第01讲 锐角的三角函数（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第01讲 锐角的三角函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正弦、余弦、正切的辨析 题型8 直接计算特殊角三角函数值 题型2 正弦值的求解 题型9 已知特殊角三角函数值求角度 题型3 已知正弦值求边长 题型10 特殊角三角函数值的混合运算 题型4 余弦值的求解 题型11 根据特殊角三角函数值判断三角形形状 题型5 已知余弦值求边长 题型12 三角函数值的大小比较 题型6 正切值的求解 题型13 利用同角三角函数关系求解 题型7 已知正切值求边长 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直角三角形边角关系 正弦、余弦、正切 锐角三角函数三角函数定义取值 1. 理解直角三角形中锐角、对边、邻边、斜边核心概念，理清边角对应位置关系。 2. 掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，熟记三种三角函数文字与符号表达式。 3. 明确锐角三角函数仅与锐角度数有关，与直角三角形边长大小无关。 4. 掌握锐角三角函数取值范围，区分正弦、余弦、正切公式，避免公式混淆。 5. 能根据直角三角形边长，求解对应锐角三角函数值，完成基础公式套用计算。 学习重点：锐角三角函数定义、sinA、cosA、tanA公式辨析、已知边长求三角函数值。 学习难点：准区分锐角对边与邻边、三角函数概念理解、变形公式运算、三角函数概念辨析判断题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 锐角三角函数定义（Rt△中） 1.设直角三角形中，锐角A的对边为，邻边为，斜边为。 正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ； 正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ； 余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 。 锐角A的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数。 2.三角函数取值范围：锐角A满足； 。 3.坡度：坡面的铅直高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即（坡度通常写成的形式）。 4.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作，于是 5.坡度（）越大，坡角越大，坡面就坡陡。 即时即练在锐角中，，，的面积为84，求的值． 【答案】 【分析】本题考查与高有关的面积计算，勾股定理，锐角三角函数，掌握与高有关的面积计算，勾股定理解三角形，锐角三角函数定义是解题关键．过点作于点，由三角形的面积公式求出的长，再由勾股定理求出的长，从而求出的值，最后由锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在中， 根据勾股定理得， ∴， ∴． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）记错定义：把邻边 / 对边算成； （2）线段计算出错：分不清，错用当作计算； （3）忽略锐角条件：高一定落在边上，不用考虑高在延长线上的情况； （4）面积公式漏乘，导致高算错。 知识点02 特殊角的三角函数值 1.互余两角三角函数关系：任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。 2.30°、45°、60°角的三角函数值： 角度 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα α=30° α=45° α=60° 即时即练计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式运算即可； （2）根据负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）特殊角三角函数记混：混淆 30°、45°、60° 的数值，比如把记成； （2）负指数幂出错：误把算成，负指数是取倒数； （3）根式运算失误：化简漏拆成，或约分算错； （4）运算顺序错误：先算加减再算乘除，未遵循先乘除后加减； （5）同类二次根式合并错误：带根号项、常数项混淆，无法抵消根式。 题型1 正弦、余弦、正切的辨析 【例1】在中， ，所对的边分别为，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义及其变形． 先画出图形，根据锐角三角函数的定义，判断各选项即可． 【详解】解：如图， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【例2】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，画出直角三角形，根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：如图， A.，，结论错误，故不符合题意； B. ，，结论错误，故不符合题意； C.，，结论错误，故不符合题意； D.，，结论正确，故符合题意； 故选：D． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对边、邻边看反，混淆sin、cos表达式； （2）在非直角三角形中直接套用三角函数定义； （3）tan带斜边、sin/cos用直角边做分母，公式记乱。 【变式1-1】在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 【变式1-2】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 题型2 正弦值的求解 【例3】如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，用勾股定理先求出，的长，利用面积法求出的长，由即可得． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ． 【易错警示】/【技巧归纳】 找锐角→确定对边、斜边→无边长则先用勾股定理求边长→代入sin=对/斜。 【变式2-1】在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标和解直角三角形，能求出和的长是解此题的关键．过P作轴于N，根据点P的坐标求出和，解直角三角形求出即可． 【详解】解：过P作轴于N，则，    ∵点， ∴，，， ∴， 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦的定义计算即可得出结果，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 题型3 已知正弦值求边长 【例4】在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【例5】如图，在中，，，D为AC上一点，，，则________． 【答案】20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设参数：若sinA=k，设对边=kn，斜边=n → 勾股求邻边，再求任意边长； （2）核心：利用比例设未知数，列方程求解。 【变式3-1】如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 【变式3-2】在中，，，，那么______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 题型4 余弦值的求解 【例6】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的余弦函数值，矩形的性质，根据三角形外角的性质以及矩形的性质得出，进而求得根据特殊角的余弦函数值即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴, ∴, ∴， 故选：B． 【例7】如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了网格中利用勾股定理求线段长度，结合直角三角形的余弦定义计算角度的余弦值． 根据网格的特征，连接构造，利用勾股定理计算线段和的长度，再通过中，求得的值即可． 【详解】解：连接，由题可知，此时， 在网格中，由勾股定理可得：，， ∴在中，． 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 统一公式：cosA=邻边/斜边，先找锐角邻边，缺边用勾股补齐再求比值。 【变式4-1】如图，在中，，于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求余弦值． 根据，得到，，根据等角的余角相等得到，根据得到，即，即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 故选：D． 【变式4-2】如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 题型5 已知余弦值求边长 【例8】在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形．在直角三角形中，余弦值定义为邻边与斜边的比，即 【详解】解：，且， ， ． 故选：B． 【易错警示】/【技巧归纳】 已知cosA=比值，设邻边、斜边参数，勾股求对边，再根据已知线段长求参数，进而得各边长。 【变式5-1】在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，利用矩形的性质可得，，进而由余角性质可得，再根据余弦的定义求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-2】如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，利用余弦的定义先求出，进而求出即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 题型6 正切值的求解 【例9】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 【例10】在如图所示：的网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，与相交于点E，则的正切值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．如图，取格点，连接，，观察图形可证，，，推出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 观察图形可知，，， ∴ ∴，，， ， ， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：tanA=对边/邻边，只和两条直角边有关，与斜边无关； （2）缺任意一条直角边，先用勾股定理求出再计算。 【变式6-1】如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求锐角的正切值；由正切函数定义即可直接求解． 【详解】解：依题意得， 则， 故选：B． 【变式6-2】有6个大小相同的小正方形，恰好按如图所示的方式放置在中，则的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是补全图形，熟练掌握平行线的性质和正切的定义． 先将图形补全，依题意可得，，，进而得到，即可求出答案． 【详解】解：如图， 依题意得：，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若正方形的面积为25，正方形的面积为1，则的值为______．    【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，根据题意和题目中的数据，可以求出直角三角形各边的长，然后即可计算出的值． 【详解】解：∵正方形的面积为25，正方形的面积为1， ∴，， ∵“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型7 已知正切值求边长 【例11】已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直接利用正切的定义解答即可，正确理解正切的定义是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选：． 【易错警示】/【技巧归纳】 tanA=a/b，直接设对边=ak，邻边=bk，利用勾股或已知边长列方程求解。 【变式7-1】如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形对边相等的性质、锐角三角函数值的计算等知识点．通过作辅助线构造直角三角形、构造直角三角形成为解题的关键． 如图：分别过作垂线垂直于l，通过构造直角三角形，根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽1等条件求出的长，再根据矩形的性质即可解答． 【详解】解：如图：分别过作，垂足为 ∵长方形卡片， ∴， ∴，， ∴． 根据题意，得， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 【变式7-2】如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正切函数；能熟练，勾股定理，正切函数进行求解是解题的关键．结合矩形的性质和折叠的性质，由正切函数得 ，由勾股定理得，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， 四边形为矩形， ，，， ， ， 由勾股定理得， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， 在中， （）； 故答案为：． 【变式7-3】如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 【答案】4 【分析】本题考查等角的余角相等，正切的定义，根据同角的余角相等得到，即可得到，然后根据正切的定义求出长即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为4． 题型8 直接计算特殊角三角函数值 【例12】计算的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，即可解答，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例13】计算：___________，___________． 【答案】 / 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：∵，， 故答案为：；1． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）30°与60°的sin、cos值互相记反； （2）tan30°、tan60°颠倒出错； （3）根号位置、分子分母写反。 【变式8-1】的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值和倒数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．本题可先求出的值，再根据倒数的定义求出其倒数． 【详解】解： 的倒数为 故选：A． 【变式8-2】若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先利用，得出，再推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴是锐角， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型9 已知特殊角三角函数值求角度 【例14】已知是锐角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是解决问题的关键．根据已知条件，利用特殊角的余弦值求解． 【详解】解：∵， 在锐角范围内，， ∴， 解得． 故选：A． 【例15】在中，若、满足，则的补角为___________． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，三角形内角和定理，根据特殊角三角函数值求角的度数，先根据非负数的性质得到，则，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ∵是三角形内角， ， ， ∴的补角， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 对照特殊角函数值反向判断，锐角范围：0°<∠A<90°，答案唯一。 【变式9-1】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出的度数，根据直角三角形的性质得到的度数，再根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴．                                 ∵， ∴，                        ∴． 故选B． 【变式9-2】如图，在中，，，，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角函数定义，先求出的正弦值，得出，然后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型10 特殊角三角函数值的混合运算 【例16】计算： 【答案】 【详解】解：原式 【例17】计算： 【答案】13 【详解】解： ． 【易错警示】/【技巧归纳】 全部替换成数值→先开方、乘除→后加减→最后化简、分母有理化。 【变式10-1】计算：； 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式解答． 【详解】原式 ． 【变式10-2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式10-3】计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简二次根式，化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法． 【详解】解：原式 题型11 根据特殊角三角函数值判断三角形形状 【例18】在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 【例19】在中，、都是锐角，且，则的形状是______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 【易错警示】/【技巧归纳】 通过函数值求出内角度数，结合内角和判断：等腰、直角、等腰直角、含30°/60°特殊三角形。 【变式11-1】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 【变式11-2】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式11-3】在中，若，，，都是锐角，则是______三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 题型12 三角函数值的大小比较 【例20】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 【例21】以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【答案】 【分析】本题考查了正弦、余弦和正切的定义及角度正弦、余弦、正切值的大小比较，先将进行转化，分别将，与进行比较，从而得出三者关系，再将和进行比较，得出二者关系，最后比较和发现前者小于1，后者大于1，从而得出最终比较结果． 【详解】解：， ∵， ∴， 又∵， 而在余弦中，角度越大，余弦值越小， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）正弦、正切：锐角越大，函数值越大（递增）； （2）余弦：锐角越大，函数值越小（递减）； （3）可统一转化为数值，直接比大小。 【变式12-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同角的三角函数的关系，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是正确判断的前提．根据逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小，而，所以 ，因此选项A不符合题意； B．由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大，而所以，即，因此选项B不符合题意； C．由于，而，即，所以，即，因此选项C不符合题意； D．由于锐角的对边除以斜边，锐角的对边除以锐角的邻边，而锐角的邻边小于斜边，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式12-2】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有________． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 题型13 利用同角三角函数关系求解 【例22】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，利用正弦的定义，设，，则，再根据余弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 设，， 则， ∴， 故选：． 【例23】已知，则的值为______． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【易错警示】/【技巧归纳】 两大核心恒等式（同锐角）： 1、sin²A+cos²A=1 2、tanA = sinA / cosA 已知其一，可求另外两个函数值。 【变式13-1】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 【变式13-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【详解】解：A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选：C． 2．如图，在中，斜边的长为m，，则直角边的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握余弦定义． 由余弦的定义得到，再代入求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 故选：B． 3．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理的知识，掌握以上的知是解答本题的关键；本题根据特殊角的三角函数值求得，，然后根据三角形内角和定理的知识，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵、是的内角， ∴，， 由三角形内角和定理，得， 故选：D． 4．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入各选项计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 5．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切函数，由图得，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，． 故选：B． 6．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【详解】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 7．如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，由正六边形性质求出，进而由等腰三角形三线合一得到、，在中，解直角三角形得出长度即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： 在正六边形中，，且每一个内角度数为，则，，由三线合一可得是边上的中线， ， 由题意知正六边形边长，则， 在中，，，则， 则， ，即扳手张开的开口至少要． 8．如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点D作交于点E，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键． 如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 设，则， ， ∵在中，， ∴． 故选：A． 10．如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了正切、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握正切的定义是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再设每个小等边三角形的边长为，则，，，利用勾股定理可得，然后根据正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 设每个小等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 11．已知是锐角，且，那么___________． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】∵，是锐角， ∴． 故答案为：． 12．已知，则值为______． 【答案】/ 【分析】根据公式解答即可． 本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 13．在Rt中，若，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，掌握正弦值求法是解题关键．先利用勾股定理求出，再根据正弦的定义可得：，即可解题． 【详解】解：如图： 在中，， ， ； 故答案为：． 14．______（选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 15．已知在中，，那么的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，过点作于，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据余切的定义解答即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 17．已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系求值， 过点E作于点K，过点C作于点H， 通过三角形面积公式，计算三角形与三角形的面积比，进而求得四边形的面积． 【详解】解：如下图：过点E作于点K，过点C作于点H， 则 ，， ， 已知，， 所以， 即． 四边形的面积为三角形面积减去三角形面积， 即， 故答案为：. 18．计算：． 【答案】 【分析】根据、、进行计算即可． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： 20．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先运算乘方，化简绝对值以及特殊角的三角函数值，运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ， ． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的法则进行计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练记忆特殊角的三角函数值． 分别计算立方根，绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算． 【详解】解： 23．计算： (1) (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据绝对值，零指数幂公式，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可． （2）根据绝对值，零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值计算即可． 本题考查了绝对值，零指数幂公式，负整数指数幂公式，特殊角的三角函数值，算术平方根，熟练掌握运算公式和法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 25．计算与化简求值 (1)计算 (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2)化简结果为，值为 【分析】（1）分别算出特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值，算术平方根，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，同时对分母中的多项式进行因式分解，然后计算除法运算，约分后得到最简整式再代入a的数值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 26．【初步探究】 （1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点， ①求证： ； ②若，求的值． 【拓展提升】 （2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上内容并作出恰当的辅助线是解题的关键． （1）①根据，，可得，再根据已知，即可证明 ； ②由，可设，，，由勾股定理可得，设，由 可得比例式，即，解得，故； （2）由已知可得，作于点F，如图2，设，，，，导角证明，即，故得，即，解得（不合题意，舍去），故得的长． 【详解】（1）①证明：在等腰中，， ∴， ，， ， 又， ； ②解：， 故设，，， 由勾股定理可得， 设，由 ， ∴， ∴， 即，解得， 故； （2）解：为等腰，， ， ， ， 又， ， 作于点F，如图2所示， 设， ， ，，， ， ，即， 整理可得， 解得或（不合题意，舍去）， 故的长为． 27．如图，在 中，，． (1)如图1，点在边 上，，求 的值； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，连接，且 ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，正弦的计算，相似三角形的判定和性质的综合运用，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意，设，则，在中，运用勾股定理可得，根据正弦的计算方法即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，且，可证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 设，则， 在中，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在中，于点，于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据两角对应相等证明，根据性质得，则 又，根据判定方法即可求证； （）根据相似三角形的性质和正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 锐角的三角函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正弦、余弦、正切的辨析 题型8 直接计算特殊角三角函数值 题型2 正弦值的求解 题型9 已知特殊角三角函数值求角度 题型3 已知正弦值求边长 题型10 特殊角三角函数值的混合运算 题型4 余弦值的求解 题型11 根据特殊角三角函数值判断三角形形状 题型5 已知余弦值求边长 题型12 三角函数值的大小比较 题型6 正切值的求解 题型13 利用同角三角函数关系求解 题型7 已知正切值求边长 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直角三角形边角关系 正弦、余弦、正切 锐角三角函数三角函数定义取值 1. 理解直角三角形中锐角、对边、邻边、斜边核心概念，理清边角对应位置关系。 2. 掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，熟记三种三角函数文字与符号表达式。 3. 明确锐角三角函数仅与锐角度数有关，与直角三角形边长大小无关。 4. 掌握锐角三角函数取值范围，区分正弦、余弦、正切公式，避免公式混淆。 5. 能根据直角三角形边长，求解对应锐角三角函数值，完成基础公式套用计算。 学习重点：锐角三角函数定义、sinA、cosA、tanA公式辨析、已知边长求三角函数值。 学习难点：准区分锐角对边与邻边、三角函数概念理解、变形公式运算、三角函数概念辨析判断题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 锐角三角函数定义（Rt△中） 1.设直角三角形中，锐角A的对边为，邻边为，斜边为。 正切：∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ； 正弦：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ； 余弦：∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 。 锐角A的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数。 2.三角函数取值范围：锐角A满足； 。 3.坡度：坡面的铅直高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即（坡度通常写成的形式）。 4.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作，于是 5.坡度（）越大，坡角越大，坡面就坡陡。 即时即练在锐角中，，，的面积为84，求的值． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）记错定义：把邻边 / 对边算成； （2）线段计算出错：分不清，错用当作计算； （3）忽略锐角条件：高一定落在边上，不用考虑高在延长线上的情况； （4）面积公式漏乘，导致高算错。 知识点02 特殊角的三角函数值 1.互余两角三角函数关系：任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。 2.30°、45°、60°角的三角函数值： 角度 正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα α=30° α=45° α=60° 即时即练计算： (1)； (2)． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）特殊角三角函数记混：混淆 30°、45°、60° 的数值，比如把记成； （2）负指数幂出错：误把算成，负指数是取倒数； （3）根式运算失误：化简漏拆成，或约分算错； （4）运算顺序错误：先算加减再算乘除，未遵循先乘除后加减； （5）同类二次根式合并错误：带根号项、常数项混淆，无法抵消根式。 题型1 正弦、余弦、正切的辨析 【例1】在中， ，所对的边分别为，下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）对边、邻边看反，混淆sin、cos表达式； （2）在非直角三角形中直接套用三角函数定义； （3）tan带斜边、sin/cos用直角边做分母，公式记乱。 【变式1-1】在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 题型2 正弦值的求解 【例3】如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 找锐角→确定对边、斜边→无边长则先用勾股定理求边长→代入sin=对/斜。 【变式2-1】在平面直角坐标系中点，连接，若与轴正半轴夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，，，则的值为__________． 题型3 已知正弦值求边长 【例4】在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【例5】如图，在中，，，D为AC上一点，，，则________． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）设参数：若sinA=k，设对边=kn，斜边=n → 勾股求邻边，再求任意边长； （2）核心：利用比例设未知数，列方程求解。 【变式3-1】如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（   ）米． A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，，，那么______． 题型4 余弦值的求解 【例6】两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【例7】如图，在的正方形网格中，线段经过格点A，E，线段经过格点A，B，D，则_______． 【易错警示】/【技巧归纳】 统一公式：cosA=邻边/斜边，先找锐角邻边，缺边用勾股补齐再求比值。 【变式4-1】如图，在中，，于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是______． 题型5 已知余弦值求边长 【例8】在直角三角形中，，，，则的长为（    ） A．5 B．10 C．12 D．24 【易错警示】/【技巧归纳】 已知cosA=比值，设邻边、斜边参数，勾股求对边，再根据已知线段长求参数，进而得各边长。 【变式5-1】在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，于点，，，则的长为_____． 【变式5-3】如图，已知，在中，，，求的值． 题型6 正切值的求解 【例9】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【例10】在如图所示：的网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，与相交于点E，则的正切值是_______． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）公式：tanA=对边/邻边，只和两条直角边有关，与斜边无关； （2）缺任意一条直角边，先用勾股定理求出再计算。 【变式6-1】如图，一身高（）为的学生，在水平地面的影子（）长为，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】有6个大小相同的小正方形，恰好按如图所示的方式放置在中，则的值等于_____． 【变式6-3】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若正方形的面积为25，正方形的面积为1，则的值为______．    题型7 已知正切值求边长 【例11】已知在中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【易错警示】/【技巧归纳】 tanA=a/b，直接设对边=ak，邻边=bk，利用勾股或已知边长列方程求解。 【变式7-1】如图，把一个长方形卡片放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，若，则边的长为（   ） A． B．5 C．4 D． 【变式7-2】如图，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，已知，且，则折痕长是________． 【变式7-3】如图，在中，，，点D在上，点E在上，过点E作交边于点F，连接并延长交的延长线于点G，，且，求的长． 题型8 直接计算特殊角三角函数值 【例12】计算的值为（     ） A． B． C． D． 【例13】计算：___________，___________． 【易错警示】/【技巧归纳】 易错： （1）30°与60°的sin、cos值互相记反； （2）tan30°、tan60°颠倒出错； （3）根号位置、分子分母写反。 【变式8-1】的倒数是（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式8-2】若，，则_____． 题型9 已知特殊角三角函数值求角度 【例14】已知是锐角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例15】在中，若、满足，则的补角为___________． 【易错警示】/【技巧归纳】 对照特殊角函数值反向判断，锐角范围：0°<∠A<90°，答案唯一。 【变式9-1】在中，，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，在中，，，，则______． 题型10 特殊角三角函数值的混合运算 【例16】计算： 【例17】计算： 【易错警示】/【技巧归纳】 全部替换成数值→先开方、乘除→后加减→最后化简、分母有理化。 【变式10-1】计算：； 【变式10-2】计算：． 【变式10-3】计算：． 题型11 根据特殊角三角函数值判断三角形形状 【例18】在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【例19】在中，、都是锐角，且，则的形状是______三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【易错警示】/【技巧归纳】 通过函数值求出内角度数，结合内角和判断：等腰、直角、等腰直角、含30°/60°特殊三角形。 【变式11-1】在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式11-2】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式11-3】在中，若，，，都是锐角，则是______三角形． 题型12 三角函数值的大小比较 【例20】三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例21】以“<”连接以下五个值，，，，：_____． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）正弦、正切：锐角越大，函数值越大（递增）； （2）余弦：锐角越大，函数值越小（递减）； （3）可统一转化为数值，直接比大小。 【变式12-1】已知，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有________． 题型13 利用同角三角函数关系求解 【例22】在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【例23】已知，则的值为______． 【易错警示】/【技巧归纳】 两大核心恒等式（同锐角）： 1、sin²A+cos²A=1 2、tanA = sinA / cosA 已知其一，可求另外两个函数值。 【变式13-1】如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有____． 【变式13-2】如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 1．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，斜边的长为m，，则直角边的长是（    ） A． B． C． D． 3．如果的、满足，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，要拧开一个边长为的六角形螺帽，扳手张开的开口至少要（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，是由9个小等边三角形组成的等边三角形网格，点A、B、C是网格的格点，连接，则的值为_______． 11．已知是锐角，且，那么___________． 12．已知，则值为______． 13．在Rt中，若，，，则的值为___________． 14．______（选填“”或“”或“”）． 15．已知在中，，那么的值为______． 16．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 17．已知面积为1，点D，E分别在线段，上，且，，则四边形的面积为________． 18．计算：． 19．计算：． 20．计算：． 21．计算： 22．计算： 23．计算： (1) (2)． 24．先化简，再求代数式的值，其中． 25．计算与化简求值 (1)计算 (2)先化简，再求值：，其中 26．【初步探究】 （1）如图1，在等腰中，，D是上的点，连结，将绕点A逆时针旋转并延长，交延长线于点， ①求证： ； ②若，求的值． 【拓展提升】 （2）如图2，在等腰中，，点D，E为边上两点，，连结，，求的长． 27．如图，在 中，，． (1)如图1，点在边 上，，求 的值； (2)如图2，点在的延长线上，点在上，连接，且 ，求证： ． 28．如图，在中，于点，于点，连结． (1)求证：； (2)若，，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $