数据：） 21．三角形中有一条重要的角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在中，是的角平分线， (1)请证明： (2)当，，时，求的长． 22．烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（结果精确到0.1m） （参考数据：，，，，，） 23．如图1，在中，，，，则，现将沿折叠，得到，如图2，易知、、三点共线，（其中）． 过点作于点． ， ， ， ， ， ． 阅读以上内容，回答下列问题： (1)如图1，若，则_____，_____； (2)类比题干方法，求出的表达式（用含或的式子表示）． 24．如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 25．每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)求货车的高度； (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 26．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（，，在同一条直线上）根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：______度，______度； (2)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (3)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 解直角三角形及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解直角三角形的相关计算 题型2 构造直角三角形解直角三角形 题型3 仰角、俯角实际应用题 题型4 方位角实际应用题 题型5 坡度、坡比实际应用题 题型6 解直角三角形的其他实际应用题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 解直角三角形定义 仰角俯角 实际应用题 1. 掌握解直角三角形概念，梳理直角三角形三边、两锐角、边角三大核心等量关系。 2. 已知直角三角形两边或一边一锐角，熟练求解剩余边角，掌握基础解题步骤。 3. 理解仰角、俯角、坡度、坡角、方位角实际专有名词含义，识记对应公式。 4. 学会将测量、航海、坡面工程类实际问题转化为直角三角形数学模型。 5. 认识组合直角三角形模型，掌握辅助线构造直角三角形的基础解题方法。 学习重点：直角三角形边角公式、解直角三角形基础运算、坡度与方位角概念、实际问题建模解题。 学习难点：实际场景文字转化几何图形、构造辅助线求解、坡度坡角综合计算、复合型直角三角形解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 解直角三角形的概念 1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 2.直角三角形共有六个元素：三条边、三个角，其中直角固定为90°。 即时即练如图，已知：在中，已知，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，先在中利用角的邻补角求出、的长度，再在中利用勾股定理计算的长度． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ， ， ，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）钝角处理失误：不会延长底边构造直角三角形，直接把放进直角三角形计算； （2）角度看错：误用直接三角函数，忽略直角三角形内角只能取补角； （3）线段长度算错：误写，忘记在外侧，应该相加； （4）根式化简不彻底：算出不化简为； （5）特殊三角函数值记混，正余弦颠倒导致算反。 知识点02 解直角三角形的实际应用 1. 仰角、俯角：由视线与水平线的夹角中，当视线在水平线上方时叫做仰角，当视线在水平线下方时叫做俯角。 2. 坡度与坡角：坡面的垂直高度与水平宽度的比为坡度；坡面与水平面的夹角为坡角；坡度等于坡角的正切值。 3. 方向角：以正南、正北方向为基准，描述物体方位的角度。 即时即练2022年12月4日晚，神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，标志着我国空间站运营常态化，也意味着我国是当今世界上唯一拥有独立建设空间站能力的国家，也预示着中国载人航天技术登上新的台阶．如图是神舟十四号载人飞船返回舱在降落过程中某时刻的画面及此时画面的几何分析图，若伞绳，求的长约为多少．（参考数据：） 【答案】的长约为39米 【分析】主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，再解即可． 【详解】解：过点作于点， ， ． 在中，， ， ． ． 的长约为39米． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）角度平分遗忘：直接用代入三角函数计算，没有利用等腰三角形三线合一分成； （2）忘记乘 2：算出半段后，直接把当作，忽略； （3）三角函数选错：混淆，误用计算对边； （4）审题混淆边角：分不清斜边、对边、邻边，比例式列反。 题型1 解直角三角形的相关计算 【例1】如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】如图，在中，于点，那么______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设，则，利用勾股定理求得，，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴，， 又， ∴， ∴， 故答案为：8． 【例3】如图，中，，垂足是，若，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． （1）首先根据的三角函数求出的长度，即可得出的长度； （2）在中，根据勾股定理求出的长度，由，代值计算即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）边角关系：sin、cos、tan 三角函数公式； （2）边边关系：勾股定理； （3）角角关系：两锐角互余； （4）解题原则：有斜用弦，无斜用切，求边用乘，求角用除，尽量用已知条件，少用推导数据，减少误差。 【变式1-1】如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 【变式1-2】在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查学生对锐角三角函数的定义的理解，利用“设未知数法”表示出三角形的三边求解更加简便．作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解． 【详解】解：， ∴设，， ∴由勾股定理得： ， ∴． 故选：C． 【变式1-3】如图，等边三角形中，分别为边上的点，与交于点于点，若，则的值是_______ 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的相关知识，解此题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．先证 ≌，得到，然后利用等量代换得到，在直角中用正弦可以求出线段的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵AD=BE， ∴，即BD=CE， 在和中： ， ∴≌， ∴， 又， ∴在直角中，， 即：， 解得：． 故答案为：． 【变式1-4】如图，在中，，点为的中点，交于点，连接，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，，得出，则，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）因为点D为的中点，，得出是的垂直平分线，则，，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点D为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式1-5】如图，在四边形中，，于点，连接．若，，，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．过点作于点，则，在中，利用锐角三角函数可得，在中， 设，则，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ， ． ，， 在中，， 在中，， 设，则， ， ， 解得，即． 答：点到的距离是． 题型2 构造直角三角形解直角三角形 【例4】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【例5】如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）适用于：非直角三角形、不规则图形，无现成直角可利用； （2）核心方法：作高造直角； （3）解题逻辑：公共高为桥梁，串联两个直角三角形的边长、角度关系。 【变式2-1】已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【变式2-2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型3 仰角、俯角实际应用题 【例6】如图，B为一建筑物的最高点，从地面上的A点，用测角仪在D处测得B点的仰角α，若测角仪高，，则建筑物的高可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长． 【详解】解：过点D作于F， 由题意知：，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 故选：C． 【例7】某学校九年级数学实践活动小组，计划采用无人机辅助的方法，测量红山塔的高度，无人机在距地面的空中水平飞行，在点C处测得塔尖A的俯角为，到点D处测得塔尖A的俯角为，测得飞行距离为．求出红山塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】铁塔的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长交于点，根据题意可得：，，设，在中，求出，再在中，求出，最后根据，列出方程，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意得：，， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：红山塔的高度约为． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）画图建模：画出水平线、视线、竖直高度，构造Rt△； （2）利用平行线性质，转化内错角相等，转移仰角、俯角； （3）设未知数，结合三角函数、勾股定理列方程求高度、距离。 【变式3-1】如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为_____m．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角的含义并熟练地运用三角函数解决问题是关键． 过点A作，垂足为E，则，求解，，从而可得答案． 【详解】解：过点A作，垂足为E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴该建筑的高度约为． 故答案为：． 【变式3-2】数学“综合与实践”课上，数学老师带着学生利用皮尺和测角仪等工具，测量了学校教学楼的高度．如图，在教学楼的正前方有一斜坡，测得米，坡角，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为，其中点A，C，E在同一条直线上，图中各点均在同一平面内，求教学楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键． 在中，利用锐角三角函数定义求出的长，过D作交于点F，可得出三角形为等腰直角三角形，设米，表示出，，，由题意得到三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出的长． 【详解】解：在中，米，， ∴米 过D作交于点F， 在斜坡上的点D处测得楼顶B 的仰角为， ∴， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， 设米， ∵ ∴四边形为矩形， ∴米，即（米）， 在中，， ∴（米）， 米，米， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得 即 ， 解得： ， ∴（米） 【变式3-3】因为市区某大型出入口要进行改道施工，有关部门在一个主要路口设立了交通路况指示牌（如图）．已知A、B、C在同一直线上，垂直于地面，立杆高度是，从侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和．求路况指示牌的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是正确的将仰角俯角问题转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识求解． 利用锐角三角函数分别求出和，利用两者的差等于3求得的长即可． 【详解】解：∵侧面D点测得指示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是和， ∴，， ∵垂直于地面，立杆高度是， ∴()， ∴()， ∴指示牌的高度为()． 【变式3-4】今年3月25日是第29个“全国中小学生安全教育日”，某校在当天开展了消防安全教育主题活动，邀请消防队来学校开展活动，他们分享了这样一个真实的案例：某小区电瓶车充电失火，火势迅速向上蔓延，有人被困12楼上．消防队及时赶到，但楼房前消防通道（距楼房10米）停有车辆．消防队排除万难，成功救人．同学们报以热烈掌声． 大家关心消防云梯的有关知识，经了解，获得以下数据：云梯长，云梯根部距地面高度，车两侧安全距离分别用a，b表示，测得（b表示云梯根部距楼房的距离，s表示消防救援的安全距离）．为保持安全，云梯最大仰角为．（参考数据：．结果保留一位小数） (1)求云梯最大伸展高度（竖直距离的长），案例中消防车云梯能否成功到达12楼（每层）？ (2)求图中安全距离s的长度，案例中原来停有的车辆对本次救援是否有影响？ 【答案】(1)能达到，理由 根据题意得，， ， ∴消防车云梯能成功到达12楼； (2)有影响，理由 根据题意得，， ， ∴消防车云梯能成功到达12楼； 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数． （1）利用锐角三角函数进行求解即可； （2）利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型4 方位角实际应用题 【例8】如图，从小明家（处）到学校有两条路，一条沿北偏东方向可直达学校前门（处），另一条从小明家一直往东，到商店处，向正北走，到学校后门（处），若两条路的路程相等，学校的后门在小明家北偏东处．则学校从前门到后门的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据为，利用的余弦值可得的长，也就是的长，减去即为所求的距离． 【详解】解：由题意得，米，， ， ， 解得：， （米）， （米）， 故选：A 【例9】如图，一艘船向东航行，上午时到达处，看到有一灯塔在它的北偏东方向，距离它海里的处；上午时到达处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）【参考数据：，，】 【答案】31海里/时 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意可得，进而根据路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，，在中， （海里）． （海里/时）． 答：这艘船航行的速度为海里/时． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）正北、正南线互相平行，与水平线垂直，天然存在直角； （2）根据方位角标出角度，作垂线构造直角三角形； （3）多方位角题型，通过角度和差算出三角形内角，再解三角形。 【变式4-1】如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西方向，求轮船航行的路程为______海里． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 过点A作，根据方位角及三角函数即可求解． 【详解】解：如图，过点A作， 依题意可得， ∴是等腰直角三角形，（海里）， ∴（海里）， 在中，， ∴ （海里）， ∴（海里）， 故答案为： ． 【变式4-2】如图①，一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东，轮船向正北方向航行后到达B处，这时灯塔S恰好在船的正东方向． (1)______ m，______（结果保留根号) ． (2)如图②，若轮船从B处向东航行到达点C，从点C处观测灯塔塔顶D的仰角为，则灯塔的高度是多少米？（参考数据：，，，结果精确到．） 【答案】(1)；1000 (2)53米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真审题得，，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）结合图形得，再在中，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，，， ， ， ， 故答案为：，1000； （2）解：由题意得， 在中，， 答：则灯塔的高度是53米． 【变式4-3】某景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点在点正南方，点在点正东方，，点在点的北偏西方向，，点在点正北方且在点正东方．    (1)求的距离（结果精确到m）； (2)小华和小亮同时从游客中心点出发，前往点处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿 到达点后，立即骑行到达点，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达点？（参考数据：） 【答案】(1)的距离约为米 (2)小亮先到达点 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． （1）设的延长线交于点，可得和都是直角三角形，四边形是矩形，，再利用锐角三角函数求解即可； （2）在直角中，求解米，在直角中，求解米，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设的延长线交于点，    由题意知：和都是直角三角形，四边形是矩形，， 在直角中， ，米， （米）， 米， 在直角中， ，米， （米）， （米）， 答：的距离约为米； （2）在直角中， ，米， （米）， 在直角中， ，米， （米）， 米， 小华到达点所花时间为 ， 小亮到达点所花时间为 ， ， 小亮先到达E点． 题型5 坡度、坡比实际应用题 【例10】如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图， 在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：D． 【例11】如图，河堤横断面迎水坡的坡度是，堤高，则坡面的长度是_______． 【答案】16 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是， ∴， 又， ∴ 在中，， 故答案为：16． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）根据坡度设高、宽参数（如，设）； （2）勾股定理求斜坡总长； （3）结合已知边长列方程求解。 【变式5-1】如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 【变式5-2】如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为_______（参考数据：） 【答案】25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 【变式5-3】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；斜坡改造为斜坡，斜坡米，其坡度为．求斜坡下降的高度．（结果保留根号） 【答案】斜坡下降的高度为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握掌握解直角三角形的应用是解题关键． 根据坡度与坡角的关系得到，利用的直角三角形的性质求得米，再根据坡度的概念，设米，则米，利用勾股定理构建一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：改造前，斜坡坡度， ， ， （米）， 改造后，斜坡坡度， ， 设米，则米， 在中，，且米， ，解得：， 米， 米， 斜坡下降的高度为米． 题型6 解直角三角形的其他实际应用题 【例12】桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 【例13】某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是50米，测得，则大桥的长度是 ________米．（结果精确到1米）（参考数据：） 【答案】407 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义即可求出． 【详解】解：在中，米，， ∴ ，则（米） ∴故答案为：407. 【例14】图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）建模：将实际图形抽象为直角三角形或组合直角三角形； （2）找边角：提取已知边长、特殊角、隐藏直角； （3）选方法：优先特殊角、勾股定理，其次三角函数列方程； （4）验结果：结合实际场景，舍去不合理的负值解。 【变式6-1】圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解∶在中，， 约为，， ，即． ． 故选∶B． 【变式6-2】小明不小心把一块直角三角形玻璃打碎了，他取了一个碎片（如图），若，，，则原直角三角形玻璃的面积为______．（参考数据：） 【答案】107 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴原直角三角形玻璃的面积， 故答案为：107． 【变式6-3】长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点A处测得拉索与水平桥面的夹角是，点A处距离大桥立柱底端D的距离为96米，已知大桥立柱上B点距立柱顶端C点的距离为5米，求大桥立柱的高．（结果精确到1米）[参考数据：，，] 【答案】大桥立柱的高约为83米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴大桥立柱的高约为83米． 【变式6-4】如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到所在直线的距离，，停止位置示意图如图3，此时测得（点C，A，D在同一直线上，且直线与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变． (1)________m，_______m（结果保留根号）； (2)求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)物体上升的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）在中，，，分别代入数值进行计算，即可作答． （2）由（1）得，解求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得， 在中， ， 答：物体上升的高度为． 【变式6-5】图1是某品牌实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点O，点B为旋转点，可转动，当绕点B顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：．（参考数据：） (1)如图2，，． ①填空： °；②投影探头的端点D到桌面的距离为 ． (2)如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离． 【答案】(1)①160；②45； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，矩形的性质和判定， 对于（1），过点B作交于点F，过点A作，交于点G，根据平行线的性质得，可知；再根据，求出，最后根据点D到桌面的距离是得出答案； 对于（2），如图所示，延长交于点H，作，与延长线相交于点M，作，则四边形是矩形，先求出，进而求出，再求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示， 过点B作交于点F，过点A作，交于点G， ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴点D到桌面的距离是； 故答案为：①160；②45； （2）解：如图所示，延长交于点H，过点B作，与延长线相交于点M，过A作于点F，则四边形是矩形， 由题意得，， ， ， ， 在中，， ， ， ∴投影探头的端点D到桌面的距离为． 1．在中，，如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是锐角三角函数，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义，结合已知条件求出边的关系． 【详解】解：如图，在中，， ， ， 故选：． 2．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 3．在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、， ∴，，，， ∴，，，，只有C符合题意， 故选：C． 4．如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 5．如图1是一款折叠床，图2是其侧面示意图，若，，，，则点A，D之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等边三角形的性质以及翻折变换等知识，连接，连接并延长交于点E，证明是的垂直平分线，是等边三角形，再由等边三角形的性质得，，然后在和中，由锐角三角函数的定义求出和的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，连接并延长交于点E， ∵， ∴是的垂直平分线，是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴点A，D之间的距离为， 故选：D． 6．如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的性质进行相等的角之间的转化是解题的关键．根据直角三角形的性质，，，得到，再根据题意即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，河坝的横断面的坡比，坝高米，则的长度是______米． 【答案】 【分析】本题考查了坡比的定义，理解其定义是解题的关键． 根据坡比的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 8．在中，，，，求 ________ 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出的值为，则可得．本题主要考查了三角函数的定义以及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出，则，所以，然后在中利用的正弦可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，秋千链子的长度，静止时秋千踏板处于A位置，此时踏板距离地面，秋千向两边摆动，当踏板处于位置时，摆角最大，此时，则在位置，踏板与地面的距离约为________m（，，结果精确到）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．过点作于点B，解直角三角形得出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴踏板与地面的距离约为：， 故答案为：． 11．在中，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 _______． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，需分情况讨论当为直角三角形时，即或时，利用解直角三角形和角的三角函数值求解． 【详解】在中，，D为的中点，E在斜边上且。 ①当时： 在中，， 则， 因为D是的中点，故 ， 在中，， ②当时： 在中，， 则， 因为D是的中点，故， 在中，， 故答案为：3或4． 12．如图，在中，，，点D为边的中点，于点E，连接，则的值为____ 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．利用等腰直角三角形结合勾股定理求出，解得到，然后通过，即可求得的值． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 点D为边的中点， ， 于点， ， ， ， ． 故答案为：． 13．如图所示，在中，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点C作于点E，根据等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，特殊角三角函数的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点E， ∵，， ∴，, ∴， ∴． 14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点B，于点D，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点A处测得点C的仰角为，则乙建筑物的高为多少m？ 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，则，，因为，，故，再代入数值到，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， 答：乙建筑物的高为． 15．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 【答案】楼的高度是204米 【分析】本题考查解三角函数，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点F，证明四边形是矩形，，求出，则，，继而求出，则，即可解答． 【详解】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 16．在中，，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过A点作于D点，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过A点作于D点， 在直角三角形中，，， ∴， 在直角三角形中，， ∴． 17．苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．” 从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，，于点且，连接． (1)求的面积； (2)求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查三角函数、勾股定理与三角形面积公式的应用．关键在于通过作辅助线构造直角三角形．先利用三角函数求出边长，再结合等面积法求出高． （1）过点B作于点F，构造直角三角形，求出高，根据三角形面积公式即可求出面积； （2）设点A到的距离，先利用勾股定理求出的长度，再根据三角形面积的求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点F， ，即， ， 在中，，， ， ， ； （2）解：， ， 在中，， ， 设点到的距离为，， ， 解得． 18．为了保护视力，某人购买了可升降夹书架，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②）测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．构造直角三角形将题目条件和所求结论集中在一起是解决本题的关键．通过构造直角，利用三角函数得到的长，从而得到结果． 【详解】 解：如图，作于点G，作于点M， ， 在中，， ， ， ∴支点C离桌面l的高度． 19．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自处测得雕像顶的仰角为，小强站在凤栖堂门前的台阶上，自处测得雕像顶的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)计算台阶的高度； (2)求孔子雕像的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为计算即可； （2）设的对边为，作于F，根据矩形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡的坡比为，为， ∴， ， 即台阶的高度为； （2）解：如图所示，设的对边为，作于F， ∴由题意得，四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 20．2024年4月25日20时59分搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射“80后”乘组航天员叶光富、李聪、李广苏开启了为期半年的太空之旅．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达P点时，从位于地面A处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达Q处，此时测得仰角为 ． (1)求点P离地面的高度； (2)求飞船从P处到Q处的平均速度． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2)飞船从P处到Q处的平均速度为 【分析】 （1）直接利用锐角的正弦求解的长即可； （2）先求解，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解： ， 为直角三角形， ， ． （2）解：∵在中，， ， ， 为直角三角形， ， ， ， ∵后飞船从P到达Q处， ∴飞船从P处到Q处的平均速度． 21．三角形中有一条重要的角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如图，在中，是的角平分线， (1)请证明： (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明：过点分别作于点，于点， 平分， ， ， 过点作于点， ， ∴； (2) 【分析】（1）过点分别作于点，于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理以及面积思想求证即可； （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，先通过特殊角表示出三条高，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点分别作于点，于点，过点作于点， 平分， ，，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得． 22．烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（结果精确到0.1m） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】过点C作于点E，设，解直角三角形求得，利用这两线段相等建立方程即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， 解得， 答：烽燧的高度为． 23．如图1，在中，，，，则，现将沿折叠，得到，如图2，易知、、三点共线，（其中）． 过点作于点． ， ， ， ， ， ． 阅读以上内容，回答下列问题： (1)如图1，若，则_____，_____； (2)类比题干方法，求出的表达式（用含或的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得，即可求解； （2）根据题意可得，在中，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴， ； （2）解：根据题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 24．如图1是一个装有橙汁的杯子放置在水平桌面上，一根吸管斜插在杯子中，如图2四边形是其杯子的轴截面，折线为吸管．其中，，，，，．如图3，将水平放置杯子沿着点C倾斜，使与水平线平行由图2到图3的变化过程中，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少毫米？（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】点A的位置升高了，升高了约 【分析】在图2中，过点B作于点H．在图3中，过点B作于点N，作，过点A作于点K．分别解直角三角形求出，，再求出，即可求，进而可得杯子倾斜后点A到桌面的距离约为，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点H． ∵， ∴， 在中，∵， ∴； 如图，过点B作于点N，作，过点A作于点K． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴杯子倾斜后点A到桌面的距离约为， ∴， 答：点A的位置升高了，升高了约． 【点睛】解题的关键是添加合适的辅助线构造直角三角形，通过解直角三角形求出杯子倾斜前后点A到桌面的距离． 25．每年的12月2日是“全国交通安全日”，每一位公民任何时候都应该遵守交通规则．某学校门前有一直行马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为6米．现有一货车在路口遇红灯刹车停下，如图，货车里司机与斑马线前后两端的视角，的大小分别为和，司机与车头的水平距离为1米，与车顶的垂直距离为米． (1)求货车的高度； (2)为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得小于3米，试问该货车停车是否符合上述安全标准？四点在平行于斑马线的同一直线上）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)米 (2)符合 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能熟练利用解三角形的知识进行求解是解题的关键． （1）由平行线的性质得，，由等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征即可求解； （2）由正切函数得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ． ， ， ． ， ． ． （米）， 货车的高度约为米． （2）解：在中， ， ， ． 答：该货车停车符合规定的安全标准． 26．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（，，在同一条直线上）根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：______度，______度； (2)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； (3)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)90；120； (2) (3)灯管支架的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形内角和和四边形内角和解题即可； （2）根据解题即可； （3）延长交于点，求出，证明是等边三角形，根据即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴， ； 故答案为：90；120； （2）解：在中，， ， ∴； （3）解：延长交于点， ，， ， 在中，， ∴， 在中，，， ， ， 是等边三角形， ∴． 答：灯管支架的长度约为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $