第02讲 相似三角形的判定（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪科版

第02讲 相似三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用平行线判定三角形相似 题型2 两角对应相等证相似 题型3 两边成比例且夹角相等证相似 题型4 三边对应成比例证相似 题型5 直角三角形特殊相似判定 题型6 选择或补充条件证相似 题型7 相似三角形的判定综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形定义 相似三角形对应边角 相似三角形判定 1. 理解相似三角形定义，掌握相似三角形对应顶点、对应边、对应角、相似比核心概念。 2. 掌握平行于三角形一边的直线判定三角形相似的预备定理。 3. 熟记两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三大相似判定定理。 4. 区分三角形全等与三角形相似判定方法，理清二者异同。 5. 能结合已知条件选取合适判定定理，完成基础三角形相似证明与计算。 学习重点：相似三角形概念、三大三角形相似判定定理、基础相似证明。 学习难点：找准相似三角形对应边角、规避两边非夹角易错点、灵活选用判定定理、A字型、X字型相似模型识别。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的定义及判定 1. 相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 相似符号：用“∽”表示，书写时对应顶点必须按顺序书写。 3. 相似比：相似三角形对应边的比值；两三角形相似具有传递性、对称性。 4. 特殊关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形。 5.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 6.相似三角形的判定： ①（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 ②（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 ④斜边、直角边成比例判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 即时即练如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）角对应写错：相似三角形顶点顺序必须对应，易写成，导致对应边角出错； （2）导角逻辑混乱：分不清外角关系，不会用做中间等量，无法推出； （3）判定定理误用：只找到一组等角就直接证相似，忽略 AA 需要两组对应角相等； （4）忽略等边三角形自带等角条件，找不到第一组相等角。 题型1 利用平行线判定三角形相似 【例1】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【易错警示】/【技巧归纳】 核心定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）相交，所得三角形与原三角形相似。 【变式1-1】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式1-2】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 题型2 两角对应相等证相似 【例2】如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【例3】如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）最简判定方法：两个三角形只要有两组对应角分别相等，即可判定相似（第三组角必然相等）； （2）常用角度来源：公共角、对顶角、直角、平行线内错角/同位角、等角的余角/补角相等。 【变式2-1】如图，在中，，点分别是边上的点，．求证：． 【变式2-2】如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 题型3 两边成比例且夹角相等证相似 【例4】能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【例5】如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似； （2）解题步骤：先计算两组对应边比值相等，再验证夹角为对应角，双重满足即可判定。 【变式3-1】如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【变式3-2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 题型4 三边对应成比例证相似 【例6】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【例7】如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：两个三角形的三组对应边比值全部相等，即可判定相似； （2）解题技巧：将两个三角形边长从小到大排序，依次计算对应边比值，比值统一即相似。适用于无角度条件、仅给边长的题型。 【变式4-1】根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【变式4-2】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 题型5 直角三角形特殊相似判定 【例8】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【易错警示】/【技巧归纳】 除通用判定方法外，直角三角形专属简便判定： （1）一个锐角对应相等，两直角三角形相似（AA）； （2）两组直角边对应成比例，两直角三角形相似（SAS）； （3）斜边、一条直角边对应成比例，两直角三角形相似（HL型相似）。 【变式5-1】如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【变式5-2】如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 题型6 选择或补充条件证相似 【例9】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）已有一组角相等：优先补另一组等角（AA），或补夹角两边成比例（SAS）； （2）已有两边成比例：优先补夹角相等（SAS）； （3）直角三角形：优先补一组锐角相等或直角边/斜边成比例。 【变式6-1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【变式6-2】如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 题型7 相似三角形的判定综合 【例11】如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【例12】如图，是内部的一点，过点A作，垂足为．动点同时从点O出发，点E以的速度沿方向运动，点F以的速度沿方向运动，与交于点C，连接．当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为． (1)当时，与是否相似？请说明理由． (2)求证：在运动过程中，不论t取何值，总有． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）梳理已知条件：优先找隐藏角（公共角、对顶角、直角）； （2）择优选择判定方法：优先AA（最简单），其次SAS、SSS，直角三角形用专属判定； （3）多三角形问题：先证一组相似，利用所得边角条件推导后续相似。 【变式7-1】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【变式7-2】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【变式7-3】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【变式7-4】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 5．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 6．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 7．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是________．（写出一个条件即可） 8．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 9．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 10．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 11．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 12．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    13．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 14．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 15．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 16．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 相似三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用平行线判定三角形相似 题型2 两角对应相等证相似 题型3 两边成比例且夹角相等证相似 题型4 三边对应成比例证相似 题型5 直角三角形特殊相似判定 题型6 选择或补充条件证相似 题型7 相似三角形的判定综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形定义 相似三角形对应边角 相似三角形判定 1. 理解相似三角形定义，掌握相似三角形对应顶点、对应边、对应角、相似比核心概念。 2. 掌握平行于三角形一边的直线判定三角形相似的预备定理。 3. 熟记两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例三大相似判定定理。 4. 区分三角形全等与三角形相似判定方法，理清二者异同。 5. 能结合已知条件选取合适判定定理，完成基础三角形相似证明与计算。 学习重点：相似三角形概念、三大三角形相似判定定理、基础相似证明。 学习难点：找准相似三角形对应边角、规避两边非夹角易错点、灵活选用判定定理、A字型、X字型相似模型识别。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的定义及判定 1. 相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 相似符号：用“∽”表示，书写时对应顶点必须按顺序书写。 3. 相似比：相似三角形对应边的比值；两三角形相似具有传递性、对称性。 4. 特殊关系：全等三角形是相似比为1的相似三角形。 5.平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 6.相似三角形的判定： ①（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 ②（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 ④斜边、直角边成比例判定：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 即时即练如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【易错提醒】/【方法总结】 易错： （1）角对应写错：相似三角形顶点顺序必须对应，易写成，导致对应边角出错； （2）导角逻辑混乱：分不清外角关系，不会用做中间等量，无法推出； （3）判定定理误用：只找到一组等角就直接证相似，忽略 AA 需要两组对应角相等； （4）忽略等边三角形自带等角条件，找不到第一组相等角。 题型1 利用平行线判定三角形相似 【例1】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 【易错警示】/【技巧归纳】 核心定理：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或两边延长线）相交，所得三角形与原三角形相似。 【变式1-1】如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【变式1-2】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 题型2 两角对应相等证相似 【例2】如图，在中，，，图中相似三角形共有（    ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定；根据直角三角形两锐角互余，求证角相等是解题的关键． 可证得，所以相似三角形有3对． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴共有3对相似三角形． 故选：B． 【例3】如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）最简判定方法：两个三角形只要有两组对应角分别相等，即可判定相似（第三组角必然相等）； （2）常用角度来源：公共角、对顶角、直角、平行线内错角/同位角、等角的余角/补角相等。 【变式2-1】如图，在中，，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定等知识，推导出，进而证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型3 两边成比例且夹角相等证相似 【例4】能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 【例5】如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：两组对应边成比例，且两边的夹角对应相等，三角形相似； （2）解题步骤：先计算两组对应边比值相等，再验证夹角为对应角，双重满足即可判定。 【变式3-1】如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先得，然后结合即可求证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 题型4 三边对应成比例证相似 【例6】如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【例7】如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）判定核心：两个三角形的三组对应边比值全部相等，即可判定相似； （2）解题技巧：将两个三角形边长从小到大排序，依次计算对应边比值，比值统一即相似。适用于无角度条件、仅给边长的题型。 【变式4-1】根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式4-2】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 题型5 直角三角形特殊相似判定 【例8】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】两个三角形相似．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟记相似三角形的判定定理． 两条边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：两个三角形相似．理由如下： 在Rt中，， ， RtRt． 【易错警示】/【技巧归纳】 除通用判定方法外，直角三角形专属简便判定： （1）一个锐角对应相等，两直角三角形相似（AA）； （2）两组直角边对应成比例，两直角三角形相似（SAS）； （3）斜边、一条直角边对应成比例，两直角三角形相似（HL型相似）。 【变式5-1】如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 【变式5-2】如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 题型6 选择或补充条件证相似 【例9】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； B．由A选项得， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； C．该选项条件无法得出， 故该选项符合题意； D．∵， ∴， 由A选项得， ∴， 故该选项不符合题意； 故选：C． 【例10】如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）已有一组角相等：优先补另一组等角（AA），或补夹角两边成比例（SAS）； （2）已有两边成比例：优先补夹角相等（SAS）； （3）直角三角形：优先补一组锐角相等或直角边/斜边成比例。 【变式6-1】如图，在中点D在上（不与点A，B重合），连接．只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定条件解答即可． 【详解】解：∵∠A=∠A， ∴添加或或（答案不唯一）． 【变式6-2】如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 【答案】 (答案不唯一)；证明见解析 【分析】本题考查了三角形相似，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，得到两个三角形有个对顶角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】 (答案不唯一) 证明：∵点分别是延长线上的点， ∴， 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两直线平行内错角相等可得：， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：． 题型7 相似三角形的判定综合 【例11】如图所示，在梯形中，，对角线相交于点O，问：与相似吗？ 有一名同学解答如下： 因为，所以，，所以，所以．又因为，所以． (1)请你判断这名同学的证明是否正确，说明理由． (2)若，与相似吗？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)相似 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰梯形的性质，熟练掌握三角形相似的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可解答； （2）根据相似三角形的判定定理结合等腰梯形的性质即可解答． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 则不能证明． （2）解：若，．理由如下： ∵， ∴四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴． 【例12】如图，是内部的一点，过点A作，垂足为．动点同时从点O出发，点E以的速度沿方向运动，点F以的速度沿方向运动，与交于点C，连接．当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为． (1)当时，与是否相似？请说明理由． (2)求证：在运动过程中，不论t取何值，总有． 【答案】(1)与相似．理由见解析 (2)见解析 【分析】(1)根t据对应线段成比例且夹角相等，得三角形相似； (2)通过三角形相似得对应角相等，进而再证明垂直. 【详解】（1）解：与相似．理由如下： 当时，， . 又 . （2）证明：在运动过程中，设， . 又， . . 又 . ，，即 在运动过程中，不论t取何值，总有． 【易错警示】/【技巧归纳】 （1）梳理已知条件：优先找隐藏角（公共角、对顶角、直角）； （2）择优选择判定方法：优先AA（最简单），其次SAS、SSS，直角三角形用专属判定； （3）多三角形问题：先证一组相似，利用所得边角条件推导后续相似。 【变式7-1】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式7-2】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【变式7-4】如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 2．如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 故A不符合题意； B、∵， ∴， 故B不符合题意； C、由图形可知，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 3．如图，不能判定和相似的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：A、由知，且， 可判断和相似，故选项A不符合题意； B、 ，且， 可判断和相似，故选项B不符合题意； C、 ，且， 可判断和相似，故选项C不符合题意； D、由，，无法判断和相似，故选项D符合题意； 故选：D． 4．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 5．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 6．如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7．如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是________．（写出一个条件即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：（或或）． 8．如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有_______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 9．在中，，，点D在边上，且，点E在上，当______时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 10．如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 11．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 14．如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，已知，，，，，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，进而求出的长； （2）根据，，得，又，可得，根据相似三角形的判定即可得到． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 16．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 17．求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在和中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．先在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $