1.4 线段垂直平分线与角平分线（第1课时 线段垂直平分线的性质）（课件）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第一章 三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质 1.4 线段垂直平分线与角平分线 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解线段的垂直平分线的性质定理与逆定理概念.（重点） 2.利用线段的垂直平分线的性质定理与逆定理解决 问题. （重点、难点） 新课导入 知识回顾 我们已经知道，线段和角都是轴对称图形，它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线 a b l O B A 下面，我们利用全等三角形研究它们的性质. 知识点讲解 问题 线段AB的垂直平分线与AB相交于点〇，在上任意取一点P，连接PA，PB.线段PA与PB一定相等吗?如何证明? ● ● A B ● O l ● P ∵OP是线段AB的垂直平分线， ∴OP⊥AB且AO＝BO． ∴∠AOP＝∠BOP＝90°. 在△AOP 和△BOP 中， ∴△AOP≌△BOP， ∴PAPB． 定义与概念 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 于是，我们得到线段垂直平分线的性质定理： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA＝PB （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 几何语言： 典型例题 例1.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE 的长为( ) A. 3 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 16 cm 解题秘方：利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化，求出AC的长，从而求出AE的长. 经典例题 解：∵ DE是AC的垂直平分线，∴ AE＝AC，AD＝CD. ∴ △ABD的周长＝AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13 cm. 又∵△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝19 cm，∴ AC＝6 cm. ∴ AE＝AC＝×6＝3(cm) A 总结归纳 解题通法 利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化是一种常用的解题方法．本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质，将△ABD的周长转化为AB＋AC的长，最后代入求解． 如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ A B ● Q 如图，当点Q在线段AB上时，如果QA＝QB，那么Q是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q. 问题 A B ● Q M 如图，当点Q在线段AB外时， 作QM⊥AB，垂足为M. 在Rt△QAM和Rt△QBM中， ∠QMA＝∠QMB＝90°， ∵∴Rt△QAM≌Rt△QBM. ∴AMBM，即M是线段AB的中点. ∴直线QM是线段AB的垂直平分线. 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 定义与概念 于是，我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. 几何语言： 典型例题 例2.如图，AD为∠BAC的平分线，交BC于点D，AE＝AF. 请判断线段AD所在的直线是不是线段EF的垂直平分线，若是，请给予证明；若不是，请说明理由. 经典例题 解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可. 证明：如图，连接DE，DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED 和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS).∴ DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上. ∵ AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上. ∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 切忌只证明一个点在直线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线. 总结归纳 教你一招 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法，二是判定定理.一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单.用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两个不同的点到线段两个端点的距离相等. A D C B E 解：∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC， ∠ABE＝∠ADE，∠CBE＝∠CDE， ∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED. 在△ABC和△ADC 中， ∴△ABC≌△ADC， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC． 如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ 讨论 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”. 典型例题 证明：连接OA、OB、OC. ∵ 点O在AB的垂直平分线l1上， ∴ OA＝OB（线段垂直平分线的性质定理） 同理 OA＝OC. ∴ OB＝OC. ∴ 点O在BC的垂直平分线上 （线段垂直平分线性质定理的逆定理） . 例3.（课本例题）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上 B A C O l1 l2 经典例题 三角形三条边的垂直平分线交于一点 课堂练习 知识点1 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线上一点到点的距离为5，则点到点 的距离( ) A A.等于5 B.大于5 C.小于5 D.无法确定 【解析】 点在线段的垂直平分线上， .故选A． 基础题 21 2.［2024江苏扬州期中］如图，在中，是边 的垂直平 分线，，的周长为，则 的周长为 ____ . 34 【解析】是边的垂直平分线，， ， .的周长为 ， ， .故答案为34. 22 3.如图，在中，边的垂直平分线与边 的垂直平 分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点， .已知 的周长为,分别连接，，，若 的周 长为，则的长为_____ . 8.5 【解析】，分别为， 的垂直平分线， ，，， 的周长 为， ， ，即. 的周长为 ， ， ， .故答案为8.5. 23 4.［2025江苏苏州调研］如图，,分别是, 的垂直平分线， 垂足分别为,，且， ， ，则 ____ . 44 【解析】如图，连接,,分别是, 的垂直平分线， ，，.在和 中， ， ， ， ， ，即 , ， ，故答案为44． 24 5.如图，在四边形中，边，的垂直平分线， 恰好 相交于顶点 . （1）求证： . 【证明】连接垂直平分，.在 和 中， ， .同理可证， ， . 25 （2）连接，若 ， ，求 的度数. 【解】过点作于点.由（1）得， ， .又 直线，分别是边， 的垂直平分线， ， ， ， .在和 中， ，， ， . 26 知识点2 线段垂直平分线的判定 6.［2025江苏盐城射阳调研］如图，在中，已知点在 上，且 ，则点 在( ) A A.的垂直平分线上 B. 的平分线上 C.的中点处 D. 的垂直平分线上 【解析】，，， 点在 的垂直平 分线上，故选A． 27 7.［2025山东滨州质检］如图，平分， ， ，垂足分别为， ，下列结论中不一定成立的是( ) B A. B.垂直平分 C. D.平分 【解析】平分,.在与 中， ，， ， ，即平分，故A、C、D不符合题意.不一定垂直平分 ， 故B符合题意，故选B． 28 8.如图，中， ，是上一点，，过点作 的 垂线交于点，连接交于点，求证：垂直平分 . 【证明】 ，， .在 和 中，，.又 ， 垂直平分 ． 29 9.［2024江苏无锡调研］如图，在中，是 边上的高， 在线段上取一点，使，已知 ，求 证：点在线段 的垂直平分线上. 【证明】是边上的高，.又， 所在的直线是线 段的垂直平分线，，.又 ， ，，， 点在线段 的垂直 平分线上. 30 10.［2024扬州广陵区月考］如图，已知，点为 的平分线上一点， ，，垂足分别为点, . （1）求证： ； 提升题 证明： 点为 的平分线上一点， . ，， ， 在和中， ， . 31 （2）若，求证：点在 的垂直平分线上. [答案] 连接， ，如图， , , ， 又， ， ， ， 点在 的垂直平分线上. 10.［2024扬州广陵区月考］如图，已知，点为 的平分线上一点， ，，垂足分别为点, . 32 11. 如图，在中，是 的中点，过点的直线交 于点，交 的平行线于点，，交于点，连接 ， . （1）求证： ； 证明：， . 为的中点， ，又 ， . 拓展题 （2）请你判断与 的大小关系，并说明理由. 解： .理由如下： ，， . 又， . 在中，， . 33 课堂小结 本节课同学们学到了什么？ 线段垂直平分线的性质 性质定理 见垂直平分线，得线段相等 性质定理的逆定理 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 布置作业 作业题 教科书第38页练习 第1，2题 1.利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. B A C O 解：点O即为所求 . 课本练习 2．如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线．已知BC＝8，AB＝10， 求△EBC的周长． B A C D E 解：∵DE是△ABC的边AC的垂直平分线， ∴AE＝CE． ∴BE＋CE＝BE＋AE＝AB＝10. ∵BC＝8， ∴△EBC的周长＝BE＋CE＋BC＝10＋8＝18． 课本练习 感谢观看 $$