专题12：三角不等式（1大知识点+6大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接数学沪教版

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题12 三角不等式 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 2、如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 题型一、三角不等式定理的推导与拓展 【方法归纳】两数和与差的绝对值不等式的性质:（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。 【例1】证明： 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【跟踪训练】 1.对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 2.对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 题型二、利用三角不等式定理的证明 【例2】设、为实数；求证：。 【例3】已知 求证：. 【跟踪训练】 1.已知 ，求证 2.求证: ⑴;⑵ 3.求证: ⑴;⑵ 4.已知求证：。 5.已知求证：。 题型三、三角不等式“取等”条件探究 【例4】取等号的条件是 A． B． C． D． 【例5】对于 ，下列结论正确的是(    ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 【跟踪训练】 1．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）三角不等式中，等号当且仅当________成立． 2.已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 3.当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 4.对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 题型四、应用三角不等式求最值 【方法归纳】（1）含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法；（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值。（3）证明含有绝对值的不等式的思路：①充分利用含绝对值的不等式的性质；②证题过程还应考虑添、拆项的技巧，以上两步骤用活，此类问题可快速破解。 【例6】求的最小值，并指出等号成立的条件. 【例7】已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 【跟踪训练】 1.函数的最小值等于__________． 2.已知，，，则的最大值是_____________. 题型五、三角不等式恒成立问题 【例8】意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪[2，＋∞) B．[－2，－1]∪(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 【例9】若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． 【跟踪训练】 1.等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 2.已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 3.已知函数f(x)＝＋＋a. （1）a＝0时，解不等式f(x)≥6； （2）若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 4.不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 5.已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 题型六、综合提升 【例10】（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为Ø，求实数a的取值范围. 【例11】设函数， （1） 若，解不等式； （2）如果，，求的取值范围 【跟踪训练】 1.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. （1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 2.（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 一、填空题 1．（24-25行知中学高一期中）代数式的最小值是 ． 2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 3．（24-25延安中学高一期中）函数的最小值为________. 4．（24-25宝山中学高一期中）函数的最小值是________. 5．（24-25七宝中学高一期中）假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________. 6．（24-25上海师大附中高一期中）不等式的解集为,则实数的取值范围为______ 7．（24-25奉贤中学高一期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是_________. 8．（23-24大同中学高一期中）如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______. 二、选择题 9．（23-24西南模范中学高一期中）函数的最小值及取得最小值时的值分别是 A．1， B．3，0 C．3， D．2， 10．（24-25位育中学高一期中）若关于的不等式在（﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为 A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3] 11．（2020·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 12．（23-24松江二中高一期中）关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、 解答题 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 15．（2020·上海市进才中学高一期中）（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 16．（23-24复兴高级中学高一期中）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17．（2024·上海市南洋模范中学高三月考）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题12 三角不等式 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 2、如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 题型一、三角不等式定理的推导与拓展 【方法归纳】两数和与差的绝对值不等式的性质:（1）对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时；（2）该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式。 【例1】证明： 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】注意：遵守不等式性质； 【证明】（方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即 【跟踪训练】 1.对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 2.对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 题型二、利用三角不等式定理的证明 【例2】设、为实数；求证：。 【证明】取、分别为：、代入定理，应用定理变形即可； 【例3】已知 求证：. 【分析】利用不等式的性质以及绝对值三角不等式即可证明. 【详解】证明   ，∴， 根据绝对值三角不等式可得. 【跟踪训练】 1.已知 ，求证 证明 （1） ， ∴ （2） 由（1），（2）得： 2.求证: ⑴;⑵ 3.求证: ⑴;⑵ 4.已知求证：。 5.已知求证：。 题型三、三角不等式“取等”条件探究 【例4】取等号的条件是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：利用绝对值不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案. 详解：， 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 点睛：本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题. 【例5】对于 ，下列结论正确的是(    ) A．当 异号时，左边等号成立 B．当 同号时，右边等号成立 C．当 时，两边等号均成立 D．当 时，右边等号成立；当 时，左边等号成立 【答案】B 【解析】采用特殊值法验证即可. 【详解】当时，左边等号成立，故A不正确. 当 时，右边等号不成立，故C不正确. 当 时，右边等号不成立；故D不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，还考查了特殊与一般的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 【跟踪训练】 1．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）三角不等式中，等号当且仅当________成立． 【答案】 【分析】当、同号或时，的等号成立. 【详解】当时，，当时，，故当且仅当时，等号成立 故答案为： 2.已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【分析】根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 3.当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值的三角不等式计算可得恒成立，可得. 【详解】由题意可知，即可知最小值为1； 所以不等式恒成立，此时. 故答案为：. 4.对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 题型四、应用三角不等式求最值 【方法归纳】（1）含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法；（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值。（3）证明含有绝对值的不等式的思路：①充分利用含绝对值的不等式的性质；②证题过程还应考虑添、拆项的技巧，以上两步骤用活，此类问题可快速破解。 【例6】求的最小值，并指出等号成立的条件. 【答案】， 【解析】 当且仅当即时取等 【例7】已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 【答案】8 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式可轻松求解. 【详解】 故答案为：8 【跟踪训练】 1.函数的最小值等于__________． 【答案】4 【详解】因为, 当时，取等号， 所以的最小值为4 故答案为：4 2.已知，，，则的最大值是_____________. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可得，再根据，，求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，则， 又因，则， 所以， 所以，当且仅当，时，取等号， 所以的最大值是. 故答案为：. 题型五、三角不等式恒成立问题 【例8】意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪[2，＋∞) B．[－2，－1]∪(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案：C；为|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，所以当且仅当k＜1时，不等式|x＋2|＋|x＋1|＞k恒成立． 【例9】若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 【跟踪训练】 1.等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 【答案】：(－∞，3]；由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．故a的取值范围为(－∞，3]． 2.已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 3.已知函数f(x)＝＋＋a. （1）a＝0时，解不等式f(x)≥6； （2）若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【解析】：(1)当a＝0时，求得f(x)＝由f(x)≥6⇒x≤－1或x≥2. 所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． (2)因为|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以f(x)min＝4＋a，要使f(x)≥3a2对一切实数x恒成立， 只要4＋a≥3a2，解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为； 4.不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】或 【详解】因为，当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以最小值是，要想不等式对一切实数x恒成立，只需，解得或. 5.已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为， 又关于的不等式有解，所以 故答案为 题型六、综合提升 【例10】（1）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围； （2）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为Ø，求实数a的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）a>-1；（3）a≤-1. 【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出最大值，只需a大于的最大值即可求解. （2）去绝对值求出的最小值，只需a大于的最小值即可求解. （3）由（1）只需a小于等于的最小值-1即可， 【详解】（1）， 因为关于x的不等式的解集为R， 所以a大于的最大值1即可，即a>1； （2）设， 当x<1时，f(x)=-x+1+x-2=-1， 当x>2时，f(x)=x-1-x+2=1， 当1≤x≤2时，f(x)=x-1+x-2=2x-3， 故-1≤≤1，的最小值为-1， 因为关于x的不等式有实数解， 所以a大于的最小值-1即可，即a>-1； （3）由（2）得，的最小值为-1， 因为关于x的不等式的解集为空集，所以 a小于等于的最小值-1即可，即a≤-1. 【例11】设函数， （1） 若，解不等式； （2）如果，，求的取值范围 解：（1）当时，，由得：， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为。 （法二）不等式可化为或或， ∴不等式的解集为。 （2）法一：，则 ，，故，得或 故的取值范围 法二：若，，不满足题设条件； 若，，的最小值为； 若，，的最小值为。 所以对于，的充要条件是，得或 第1页 学科网（北京）股份有限公司 【跟踪训练】 1.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. （1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 【答案】(2018·全国卷Ⅱ) 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝ 则f(x)≥0等价于或或 解得－2≤x≤－1或－1<x≤2或2<x≤3. 所以f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4， 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当且仅当x＝2时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 2.（1）解不等式：； （2）设集合P表示不等式对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.与|的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或. 【解析】（1）分，，三种情况求解即可； （2）根据三角不等式得，，由此可得，从而可求出的取值范围； （3）先解不等式.与|，可得，当时，符合题意，当时，构造函数，则有，从而可求出的值 【详解】（1）若时，，符合题意； 若时，，解得，故； 若时，，无解； 综上，的解是； （2）根据三角不等式得，，所以，解得或， ∴集合； （3）由可得，由可得，故， 若，，解得，符合题意； 若，设，由于，所以只要即可 即 因为，可得或； 综上，或或. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是构造函数，可得，从而可求出的值，考查分类思想和计算能力，属于中档题 一、填空题 1．（24-25行知中学高一期中）代数式的最小值是 ． 【答案】60 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求出最小值. 【详解】. 故答案为：60 2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】绝对值的三角不等式应用、绝对值三角不等式 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 3．（24-25延安中学高一期中）函数的最小值为________. 【答案】6 【分析】利用绝对值不等式可求该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故的最小值为6. 故答案为：6 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，注意，当且仅当时等号成立，本题属于基础题. 4．（24-25宝山中学高一期中）函数的最小值是________. 【答案】2 【分析】利用绝对值三角不等式即可求得该函数的最小值. 【详解】因为， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：2. 【点睛】本题考查由绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最小值，注意取等的条件即可. 5．（24-25七宝中学高一期中）假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________. 【答案】（-3，7） 【分析】结合绝对值三角不等式将，进而求解 【详解】，即 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，应该熟记：，属于基础题 6．（24-25上海师大附中高一期中）不等式的解集为,则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】由绝对值不等式性质进行化简,结合不等式解集为R即可求得的取值范围. 【详解】不等式 根据绝对值三角不等式性质可得 即 若不等式的解集为 则 故答案为: 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式的性质及应用,属于基础题. 7．（24-25奉贤中学高一期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求出函数的最大值，可得出关于的不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 即函数的最大值为，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的恒成立问题，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 8．（23-24大同中学高一期中）如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果. 【详解】由绝对值三角不等式得：，即. 原不等式解集不是空集，，即 当时，不等式显然成立； 当时，，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题. 二、选择题 9．（23-24西南模范中学高一期中）函数的最小值及取得最小值时的值分别是 A．1， B．3，0 C．3， D．2， 【答案】C 【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值. 【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题. 10．（24-25位育中学高一期中）若关于的不等式在（﹣∞，1]上恒成立，则实数的取值范围为 A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[3，+∞） D．（﹣∞，3] 【答案】A 【分析】由题意可得m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max，讨论x＜﹣1，﹣1≤x≤1时，求得|x+1|﹣|x﹣2|的最大值，由恒成立思想可得所求m的范围． 【详解】关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|≤m在（﹣∞，1]上恒成立， 即为m≥（|x+1|﹣|x﹣2|）max， 由﹣1≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣2|=x+1+x﹣2=2x﹣1∈[﹣3，1]； x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣2|=﹣x﹣1+（x﹣2）=﹣3． 则|x+1|﹣|x﹣2|的最大值为1， 可得m≥1， 故选A． 【点睛】本题考查含绝对值的不等式恒成立问题解法，转化为不等式在其定义域上的值域问题，也考查运算能力，属于中档题． 11．（2020·上海·华东师范大学第一附属中学高一阶段练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值三角不等式求出代数式的最小值，可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围. 【详解】由于存在实数，使得不等式成立，则， 由绝对值三角不等式可得， 所以，，即，解得. 故选：D. 12．（23-24松江二中高一期中）关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用绝对值三角不等式，简单计算即可. 【详解】由 又不等式的解集不是空集，所以 故选：B 3、 解答题 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【知识点】绝对值三角不等式、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用绝对值不等式证明； 【详解】证明： ， 又因为， 所以，，所以 所以成立． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求绝对值不等式中参数值或范围、绝对值三角不等式 【分析】若对恒成立，分离参数，利用绝对值不等式的性质可得，当且仅当取等号，继而可求得的取值范围． 【详解】解：∵对恒成立， ∴对恒成立． ∵，当且仅当取等号， ∴当时，．又， ∴，即的取值范围为． 15．（2020·上海市进才中学高一期中）（1）已知，，为实数，求证：，并说明等号成立的条件； （2）设，求方程的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）将证明转化为，再用分析法进行证明； （2）利用（1）中等号成立的条件确定方程的解集. 【详解】（1）令，， 则， 要证， 即证 要证成立， 只需证， 即证， 即证， 显然成立， 且当且仅当，即时取等号； 所以成立，当且仅当时取等号； 则成立，当且仅当时取等号. （2）可化为： ， 由（1）得， 且当且仅当取等号， 所以当且仅当时， 成立， 解得：或， 即的解集为：. 16．（23-24复兴高级中学高一期中）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意得，再分类讨论求解即可； （2）由绝对值三角不等式得，进而根据题意得恒成立，故，再解绝对值不等式即可得答案. 【详解】解：（1）当时，若，则， 当时，原不等式等价于，解得； 当时，原不等式等价于恒成立，故； 当时，，原不等式等价于，解得，， 综上，不等式的解集为． （2）由绝对值三角不等式得． 因为恒成立，即恒成立， 所以， 解得或． 故实数的取值范围为． 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 17．（2024·上海市南洋模范中学高三月考）设函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) . 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围． 详解：（1）当时， 可得的解集为． （2）等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$