第01讲 比例线段与简单的位似图形（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第01讲 比例线段和简单的位似图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似图形 题型6 位似图形的辨别 题型2 比例线段 题型7 位似中心 题型3 根据比例的基本性质求解 题型8 相似比 题型4 平行线分线段成比例 题型9 根据位似比放大/缩小图形 题型5 黄金分割 题型10 位似图形的周长、面积计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比 成比例线段 比例基本性质 黄金分割 位似图形 位似性质 1. 理解线段的比、成比例线段定义，掌握比例内项、外项、第四比例项概念。 2. 熟记比例基本性质、合比性质、等比性质，熟练进行比例式变形与计算。 3. 了解黄金分割定义、黄金比数值，掌握黄金分割点相关基础计算。 4. 理解位似图形、位似中心、位似比概念，区分相似图形与位似图形。 5. 掌握简单位似图形性质，会判断位似图形、利用位似放大缩小平面图形，理清位似与相似关系。 学习重点：成比例线段判定、比例基本性质运算、黄金分割概念、位似图形定义与核心性质。 学习难点：比例性质综合化简求值、等比性质分类讨论、辨识位似图形与位似中心、区分相似与位似图形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似图形 1.相似图形定义：形状相同、大小不一定相同的图形。 2.相似多边形定义：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3.相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数；全等是相似比为1的特殊相似。 即时即练下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 【易错提醒】/【方法总结】 相似多边形需同时满足：①对应角相等 ②对应边成比例。 知识点02 比例线段 1.两条线段的比定义：用同一长度单位度量两条线段，得到它们的长度，把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或。 2.成比例线段定义：四条线段，若（或），则四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3.相关名称：线段叫做组成比例的项，为比例外项，为比例内项。 4.比例中项：若，线段是的比例中项。 即时即练已知线段，，则，的比例中项是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例中项的概念，掌握比例中项的定义是解题关键． 先根据比例中项的定义列出等式，求出的数值，再结合“线段长度为正数”的实际意义，舍去负根． 【详解】解： 是，的比例中项， ， ， 线段长度为正数， ， 故选：B． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：只算数学平方根，忽略线段长度不能为负，必须舍去−4。 知识点03 比例的基本性质 1.基本性质：若，则（）；反之成立。 2.合比性质：若，则。 3.等比性质：若且，则。 即时即练根据下列条件，求与的比． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握内项之积等于外项之积． （1）交叉相乘将比例式化为乘积式，即可求解； （2）先整理得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）核心：比例基本性质 ——内项积 = 外项积，把等式化成，则 ； （2）易错：交叉相乘时漏乘括号；变形比搞反顺序。 知识点04 黄金分割 1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这个分割叫做黄金分割，该点为黄金分割点，比值叫做黄金数。 2.黄金矩形：切掉一个正方形后剩余矩形与原矩形相似，其相邻两边长的比值就是黄金数；黄金三角形为顶角36°的等腰三角形。 即时即练大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金分割，二次根式的运算，掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割比，可得，代入计算即可． 【详解】解： P为的黄金分割点（）， ， ， （）． 故选：D． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）易错：搞反长短段比例：记错成，直接列式颠倒导致结果错误； （2）混淆黄金分割两种公式：分不清 “全长与长段”“长段与短段” 两组比例； （3）计算根式乘法时漏约分：乘分子后忘记除以，化简出错。 知识点05 平行线分线段成比例基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 即时即练如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）易错：线段对应关系混淆，错把当作比值，算出； （2）分不清总长、上段、下段，误把直接当作代入计算； （3）左右两条截线的线段交叉匹配错误，比例分子分母写颠倒。 知识点06 位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 2. 这个公共交点叫做位似中心，两个位似图形的相似比也叫做位似比。 3.位似中心的位置：位似中心可在图形外部、图形内部、图形边上或图形顶点上，根据位似中心位置不同，分为外位似、内位似。 4.位似图形的核心性质：①位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； ②位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比； ③位似图形对应边平行或共线，对应角相等； ④位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 5.位似图形的作用：利用位似变换可以将一个图形进行放大或缩小，且保持图形形状不变。 6.平面直角坐标系中的位似变换： 以坐标原点为位似中心，位似比为 ，原图形上点 对应的位似点坐标为 或 ； 时，位似图形与原图形在位似中心同侧； 时，位似图形与原图形在位似中心两侧； ，图形放大；，图形缩小。 即时即练在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到； (2)在（1）的条件下，与的面积之比为____________； (3)在线段上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查图形的位似变换，相似三角形的面积比，线段的定比分点． （1）根据位似中心点，相应的线段均扩大倍，得到． （2）根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到答案． （3）利用网格线构造对应比例的平行线，找到点． 【详解】（1）解：以点为位似中心，将放大倍得到如图所示． （2）解：∵， ∵相似三角形的面积比等于位似比的平方即， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点使得，过点作交于点，点即为所求． 【易错提醒】/【方法总结】 (1) 位似放大作图：连接射线；在射线上取，使；射线上取，使；连接，即为所求； (2) 求面积比位似图形是相似图形，相似三角形面积比 = 相似比的平方； (3) 找点，使。 题型1 相似图形 【例1】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形：把形状相同的图形叫做相似图形，熟记相似图形的定义是解题关键．根据相似图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，则此项不符合题意； D、两个图形形状相同，大小不同，相似，则此项符合题意； 故选：D． 【例2】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的多边形相似．逐一判断每组图形是否满足条件． 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：形状完全相同，大小可不同；对应角相等，对应边成比例； （2）常见相似：所有正多边形、圆；全等是相似比 = 1 的特殊相似。 【变式1-1】请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪组中的图形是相似图形（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中，只有C选项中的两个图形是相似图形， 故选：C． 【变式1-2】如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 【答案】⑥④⑤ 【分析】需逐一分析每个图形与其他图形的形状是否相同． 【详解】解：分析图形①：图形①与图形⑥形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形②：图形②与图形④形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 分析图形③：图形③与图形⑤形状相同，只是大小可能不同，符合相似图形的定义； 综上，图形①和图形⑥是相似图形，图形②和图形④是相似图形，图形③和图形⑤是相似图形． 故答案依次为：⑥、④、⑤． 【点睛】本题考查了相似图形的知识点，解题关键是理解相似图形形状相同、大小可不同的特点，通过观察图形的形状来判断是否为相似图形． 题型2 比例线段 【例3】在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 【例4】如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，可设，（其中），再代入所求表达式计算． 【详解】解：， ∴可设，（其中）， ∴ 故答案为 ． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）四条线段成比例 ； （2）顺序不能乱：外项，内项；最长 × 最短 = 中间两线段乘积。 【变式2-1】若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求线段的比例关系． 利用将用来表示，从而求出线段的比值． 【详解】解：延长线段到点C，由，可知． 所以． 故选：D． 【变式2-2】已知三条线段，，的长分别为，如果线段与它们构成比例线段，那么线段的长为____________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论． 线段d与a，b，c构成比例线段，即存在比例关系，根据比例的性质，列出所有可能的比例式并求解d的值． 【详解】解：由比例的性质，可能的比例式有： ① ， 代入，，， 得， 解得 ② ， 得， 解得 ③， 得， 解得． 综上，的值可能为，或． 故答案为 或 或 ． 【变式2-3】已知线段满足，且.求线段的长． 【答案】， 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握求解的方法是解题关键．设，，代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】解：由条件可设，， ， ， ， ，． 题型3 根据比例的基本性质求解 【例5】若成立，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的基本性质及比例式的变形，关键是注意比例式中分母不能为0的隐含条件． 【详解】解：对于选项A：取，，，，则，，满足原式，但，，，故A不成立； 对于选项B：当时，由可得，此时和的分母，，式子无意义，故B不成立； 对于选项C：当时，由可得，此时和的分母，，式子无意义，故C不成立； 对于选项D：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，得，该结论在原式有意义的情况下一定成立． 故选：D． 【例6】已知，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了比例的性质及分式的求值， 根据比例关系设参数表示 和 ，代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ． 故答案为 ：4． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）基本性质：； （2）合比、等比性质遇连比设：设，则代入求值。 【变式3-1】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，可通过分式拆分结合比例关系求解，也可设参数代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得：， 故选：B． 【变式3-2】若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 【变式3-3】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值． 解：设，则，，， 所以，所以． 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，仿照题例解答即可求解，读懂所给材料，正确利用参数法进行求解是解题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 即， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式3-4】已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)， ， 【分析】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． （1）根据题干信息，假设，，，代入即可得出结果； （2）由（1）中，列方程，解出的值，再分别求出a、b、c的值． 【详解】（1）解：∵， 令，，， 则． （2）解：∵的周长为， ∴， 解得， ∴，，， 故， ，． 题型4 平行线分线段成比例 【例7】已知线段、、，作线段，使，则正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式是解决此题的关键．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、由平行线分线段成比例可得，即，故A选项不符合题意； B、由平行线分线段成比例可得，即，故B选项符合题意； C、由平行线分线段成比例可得，即，故C选项不符合题意； D、由平行线分线段成比例可得，即，故D选项不符合题意． 故选：B． 【例8】如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键，利用，得出，再代入值求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）三条平行线截两条直线：对应线段比值相等； （2）三角形平行线推论（A 字型、8 字型）：平行于一边的直线截另外两边，所得线段对应成比例； （3）口诀：上比下，上比全，下比全。 【变式4-1】如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 【变式4-2】如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由，可得到，由，可得到，从而可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理可得，，从而推出，即可得证，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】如图，已知在中，点D，E，F分别在，，边上． (1)当点，，分别为，，边的中点，求证：≌； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明和为的中位线，得到，，进而证明； （2）根据平行线的性质得，，根据平行四边形的判定方法得到四边形为平行四边形，证明∽，进而求解． 【详解】（1）证明：∵点，，分别为，，边的中点， ∴，和为的中位线， ∴，， ∴，， 在和中， ∴≌； （2）解：∵，， ∴，，四边形为平行四边形， ∴∽，，， ∴， ∴， ∴． 题型5 黄金分割 【例9】已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的是解题的关键． 由题意知，，由已知即可求得结果． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴． 故选：D． 【例10】若线段，点C是线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵线段，点C是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）长短段公式记反，把短段当成； （2）忘记一条线段存在 2 个分割点，答题漏解。 【变式5-1】如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为（  ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是正确理解掌握黄金矩形的定义． 根据黄金矩形的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-2】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 题型6 位似图形的辨别 【例11】下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的判断，判断的方法是：连接对应点的连线是否交于同一点，如果交于同一点，则是位似图形，对每项进行一一分析即可． 【详解】解：、连接两个正六边形对应点交于正六边形的中心，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似四边形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接两个相似三角形对应点交于点，故是位似图形，故选项不符合题意； 、连接此两个相似箭头图形的对应点不交于同一点，不是位似图形，故选项符合题意． 故选：． 【例12】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 【易错警示】/【技巧归纳】 位似是特殊相似，同时满足 2 点：①图形相似；②对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行/共线。 【变式6-1】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似；②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查位似，相似，掌握相关知识是解决问题的关键．根据概念逐项判断即可 【详解】①位似图形都相似，原命题正确，故此选项符合题意； ②两个等边三角形不一定是位似图形，原命题错误，故此选项不符合题意； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为，原命题错误，故此选项不符合题意； ④两个圆一定是位似图形，原命题正确，故此选项符合题意； 故选：B． 题型7 位似中心 【例13】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）找法：连接两组对应顶点，两条直线交点即为位似中心； （2）位置分类：图形内部、边上、外部。 【变式7-1】如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 【变式7-2】如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 题型8 相似比 【例15】已知与是位似图形，位似中心为点A，相似比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点A，相似比为， ∴， 故选：A． 【例16】如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．根据题意求出，根据位似图形的概念得到，，进而得出，，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）相似比 =新图形边长 ÷ 原图形边长，有顺序； （2）位似比本质就是相似比。 【变式8-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点，若，则的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形中的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题关键．根据题意可得，且相似比为，即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，， ，且相似比为， ， ， 故选：B 【变式8-2】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是掌握位似图形的性质． 四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ， ， ∵，， ∴， ； 的长是． 题型9 根据位似比放大/缩小图形 【例17】如图，在正方形网格中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，按位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后，B，C两点的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标：（________，________），（________，________）； (2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点M的对应点的坐标：（ ， ）． 【答案】(1)见解析；；； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），则把B、C两点的横纵坐标都乘以可得，两点的坐标，据此作图即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（在y轴同侧）或（在y轴异侧），据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得，点M的对应点的坐标为． 【例18】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于点O位似（点A、B的对应点分别为、，点在第一象限），且与的相似比为，请画出． (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点、的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作． （2）解：由（1）中坐标系可知：点的坐标为． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）坐标原点位似：，位似比，对应点； （2）任意点位似：连接中心与顶点，按延长 / 截取线段确定新顶点，顺次连线。 【变式9-1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以O为位似中心，作，相似比为． (2)若线段上有一点，它的坐标为，那么它的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)见详解 (2)或 【分析】本题考查作位似图，求位似图形的对应坐标，根据位似性质得出对应点位置是解题关键． （1）结合位似性质，分别找出点的位置，再依次连接，即可作答． （2）根据位似性质，且结合线段上有一点，它的坐标为，即可得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵线段上有一点，它的坐标为，且以O为位似中心，作，相似比为 ∴它的对应点的坐标为或． 【变式9-2】在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）分别连接、并延长交于点P，则点P即为所求； （2）根据位似图形的性质作出即可． 【详解】（1）解：连接、并延长交于点P，如图： 则点的坐标为； （2）解：即为所求． 题型10 位似图形的周长、面积计算 【例19】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则的面积为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∵与是位似图形， ， ， 的面积为18， 的面积为32， 故选：C． 【例20】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）面积直接用相似比，忘记平方； （2）已知面积比反求相似比不开根号； （3）多个位似嵌套时，分步相乘相似比，计算混乱。 【变式10-1】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作位似图形，位似图形的性质掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质作图即可； （2）根据与的相似比为，可得面积之比． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解： 与的相似比为， ． 故答案为：． 1．若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 2．如图，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴ 故选：A． 3．如图，与位似，点为位似中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似图形的概念得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似图形的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的性质． 根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 6．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键． 由位似图形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解： A、由位似图形可知，，，故选项A正确，不符合题目要求， B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求， C、由位似图形可知，相似比为，，又三点共线，，故选项C错误，符合题目要求， D、由位似图形可知，相似比为，，故选项D正确，不符合题目要求． 故选：C． 7．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∴， 设，则， ∵D是的中点． ∴． ∵． ∴． ∴， ∵． ∴，即． 解得：， ∴． 故选：D． 8．如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 9．已知，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，不妨设，（），然后代入计算即可完成求解． 【详解】解：∵， ∴不妨设，（）， ∴． 故答案为：． 10．已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 根据比例中项的定义，线段c是线段a和b的比例中项，则，代入已知数值计算即可． 【详解】∵c是a和b的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：6． 11．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【分析】本题考查求位似图形的位似比，根据位似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 12．如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为__________． 【答案】27 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似的性质可得，则有，得到，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：27． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解决本题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 14．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为等高线地形图的判读与比例计算，解题思路是先从等高线图中确定等高距，得出和的高差关系，再结合已知的实际直线距离，利用“同一直线上距离与高差成正比”的规律，计算出的实际直线距离． 【详解】解：根据图可知所在海拔差为，所在海拔差为， ∵若两地的实际直线距离为且在同一直线上， ∴高差倍数：， 实际直线距离：． 故答案为：． 15．已知实数a，b满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 16．线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 17．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 18．如图，，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得． (1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） (2)计算的面积； (3)内一点，内与点P对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见详解 (2)8 (3) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）利用网格的特征，列式计算，求出的面积，即可作答． （3）根据位似图形的性质，且结合内一点，则内与点P对应的点的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：符合要求的，如图所示： （2）解：依题意，的面积 （3）解：∵以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得，且内一点， ∴内与点P对应的点的坐标为． 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． (1)把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标； (2)在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】此题主要考查了图形的位似变换和平移变换的知识，根据基本作图方法得出图形是解题关键. （1）的各点向左平移8格后得到新点，顺次连接得，进而可知点的坐标； （2）根据以点为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为，即可画出放大后的的图形． 【详解】（1）解：画出的如图所示，点的坐标为； （2）解：画出的的图形如图所示． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，都在格点上． (1)以原点O为位似中心，以相似比为，在格点图内画出； (2)直接写出点、、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，， 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或； （1）把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用（1）中的坐标变换规律求解． 【详解】（1）解：如图，为所作， （2）解：把、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标， 即，，． 21．如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 22．如图，点E，G在的边，上，连接，点D为外一点，连接，，点F在上，连接，，，，求的值． 【答案】10 【分析】由得到，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 比例线段和简单的位似图形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似图形 题型6 位似图形的辨别 题型2 比例线段 题型7 位似中心 题型3 根据比例的基本性质求解 题型8 相似比 题型4 平行线分线段成比例 题型9 根据位似比放大/缩小图形 题型5 黄金分割 题型10 位似图形的周长、面积计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比 成比例线段 比例基本性质 黄金分割 位似图形 位似性质 1. 理解线段的比、成比例线段定义，掌握比例内项、外项、第四比例项概念。 2. 熟记比例基本性质、合比性质、等比性质，熟练进行比例式变形与计算。 3. 了解黄金分割定义、黄金比数值，掌握黄金分割点相关基础计算。 4. 理解位似图形、位似中心、位似比概念，区分相似图形与位似图形。 5. 掌握简单位似图形性质，会判断位似图形、利用位似放大缩小平面图形，理清位似与相似关系。 学习重点：成比例线段判定、比例基本性质运算、黄金分割概念、位似图形定义与核心性质。 学习难点：比例性质综合化简求值、等比性质分类讨论、辨识位似图形与位似中心、区分相似与位似图形。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似图形 1.相似图形定义：形状相同、大小不一定相同的图形。 2.相似多边形定义：一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3.相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数；全等是相似比为1的特殊相似。 即时即练下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【易错提醒】/【方法总结】 相似多边形需同时满足：①对应角相等 ②对应边成比例。 知识点02 比例线段 1.两条线段的比定义：用同一长度单位度量两条线段，得到它们的长度，把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或。 2.成比例线段定义：四条线段，若（或），则四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 3.相关名称：线段叫做组成比例的项，为比例外项，为比例内项。 4.比例中项：若，线段是的比例中项。 即时即练已知线段，，则，的比例中项是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 易错：只算数学平方根，忽略线段长度不能为负，必须舍去−4。 知识点03 比例的基本性质 1.基本性质：若，则（）；反之成立。 2.合比性质：若，则。 3.等比性质：若且，则。 即时即练根据下列条件，求与的比． (1)． (2)． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）核心：比例基本性质 ——内项积 = 外项积，把等式化成，则 ； （2）易错：交叉相乘时漏乘括号；变形比搞反顺序。 知识点04 黄金分割 1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这个分割叫做黄金分割，该点为黄金分割点，比值叫做黄金数。 2.黄金矩形：切掉一个正方形后剩余矩形与原矩形相似，其相邻两边长的比值就是黄金数；黄金三角形为顶角36°的等腰三角形。 即时即练大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A． B． C．3 D． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）易错：搞反长短段比例：记错成，直接列式颠倒导致结果错误； （2）混淆黄金分割两种公式：分不清 “全长与长段”“长段与短段” 两组比例； （3）计算根式乘法时漏约分：乘分子后忘记除以，化简出错。 知识点05 平行线分线段成比例基本事实 1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例。 即时即练如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 （1）易错：线段对应关系混淆，错把当作比值，算出； （2）分不清总长、上段、下段，误把直接当作代入计算； （3）左右两条截线的线段交叉匹配错误，比例分子分母写颠倒。 知识点06 位似 1. 位似图形的定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这两个图形叫做位似图形。 2. 这个公共交点叫做位似中心，两个位似图形的相似比也叫做位似比。 3.位似中心的位置：位似中心可在图形外部、图形内部、图形边上或图形顶点上，根据位似中心位置不同，分为外位似、内位似。 4.位似图形的核心性质：①位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形； ②位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比； ③位似图形对应边平行或共线，对应角相等； ④位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 5.位似图形的作用：利用位似变换可以将一个图形进行放大或缩小，且保持图形形状不变。 6.平面直角坐标系中的位似变换： 以坐标原点为位似中心，位似比为 ，原图形上点 对应的位似点坐标为 或 ； 时，位似图形与原图形在位似中心同侧； 时，位似图形与原图形在位似中心两侧； ，图形放大；，图形缩小。 即时即练在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到； (2)在（1）的条件下，与的面积之比为____________； (3)在线段上画一个点，使． 【易错提醒】/【方法总结】 (1) 位似放大作图：连接射线；在射线上取，使；射线上取，使；连接，即为所求； (2) 求面积比位似图形是相似图形，相似三角形面积比 = 相似比的平方； (3) 找点，使。 题型1 相似图形 【例1】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【例2】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：形状完全相同，大小可不同；对应角相等，对应边成比例； （2）常见相似：所有正多边形、圆；全等是相似比 = 1 的特殊相似。 【变式1-1】请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪组中的图形是相似图形（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，图形①②③分别和图形_________是相似图形（填序号）． 题型2 比例线段 【例3】在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【例4】如果，那么_________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）四条线段成比例 ； （2）顺序不能乱：外项，内项；最长 × 最短 = 中间两线段乘积。 【变式2-1】若延长线段到点C，使，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知三条线段，，的长分别为，如果线段与它们构成比例线段，那么线段的长为____________． 【变式2-3】已知线段满足，且.求线段的长． 题型3 根据比例的基本性质求解 【例5】若成立，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例6】已知，则______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）基本性质：； （2）合比、等比性质遇连比设：设，则代入求值。 【变式3-1】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，则的值为______． 【变式3-3】阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知（互不相等），求的值． 解：设，则，，， 所以，所以． 仿照上述方法解答下列问题： 已知，其中，求的值． 【变式3-4】已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值： (2)若的周长为，求a、b、c的值． 题型4 平行线分线段成比例 【例7】已知线段、、，作线段，使，则正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，在中，点在上，，交于，且，则___________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）三条平行线截两条直线：对应线段比值相等； （2）三角形平行线推论（A 字型、8 字型）：平行于一边的直线截另外两边，所得线段对应成比例； （3）口诀：上比下，上比全，下比全。 【变式4-1】如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】如图，在中，，，则______． 【变式4-3】如图，，，求证：． 【变式4-4】如图，已知在中，点D，E，F分别在，，边上． (1)当点，，分别为，，边的中点，求证：≌； (2)若，且，，求的值． 题型5 黄金分割 【例9】已知点是线段的黄金分割点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例10】若线段，点C是线段的黄金分割点，且，则______． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）长短段公式记反，把短段当成； （2）忘记一条线段存在 2 个分割点，答题漏解。 【变式5-1】如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比（约为），就称这个矩形为黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，宽，则长为（  ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-2】宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 题型6 位似图形的辨别 【例11】下列选项中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【例12】下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 位似是特殊相似，同时满足 2 点：①图形相似；②对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行/共线。 【变式6-1】下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列说法中，正确的个数有（  ） ①位似图形都相似；②两个等边三角形一定是位似图形； ③两个相似多边形的面积比为，则周长的比为；④两个圆一定是位似图形； A．个 B．个 C．个 D．个 题型7 位似中心 【例13】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例14】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【易错警示】/【技巧归纳】 （1）找法：连接两组对应顶点，两条直线交点即为位似中心； （2）位置分类：图形内部、边上、外部。 【变式7-1】如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-2】如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 题型8 相似比 【例15】已知与是位似图形，位似中心为点A，相似比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）相似比 =新图形边长 ÷ 原图形边长，有顺序； （2）位似比本质就是相似比。 【变式8-1】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点的对应点分别为点，若，则的长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 【变式8-2】如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，， ，求的长． 题型9 根据位似比放大/缩小图形 【例17】如图，在正方形网格中，的顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，按位似比在位似中心的异侧将放大为，放大后，B，C两点的对应点分别为，，画出，并写出点，的坐标：（________，________），（________，________）； (2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点M的对应点的坐标：（ ， ）． 【例18】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于点O位似（点A、B的对应点分别为、，点在第一象限），且与的相似比为，请画出． (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）坐标原点位似：，位似比，对应点； （2）任意点位似：连接中心与顶点，按延长 / 截取线段确定新顶点，顺次连线。 【变式9-1】如图，在边长为1的小正方形组成的网格图中有，建立平面直角坐标系后，点的坐标是． (1)以O为位似中心，作，相似比为． (2)若线段上有一点，它的坐标为，那么它的对应点的坐标为__________． 【变式9-2】在如图的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)点的坐标为______； (2)以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的相似比为． 题型10 位似图形的周长、面积计算 【例19】如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为18，则的面积为（     ） A．54 B．24 C．32 D． 【例20】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）面积直接用相似比，忘记平方； （2）已知面积比反求相似比不开根号； （3）多个位似嵌套时，分步相乘相似比，计算混乱。 【变式10-1】如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的左侧画出的位似图形，使它与的相似比为，且点的对应点分别为； (2)与的面积之比为__________． 1．若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，与位似，点为位似中心，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D．5 8．如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（    ） A． B． C． D． 9．已知，那么的值是__________． 10．已知线段，线段是线段的比例中项，那么______________． 11．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 12．如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为3，则的面积为__________． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 14．小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，若两地的实际直线距离为，则两地的实际直线距离为________． 15．已知实数a，b满足，求的值． 16．线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 17．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 18．如图，，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得． (1)在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） (2)计算的面积； (3)内一点，内与点P对应的点的坐标为______． 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点的坐标为． (1)把向左平移8格后得到，画出的图形并写出点的坐标； (2)在如图的方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出． 20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，都在格点上． (1)以原点O为位似中心，以相似比为，在格点图内画出； (2)直接写出点、、的坐标． 21．如图，中，点D在边上，，．求证：． 22．如图，点E，G在的边，上，连接，点D为外一点，连接，，点F在上，连接，，，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $