第03讲 相似三角形的性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第03讲 相似三角形的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质求长度 题型2 利用相似三角形的性质求角度 题型3 利用相似三角形的性质求周长 题型4 利用相似三角形的性质求面积 题型5 相似三角形的判定与性质综合证明 题型6 相似三角形的判定与性质综合求解 题型7 相似三角形的动点问题 题型8 相似三角形的实际应用 题型9 相似多边形的性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形的比 相似三角形性质 相似三角形判定与性质综合 1. 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例基础性质。 2. 熟记相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 3. 理解并背诵相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4. 区分周长、面积与相似比的关系，规避面积计算易错考点。 5. 能利用相似三角形性质完成边长、线段、周长、面积求值与简答题型。 学习重点：相似三角形对应线段性质、周长与面积比例规律、结合相似比基础运算。 学习难点：面积比与相似比平方关系运用、分层相似图形综合计算、结合判定定理+性质综合解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、和对应角平分线的比都等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 即时即练如图，是斜边上的高，． (1)求证：； (2)求的长． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）顶点对应错误：相似三角形字母顺序不能乱，易写错为，造成比例式列错； （2）线段解读失误：看错，误把算成 18； （3）射影定理混淆：分不清、、三条公式； （4）根式化简遗漏：算出不化简，或保留负值，忽略线段长度为正数； （5）导角逻辑缺失：不会利用同角的余角相等推导。 知识点02 相似多边形的性质 1. 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 2. 相似多边形周长的比等于相似比。 3. 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 即时即练如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）漏乘 2：边框四周都加宽，长、宽要两边同时加边框宽度 ×2，容易只加 1 倍； （2）比例写反：内外矩形长对长、宽对宽，颠倒分子分母会算错； （3）混淆横竖边框：横向 9cm 是左右宽，纵向x是上下宽，对应边长不要搞混； （4）忽略实际意义：解出负数直接保留，边框宽度不能为负。 题型1 利用相似三角形的性质求长度 【例1】已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 【易错警示】/【技巧归纳】 先证三角形相似→找准对应边→列比例式→解方程求线段长度。 【变式1-1】如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知，点是的中点，，则的长为__________ 【变式1-3】如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 题型2 利用相似三角形的性质求角度 【例3】已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例4】已知，，，则的度数为______． 【易错警示】/【技巧归纳】 证相似→转移已知角→结合内角和、互余、互补、对顶角求未知角。 【变式2-1】若，，则的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【变式2-2】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 题型3 利用相似三角形的性质求周长 【例5】如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【例6】利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为_________． 【易错警示】/【技巧归纳】 已知相似比和一个三角形周长，直接比例换算；已知周长比可反求对应边长。 【变式3-1】已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 题型4 利用相似三角形的性质求面积 【例7】如果与的相似比为，则面积之比为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，的面积为，求的面积．    【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心结论：相似三角形面积比 = 相似比的平方； （2）速算规律：已知相似比平方得面积比，已知面积比开方得相似比；同高/同底三角形，面积比等于底/高之比。 【变式4-1】，，，的面积为，则的面积为__________． 【变式4-2】如图，已知，若的面积为12，求的面积． 题型5 相似三角形的判定与性质综合证明 【例9】如图，平分，为中点，，求证：． 【例10】如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）用AA、SAS、平行线模型证明三角形相似； （2）利用相似性质（边角、周长、面积比例）进行计算或推导结论； （3）多三角形题型，可借助前一次相似的结论，二次证相似。 【变式5-1】如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 【变式5-2】如图，，是的两条高．求证：． 【变式5-3】如图，在中，，，P为内部一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型6 相似三角形的判定与性质综合求解 【例11】已知：如图，是上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【例12】如图，中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）跳步解题，未证明相似直接用性质，答题扣分； （2）两次相似题型中，对应关系混乱，前后边角对应不一致； （3）证明题逻辑混乱，条件、结论颠倒。 【变式6-1】如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【变式6-2】如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)若，求的长． 【变式6-3】已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 题型7 相似三角形的动点问题 【例13】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【例14】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设动点运动时间为t，用含t的代数式表示动态线段长度； （2）分类讨论：明确两种相似对应情况（动点易产生双解）； （3）根据对应边成比例列方程，求解t并检验取值范围（线段长度为正、动点不超边界）。 【变式7-1】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【变式7-2】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【变式7-3】如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 题型8 相似三角形的实际应用 【例15】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【例16】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学的设计方案新颖．甲同学的方案中若大视力表中“”的高是，则小视力表中相应“”的高是多少？ 甲同学的方案 图例    方案 如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②，， ，请通过图中的数据和测量方法求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）常见场景：测高、测距、影子问题、标杆问题、镜面反射问题； （2）核心思路：将实际图形抽象为相似三角形，利用对应边成比例，建立方程求解实际长度、高度。 【变式8-1】如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【变式8-2】如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点处），此时他与该塔的距离．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高，他的影长．求该电视塔的高度． 题型9 相似多边形的性质 【例17】在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例18】若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）误判：仅对应角相等/仅对应边成比例，多边形不一定相似（三角形专属特例）； （2）记错面积、周长比例公式，和三角形性质混用出错； （3）普通矩形、菱形不一定相似，只有正方形一定相似。 【变式9-1】如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【变式9-2】若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为_____． 【变式9-3】如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 1．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的角平分线的长度比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点在上，且，连接，并延长交的延长线于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 5．如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，将沿的角平分线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 8．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则______． 9．如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 10．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 11．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 12．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 14．如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 15．如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 16．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 17．如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 18．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 19．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 21．本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． (1)试证明． (2)证明，且． (3)证明，且相似比为k． 22．如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 24．如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 相似三角形的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似三角形的性质求长度 题型2 利用相似三角形的性质求角度 题型3 利用相似三角形的性质求周长 题型4 利用相似三角形的性质求面积 题型5 相似三角形的判定与性质综合证明 题型6 相似三角形的判定与性质综合求解 题型7 相似三角形的动点问题 题型8 相似三角形的实际应用 题型9 相似多边形的性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形的比 相似三角形性质 相似三角形判定与性质综合 1. 掌握相似三角形对应角相等、对应边成比例基础性质。 2. 熟记相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。 3. 理解并背诵相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4. 区分周长、面积与相似比的关系，规避面积计算易错考点。 5. 能利用相似三角形性质完成边长、线段、周长、面积求值与简答题型。 学习重点：相似三角形对应线段性质、周长与面积比例规律、结合相似比基础运算。 学习难点：面积比与相似比平方关系运用、分层相似图形综合计算、结合判定定理+性质综合解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2.相似三角形对应高的比、对应中线的比、和对应角平分线的比都等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 即时即练如图，是斜边上的高，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是斜边上的高，得出，故，即可证明； （2）根据，得，结合，故，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：是斜边上的高． ， ， ． ． （2）解：由（1）知， ∴， ． ． ∴ ． ∴（负值已舍去） 的长为． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）顶点对应错误：相似三角形字母顺序不能乱，易写错为，造成比例式列错； （2）线段解读失误：看错，误把算成 18； （3）射影定理混淆：分不清、、三条公式； （4）根式化简遗漏：算出不化简，或保留负值，忽略线段长度为正数； （5）导角逻辑缺失：不会利用同角的余角相等推导。 知识点02 相似多边形的性质 1. 相似多边形对应角相等，对应边成比例。 2. 相似多边形周长的比等于相似比。 3. 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 即时即练如图，一幅装饰画的长为，宽为，镶在其外围的横向木质边框宽．若边框的内外边缘所成的矩形相似，求纵向木质边框的宽度 【答案】纵向木质边框的宽度为． 【分析】本题考查了相似图形的性质． 设纵向木质边框的宽度为，根据相似图形的性质列等式求解即可． 【详解】解：设纵向木质边框的宽度为， 边框的内外边缘所成的矩形相似， ， 解得， 答：纵向木质边框的宽度为． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）漏乘 2：边框四周都加宽，长、宽要两边同时加边框宽度 ×2，容易只加 1 倍； （2）比例写反：内外矩形长对长、宽对宽，颠倒分子分母会算错； （3）混淆横竖边框：横向 9cm 是左右宽，纵向x是上下宽，对应边长不要搞混； （4）忽略实际意义：解出负数直接保留，边框宽度不能为负。 题型1 利用相似三角形的性质求长度 【例1】已知，是的中线，是的中线，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．由，是的中线，是的中线，得到，结合，即可求解． 【详解】解： ，是的中线，是的中线， ， ， ． 故选：C． 【例2】如图，在中，过点A作于点E，D是边上一点，连接，过点D作于点F，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高的比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，分别是和的高线， 又∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为． 【易错警示】/【技巧归纳】 先证三角形相似→找准对应边→列比例式→解方程求线段长度。 【变式1-1】如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 【变式1-2】如图，已知，点是的中点，，则的长为__________ 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的特点，相似三角形性质，根据线段中点的特点得到，再结合相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：点是的中点，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【变式1-3】如图，在中，点为边上一点，连接，，分别为的中点，连接，已知，，，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件得到分别为，的中线，再根据得出即可求解． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴分别为，的中线， ∵， ∴， 即，解得：， ∴的长为2． 题型2 利用相似三角形的性质求角度 【例3】已知，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 【例4】已知，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用．在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 证相似→转移已知角→结合内角和、互余、互补、对顶角求未知角。 【变式2-1】若，，则的度数为（　　） A．30° B．50° C．40° D．70° 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质和三角形内角和定理，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键．先根据三角形内角和计算出的度数，然后根据相似三角形的性质得到的度数． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式2-2】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是______． 【答案】60 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 题型3 利用相似三角形的性质求周长 【例5】如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质及相似三角形的周长的比等于相似比的运用． 先求出等边三角形的周长，再根据三角形相似比得到周长比，从而求出周长． 【详解】解：∵等边三角形，， ∴． ∵点在边上，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例6】利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12，那么放大后的那个三角形的周长为_________． 【答案】30 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可作答． 【详解】解：∵利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为5，7，8的三角形的最长边放大到12， ∴这两个三角形相似，且相似比是， ∴， 则放大后的那个三角形的周长为30， 故答案为：30． 【易错警示】/【技巧归纳】 已知相似比和一个三角形周长，直接比例换算；已知周长比可反求对应边长。 【变式3-1】已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 【变式3-2】如果，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2，那么的周长为________． 【答案】11 【分析】本题考查了相似三角形的性质，先找到两个相似三角形的对应边，再根据相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且的三边长分别为6，12，15，的最短边长为2， 两个三角形的最短边为6，2， 的周长的周长， 的周长， 的周长， 故答案为：． 题型4 利用相似三角形的性质求面积 【例7】如果与的相似比为，则面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，牢记面积比是相似比的平方是解题关键；利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”直接解题即可． 【详解】解：∵ 与的相似比为， ∴ 面积之比为 ， 故选：B． 【例8】如图，的面积为，求的面积．    【答案】的面积为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的面积为． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）核心结论：相似三角形面积比 = 相似比的平方； （2）速算规律：已知相似比平方得面积比，已知面积比开方得相似比；同高/同底三角形，面积比等于底/高之比。 【变式4-1】，，，的面积为，则的面积为__________． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 故答案为：． 【变式4-2】如图，已知，若的面积为12，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵的面积为， ∴的面积， 答：的面积为． 题型5 相似三角形的判定与性质综合证明 【例9】如图，平分，为中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段的中点，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，由线段的中点定义可得，进而证明得到即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵为中点， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【例10】如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知， ， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）用AA、SAS、平行线模型证明三角形相似； （2）利用相似性质（边角、周长、面积比例）进行计算或推导结论； （3）多三角形题型，可借助前一次相似的结论，二次证相似。 【变式5-1】如图所示，在矩形中，为边上一点，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，先由矩形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式5-2】如图，，是的两条高．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先由，是的两条高可知，， ，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】证明：∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【变式5-3】如图，在中，，，P为内部一点，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）通过导角证明，根据两组对角相等即可证明； （2）根据为等腰直角三角形，可得，根据可得，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6 相似三角形的判定与性质综合求解 【例11】已知：如图，是上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由垂直的定义可得，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）先根据勾股定理求出，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ； （2）解： ，，， ， ， ， ，， ， ． 【例12】如图，中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明； （2）先根据相似三角形性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：(负值已舍)． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）跳步解题，未证明相似直接用性质，答题扣分； （2）两次相似题型中，对应关系混乱，前后边角对应不一致； （3）证明题逻辑混乱，条件、结论颠倒。 【变式6-1】如图，在中，D是边上一点，且， (1)求证：； (2)若，，的面积为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)27 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质． （1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明，即得出； （2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴的面积． 【变式6-2】如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解答关键． （1）根据题意证明，可得到三角形相似； （2）根据菱形的性质易得到，，由勾股定理求出，进而得到和的关系，然后用（1）的结论来求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴． ∵点为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】已知：如图，分别是的边上的高，与相交于点D． (1)求证：； (2)如果．，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），结合（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】（1）证明：∵分别是的高线， ∴． ∵， ∴； （2）在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型7 相似三角形的动点问题 【例13】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【例14】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，如果P、Q两动点同时运动，那么经过多少秒时，以B、Q、P为顶点的三角形与相似． 【答案】当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质，设运动的时间为秒，则，，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，，， 当时， ，即， 解得：； 当时， ，即， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设动点运动时间为t，用含t的代数式表示动态线段长度； （2）分类讨论：明确两种相似对应情况（动点易产生双解）； （3）根据对应边成比例列方程，求解t并检验取值范围（线段长度为正、动点不超边界）。 【变式7-1】如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式7-2】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 【变式7-3】如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 题型8 相似三角形的实际应用 【例15】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么井深为（    ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定可证，再利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ∴ ， ， ， （米， 故答案为：7． 【例16】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学的设计方案新颖．甲同学的方案中若大视力表中“”的高是，则小视力表中相应“”的高是多少？ 甲同学的方案 图例    方案 如图，①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②，， ，请通过图中的数据和测量方法求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 解得， 即小视力表中相应“”的高是． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）常见场景：测高、测距、影子问题、标杆问题、镜面反射问题； （2）核心思路：将实际图形抽象为相似三角形，利用对应边成比例，建立方程求解实际长度、高度。 【变式8-1】如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 【变式8-2】如图，在数学实践活动课上，小辰准备测量一座电视塔的高度．他站在该电视塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与电视塔的影子的顶端重合（点处），此时他与该塔的距离．已知电视塔、小辰均与地面BE垂直，且小辰的身高，他的影长．求该电视塔的高度． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，首先得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 题型9 相似多边形的性质 【例17】在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的倍， ∴面积扩大为原来的倍， ∴扩大后展板的成本为（元）， 故选C． 【例18】若五边形与五边形相似，其中与，与为对应边，且，则__________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了学生对相似多边形的性质知识的理解掌握及运用的情况，根据相似形对应边的比相等，就可以求出． 相似多边形的对应边成比例，根据已知对应边与的长度比求出比例关系，再应用至与求解． 【详解】解：因为五边形与五边形相似，且与为对应边， 与为对应边，所以对应边成比例，即， 代入，得， 解得． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）误判：仅对应角相等/仅对应边成比例，多边形不一定相似（三角形专属特例）； （2）记错面积、周长比例公式，和三角形性质混用出错； （3）普通矩形、菱形不一定相似，只有正方形一定相似。 【变式9-1】如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形， ， 设，，则， ， 故，即， ∴， ∴， 故选：B 【变式9-2】若四边形四边形，，，则四边形与四边形的面积比为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，解决本题的关键是利用相似多边形的面积比等于相似比的平方．根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：四边形四边形， 相似比， ， 即四边形与四边形的面积比为． 故答案为：． 【变式9-3】如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 1．如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的角平分线的长度比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的对应高、对应角平分线等对应线段的比都等于相似比． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应高的比为， ∴相似比为， ∴对应角平分线的比也为. 故选：A． 2．如图，在正方形中，点在上，且，连接，并延长交的延长线于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则，，，，再证明，利用相似三角形的性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】∵ ， ∴ 相似比， ∴ 面积比． 故选：C． 4．已知，若，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 相似比为 ， ∴ 与 的周长比为 ， 故选：A． 5．如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 6．如图，将沿的角平分线平移到的位置，已知的面积为16，阴影部分三角形的面积为9．若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，再证明是的平分线，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据平移的性质可得，， ∴，，， ∴， ， ∵是的平分线， ∴， ∴，即是的平分线， 、， 则， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴. 7．如图，在中，点是上一点，且，若，，则________． 【答案】 【分析】利用两组角相等得到，进而利用求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴即：， ∴. 8．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 10．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 【答案】1.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 11．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 12．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 14．如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）∵， ． ∵， ∴． ． 15．如图，在 中，，，，点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，同时点 以每秒 个单位长度的速度从点 向点 方向运动，点 到达点 后，点 也停止运动，设点 ， 运动的时间为 ． (1)求点 停止运动时， 的长． (2)在 ， 两点运动过程中， 是点 关于直线 的对称点，是否存在某一时刻，使四边形 为菱形？若存在，求出此时 的值；若不存在，请说明理由． (3)在 ， 两点运动过程中，求使 与 相似的 的值． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】 本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质以及相似三角形的性质． （1）利用勾股定理求斜边长度，再根据运动时间求线段长度，进而用勾股定理求的长； （2）根据菱形性质得到相关线段关系 ，再利用相似三角形的性质列方程求解； （3）分两种情况，根据相似三角形的对应边成比例列方程求解． 【详解】（1） 解 ：，，， ， 点从点运动到点所需时间为， 点停止运动时，， ， ． （2） 存在，连接，交于点， 点与点关于直线对称， ，， 当时，四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即解得，解得， 故存在某一时刻，使四边形为菱形，此时的值为． （3） 与相似时，分以下两种情况： ①若，则，即，解得； ②若，则，即，解得． 综上所述，使与相似的的值为或 16．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：，相似比是，， ， ， 的面积是18． 17．如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据平行四边形的性质求出，，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 18．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 19．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为3或6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，从而证出，根据相似三角形的判定定理即可证出结论； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 即的长为3或6． 20．已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 在与中，， ， ， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即． (2) 解：延长交于点，如图所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在与中，， ， ， 即． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）延长交于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． (1)试证明． (2)证明，且． (3)证明，且相似比为k． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据两边对应成比例及夹角相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，，即可证明； （3）同（1）证明，，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定． （1）根据等角的余角相等即可证明，结合矩形的性质即可证明 （2）根据勾股定理求得的长，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵四边形是矩形，， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即， ． 23．如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．掌握相关知识是解决问题的关键．由，，，利用勾股定理即可求得与的长，然后设过秒时，以、、为顶点的三角形与相似，则可得，，，再分类讨论 与 两种情况，求解即可求得答案． 【详解】解：，，， 设，， 则， 即， 解得：， ，， 设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似， 则，，， ， 若， 则， 即， 解得：， ②若， 则， 即， 解得：， 过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 24．如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $