1.4线段垂直平分线与角平分线（第1课时线段垂直平分线的性质）（教学课件）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学课件聚焦苏科版八年级上册“线段垂直平分线的性质”，核心内容包括性质定理、逆定理及三角形垂直平分线性质。课堂导入通过全等三角形和图形变换中的折纸发现，搭建旧知（全等、轴对称）与新知的学习支架，引导学生自然过渡。 其亮点在于以问题探究驱动，通过“点在线上”“点在线外”分类证明培养数学思维的推理意识，用符号语言规范表达提升数学语言能力，结合筝形证明、三角形垂直平分线交点等实例深化理解。采用探究式教学，课堂总结清晰梳理知识点，助力学生发展几何直观与应用意识，也为教师提供系统的教学资源和题型参考。

第1章 三角形 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 探索并证明线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 理解三角形的垂直平分线的性质 全等三角形是研究图形性质的重要工具。 在“图形的变换”一章中，我们曾通过折纸发现线段和角都是轴对称图形，其对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线所在直线。 本节，我们利用全等三角形研究它们的性质。 课 题 导 入 问题 新知探究 如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB。线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ B O l A P 解：① 当点P与点O重合时，显然PA = PB； ② 当P与点O不重合时， ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴AO = BO，∠POA = ∠POB = 90°。 通过“SAS”，可证△POA≌△POB， ∴PA = PB。 新知探究 线段垂直平分线的性质定理： 于是，我们得到线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 提分笔记 新知探究 符号语言：如图， ∵直线OP垂直平分线段AB， ∴PA = PB。 提分笔记 B O l A P 问题 新知探究 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 解：① 如图，当点Q在线段AB上时， 如果QA = QB， 那么Q是线段AB的中点， ∴线段AB的垂直平分线一定经过点Q。 A B Q 问题 新知探究 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？ 解：② 如图，当点Q在线段AB外时， 作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA = ∠QMB = 90°。 如果QA = QB， 那么通过“HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM， ∴AM = BM，即M是线段AB的中点， ∴QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上。 B A Q M 新知探究 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 于是，我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 提分笔记 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 新知探究 符号语言：如图， ∵PA = PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上。 提分笔记 B O l A P 讨论 新知探究 如图，AB = AD，CB = CD，AC，BD相交于点E。你能在图中找到哪些相等的角？证明你的结论。 解：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； ② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； ③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 B A C D E 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。 讨论 新知探究 证明：① ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； 证明：在△ABC与△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC ( SSS )， ∴ ∠BAE = ∠DAE，∠BCE = ∠DCE； B A C D E 讨论 新知探究 证明：② ∠ABE = ∠ADE，∠CBE = ∠CDE； 证明：在△ABE与△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE ( SAS )， ∴ ∠ABE = ∠ADE， 同理：△CBE≌△CDE ( SAS )， ∴ ∠CBE = ∠CDE； B A C D E 讨论 新知探究 证明：③ ∠AEB = ∠AED = ∠CEB = ∠CED = 90°。 证明：∵△ABE≌△ADE， ∴ ∠AEB = ∠AED， 又 ∠AEB + ∠AED = 180°， ∴ ∠AEB = ∠AED = 90°， 同理：∠CEB = ∠CED = 90°。 B A C D E 典例分析 例1 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：如图，OA、OB、OC。 ∵点O在AB的垂直平分线l1上， ∴OA = OB ( 线段垂直平分线的性质定理 )。 同理，OA = OC。 ∴OB = OC。 ∴点O在BC的垂直平分线上 ( 线段垂直平分线性质定理的逆定理 )。 A B C l1 l2 O 新知探究 三角形的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。 提分笔记 题型探究 例1-1 如图，在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 根据性质定理求角度 题型一 解：∵在△ABC中，∠B = 50°，∠C = 30°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 100°， ∵MN是AC边的垂直平分线， ∴DA = DC， ∴∠DAC =∠C = 30°， ∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 100° - 30° = 70°。 B A C D M N C 题型探究 例1-2 已知：如图，AB = AE，BC = ED，AF垂直平分CD，∠B = 110°， 求∠E的度数。 根据性质定理求角度 题型一 解：如图，连接AC，AD， ∵AF垂直平分CD， ∴AC = AD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED ( SSS )， ∴∠E = ∠B = 110°。 B A E D F C 题型探究 例2 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， 若AB = 4，BC = 9，则△AEF的周长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 根据性质定理求线段长 题型二 解：∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC， ∴AE = BE，AF = CF， ∴C△AEF = AE + EF + AF = BE + EF + CF = BC = 9。 B A C F H G E C 题型探究 例3 如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点D恰好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE = AB，求证：点D在线段CE的垂直平分线上。 根据性质定理的逆定理进行证明 题型三 证明：如图，连接AD，CD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD = ∠EBD， 在△ABD与△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD ( SAS )， ∴DA = DE， B A C D E 题型探究 例3 如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点D恰好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE = AB，求证：点D在线段CE的垂直平分线上。 根据性质定理的逆定理进行证明 题型三 ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA = DC， ∴DC = DE， ∴点D在线段CE的垂直平分线上。 B A C D E 题型探究 例4 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等， 则点P一定是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 三角形的垂直平分线的性质 题型四 B 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 三角形的垂直平分线的性质： 三角形三条边的垂直平分线交于一点， 且该点到三角形三个顶点的距离相等。 课 堂 总 结 感谢聆听! $