2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷（试卷范围：九上全+九下第1-2章）

2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷 （试卷范围：九上全+九下第1-2章） 《2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A C A B D C C 1．D 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】 解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 2．C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断． 【详解】解：A、菱形、平行四边形的对边平行且相等，故A选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，故B选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；平行四边形的对角线互相平分，故C选项符合题意； D、菱形、平行四边形的对角相等，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形的性质，掌握平行四边形与菱形的性质是解题的关键． 3．D 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∵点M是AB的中点， ∴CM＝AB＝6km， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 4．A 【分析】根据题意画树状图，共有4种等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】树状图如下图所示： 共有4种等可能的结果，两次所摸出的球都是同一颜色球的结果有2种， ∴两次所摸出的球都是同一颜色球的概率为， 故选：A． 【知识点】本题主要考查了简单概率的求法，熟练掌握列表法与树状图法是解决本题的关键． 5．C 【分析】根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h是成正比例关系，故不符合题意； ②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h是反比例函数关系；故符合题意； ③面积为定值的矩形的长与宽；是反比例函数关系；故符合题意； ④圆的周长与它的半径，是成正比例关系，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解答本题的关键是根据题意列出函数关系式来进行判断，本题属于基础题型． 6．A 【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式，最后对选项进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴判别式 又∵，， ∴ 解得 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程无实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有两个不相等的实数根． 7．B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及求正切值，能够通过勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形是解题关键； 先通过坐标求出的长度，再证得三角形为直角三角形，再通过正切的定义求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形，为斜边， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴m=-3或m=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选C． 10．C 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ， ， 故①错误； ②对称轴是直线，与x轴交点在左边， 二次函数与x轴的另一个交点在与之间， ∴当时，， ， 故②错误； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是， m为任意实数，则， ， ③正确； ④ ， ， 由②得， ， ④正确； ⑤ ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ⑤正确； 综上可知，正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的关系． 11． 【分析】根据中心对称图形的概念对各小题分析判断即可得解． 【详解】①正方形是中心对称图形； ②长方形是中心对称图形； ③等边三角形不是中心对称图形； ④线段是中心对称图形； ⑤锐角，不是中心对称图形； ⑥平行四边形是中心对称图形； 所以，①②④⑥共4个． 故答案为4． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的概念. 12．0.5 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可． 【详解】当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右， ∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5． 故答案为：0.5． 13．. 【详解】试题分析：∵DE//AC,∴DB:AD=BE:CE,∴4:2=3:EC,EC=. 考点：平行线分线段成比例定理. 14．0 【分析】首先把m代入方程，可得，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，然后把和整体代入代数式，据此即可求得． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 15．k=2 【分析】由题意跟图像可得出A、B两点的坐标分别为：、，根据反比例函数系数k的几何意义及面积的等量关系易证，然后利用梯形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】如图所示： A，B两点的横坐标分别是2和4 OD=4，OC=2 解得：k=2． 故答案为：k=2． 【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 16．（1）    （2）， 【分析】本题考查特殊角三角函数值，实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题关键； （1）先计算零次幂，负指数次幂，特殊角的三角函数，二次根式，最后计算加减即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 其中， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，． 18．（1）AD是△ABC的中线，理由见解析；（2）AB=CD或∠ABC=∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC 【分析】（1）先证明△BDE≌△CFD，得出BD=CD，可以判断AD是△ABC的中线； （2）要使四边形BFCE是菱形，由BC与EF互相平分，只要BC与EF互相垂直即可，则添加的条件为∠ABC=∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC,答案不唯一． 【详解】解：（1）AD是△ABC的中线． 理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°, 又∵BE=CF，∠BDE=∠CDF， ∴△BDE≌△CFD（AAS）, ∴BD=CD，即AD为△ABC的中线； （2）∵AB=CD或∠ABC=∠ACB或AD⊥BC或AD平分∠BAC(答案不唯一), ∴BC与EF互相垂直, 又∵BC与EF互相平分， ∴四边形BFCE是菱形. 【点睛】考查了平行四边形的性质和菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 19．(1)60、0.25 (2)700人 (3) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布表．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）总人数乘以A选项对应频率可得； （3）根据题意画树状图，求出所有等可能的结果，再用两人恰好选中同一类的结果数除以总的结果数即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：60、0.25； （2）解：估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数为：（人）； （3）解：根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一类的结果有4种， ∴两人恰好选中同一类的概率为． 20．图见解析，小方的影长为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，然后证明，则，设，则，代入得，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，为所要求的图形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 答：小方的影长为米． 21．(1)；y=-x-1 (2) ；C（-5，0） 【分析】（1）将点B的坐标代入中求得m的值即可得到反比例函数的解析式，再将点A（-2，n）代入所得反比例函数的解析式求得n的值即可得到点A的坐标，然后将A、B两点的坐标代入一次函数的解析式列出关于k、b的方程组，解方程组求得k、b的值即可得到一次函数的解析式； （2）如下图，作出点A关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，则此时的点C为所求点，由已知条件求得直线的解析式，即可由所得解析式求得点C的坐标，然后由t=CB-CA=CB-即可求得所求的t的值． 【详解】（1）解：∵点B（1，-2）在反比例函数的图象上， ∴m=-2， ∴反比例函数解析式为． ∵点A（-2，n）在反比例函数的图象上， ∴n=1， ∴A（-2，1）． 由题意知 ，解得： ， 故一次函数的解析式为y=-x-1； （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点C，则点C为所求点， ∵A（-2，1）， ∴（-2，-1）． 设直线A′B的解析式为y=mx+n， 则 ，解得： ， 故直线的解析式为 在中，令y=0，解得x=-5，则C点坐标为（-5，0）， ∴BC=， =， ∴此时t=CB-CA有最大值，且t最大=CB-==． 【点睛】此题考查了用待定系数法求函数的解析式和两点间的距离公式，解题的关键是：（1）掌握用“待定系数法”求函数解析式的方法；（2）能作出如图所示的辅助线，找到符合题意的点C；（3）知道两点间的距离公式：点P(a，b)和点Q(m，n)间的距离为：PQ=． 22．(1)所作图形见解析；抛物线 (2) (3)击球高度的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及画函数图像，求解析式和抛物线的平移的应用，解题关键在于熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）根据表格描点，然后用平滑的曲线顺次连接，画出图像，进而可判断其图象的性质； （2）根据表格确定对称轴，进而确定顶点坐标，然后设顶点式的解析式，根据待定系数法求解即可； （3）当时，抛物线的解析式为，设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为，然后表示出平移后的解析式，再根据平移后恰好经过点和点，分别求得对应的值即可． 【详解】（1）解：描出各点，图象如下图即为所求： 由图可知，乒乓球的运行路线近似是一条抛物线； 故答案为：抛物线； （2）解：观察表格数据，可知当和时，函数值相等， 对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 设击球高度的值为，即将原抛物线平移，平移距离为， 则平移后的抛物线的解析式为， 当乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，即平移后抛物线经过点， 代入解析式，得， 解得； 当乒乓球刚过球网时，即平移后抛物线经过点， ，球网高为， ， 代入解析式，得 解得； 答：为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，击球高度的取值范围为． 23．感知：；（1）见解析；（2）；（3） 【分析】感知：根据全等三角形的性质，通过证明，即可完成求解； （1）过点作交于，过点作交于，根据正方形和全等三角形的性质，通过证明即可完成求解； （2）过点H作于点Q，过点G作于点P，根据相似三角形的性质，先证明，再根据相似三角形相似比的性质计算，即可得到答案； （3）过点D作于点S，根据特殊角度三角函数、勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：感知：∵四边形为正方形 ∴, 又∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：； （1）过点作交于，过点作交于， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点H作于点Q，过点G作于点P， 由（1）得， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）过点D作于点S， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据（1）的结论，得 ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、相似三角形、特殊角度三角函数、勾股定理的知识；熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版九年级上册期末数学试卷 （试卷范围：九上全+九下第1-2章） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示的几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 2．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补 3．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点 M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（    ） A．3km B．4km C．5km D．6km 第3题 第7题 第9题 4．在一个布袋中装着只有颜色不同，其它都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是（　　） A． B． C． D． 5．下列两个变量成反比例函数关系的是（    ） ①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h； ②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h； ③面积为定值的矩形的长与宽； ④圆的周长与它的半径． A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 6．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．2020 7．如图，已知，，，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 8．若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 9．如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（    ） A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C．标准大气压下，该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 10．二次函数二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数、则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个       第10题 第13题 第15题 二、填空题 11．在①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤锐角；⑥平行四边形中，绕某个点旋转后能与自身重合的有 个． 12．历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是 ． 13．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE//AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= . 14．设，是一元二次方程的两根，则的值为 ． 15．如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，当△OAB的面积时，则的值为 ． 三、解答题 16．计算：； 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，△ABC中，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF． （1）请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论． （2）连接BF、CE，若四边形BFCE是菱形，则△ABC中应添加一个条件 ．（填上你认为正确的一个条件即可） 19．某市少年宫为小学生开设了绘画，音乐、舞蹈和跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表． 最受欢迎的兴趣班调查问卷你好！这是一份关于你最喜欢的兴趣班问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）你最喜欢的兴趣班选项，在其后空格内打“√”，感谢你的合作． 选项 兴趣班 请选择 A 绘画 B 音乐 C 舞蹈 D 跆拳道 兴趣班 频数 频率 A 0.35 B 18 0.30 C 15 b D 6 合计 a 1 请你根据统计表中提供的信息回答下列问题： (1)统计表中的 ， ； (2)根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣班的人数； (3)王姀和李婴选择参加兴趣班，若她们每人从A、B、C、D四类兴趣班中随机选一类，求两人恰好选中同一类的概率． 20．如图，一路灯距地面米，身高米的小方在距离灯的底部（点）米的处，请画出小方的影子，并求小方的影长． 21．如图，点A（-2，n），B（1，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若C是x轴上一动点，设t=CB-CA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标． 22．乒乓球被誉为中国国球，2025年在卡塔尔多哈举办的第58届世界乒乓球锦标赛共设置男单、女单、男双、女双及混双五个单项比赛，中国队成功获得了混双、女单、男单、女双四个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，下面，我们尝试用学到的数学知识来进行技术分析：图①是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度击球，将乒乓球向正前方击打到对面球台，若乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得如表数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)画图猜想：在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象，由此看出乒乓球的运行路线的图象近似是一条___________（填写：直线、抛物线或双曲线）； (2)函数模拟：求满足条件的乒乓球运行路线的函数表达式； (3)技术分析：如图②，乒乓球台长为，球网高为．假设上下调整击球高度，乒乓球（大小忽略不计）的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，为了利于有针对性的训练，请计算出的取值范围． 23．【感知】如图①，在正方形中，E、F分别在边、上，于点O．猜想线段与的数量关系为______； 【探究】数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究： （1）如图②，在正方形中，若点E、F、G、H分别在边、、、上，于点O，求证：； （2）如图③，将（1）中的条件“在正方形中”改为“在矩形中，，”，其他条件不变，则线段与的数量关系是______； （3）如图④，在四边形中，，，，点M在上，且，连结CM，过点D作交于点O，交于点N，直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $