专题11：平均值不等式及其应用（5大知识点+8大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接数学沪教版

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题11 平均值不等式及应用 知识点 1 均值不等式与重要不等式 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 3、重要不等式对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数； （2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 4、几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．； ②(a、b同号)； ③(a、b∈R)． ④ 知识点 2 均值不等式与最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 知识点一 对均值不等式的理解及简单应用 题型01：对均值不等式的理解 【名师点拨】(1)基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a，b都是非负数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 【例1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【例2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 【例3】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 【跟踪训练】 1．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是 A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 【答案】B 【解析】因为0<a<b，所以由基本不等式得<， 且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故选B. 2.设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2＞2ab D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式的性质即可判断，注意“一正二定三相等”的法则. 【详解】A选项当时不成立； B选项当时不成立； C选项当时不成立； D选项 = +，令， 在区间上单调递增，所以成立，故D正确. 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的性质、“一正二定三相等”的法则，属于基础题. 3．设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 【答案】①② 【解析】由a2＋b2≥2ab可判断①②正确；取特殊值可判断③④错误. 【解析】对于①，由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； 对于②， ，故②正确； 对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为，右边为，可知③不正确； 对于④，令a＝1，b＝－1可知④不正确． 故答案为：①②. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 4.下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 5．（多选）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项. 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 题型02：利用均值不等式比较大小 【名师点拨】在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 【例4】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 【例5】已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ 【解析】法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大的数应为a＋b或a2＋b2； 又因为0<a<1，0<b<1，所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0， 所以a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大； 法二：令a＝b＝，则a＋b＝1，2＝1，a2＋b2＝，2ab＝2××＝， 再令a＝，b＝，a＋b＝＋＝，2＝2 ＝，所以a＋b最大； 【跟踪训练】 1．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 【答案】 【分析】先利用基本不等式判断最大数为或，再做差判断正负可得出最大的数. 【详解】因为，，所以，， 所以四个数中最大的数应为或； 又因为，，所以 所以，所以最大. 2．若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 【解析】因为， 所以，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关不等式的问题，正确解题的关键是能够熟练掌握基本不等式，注意等号成立的条件. 3.（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用基本不等式判断的符号、求的范围，即可得答案. 【详解】对于A，B：由题知，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，则，即，故， A错误， B正确； 对于C，D：因为，所以， 当且仅当即时取等号，所以，C正确，D错误． 故选：BC 题型03：利用平均值不等式证明不等式 【名师点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【例6】已知实数均大于0，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】 ， 当且仅当时取等号，证毕. 【例7】设，，均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，则，根据，，，即可得证； （2）由已知得若证，即证，再根据，，，即可得证. 【详解】（1）由，得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立； （2）因为，，均为正数， 所以若证， 即证， 又，，，当且仅当时，不等式等号均成立， 则， 即，当且仅当时等号成立. 【跟踪训练】 1.（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 2．已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解析】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 知识点二：利用平均值不等式的求最值 题型04：直接法求最值 【例8】1、已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】，则，当且仅当即时取得最小值6．选：． 【例9】已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为.故选：D 【跟踪训练】 1.若x＞0，则x＋(　　) A．有最大值，且最大值为4 B．有最小值，且最小值为4 C．有最大值，且最大值为2 D．有最小值，且最小值为2 答案：B；解析：x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立．故选B； 2.已知，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由，，可得，当且仅当，即时取等号. 故答案为：4 3．已知正实数满足，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值等于.故答案为： 4.已知（），则的最大值是 . 【答案】/1.5 【分析】凑配基本不等式即可解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值是. 故答案为： 5.正实数a，b满足，当（       ）时，取得最大值. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由a，b为正实数，所以，，当且仅当时取等，结合即可得解. 【详解】由a，b为正实数，所以，， 当且仅当时取等，又，此时.故选：D. 题型05：配凑法求最值 【例10】（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【解析】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 【例11】已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可 【解析】因为， 所以可得， 则， 当且仅当，即时，上式取得等号， 的最大值为2． 故选：A． 【跟踪训练】 1.若函数在处取最小值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】 等号当且仅当时，即时取到等号. 2.已知实数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值是.故选：A. 3.，则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 4.函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 5.设，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】, 当且仅当和，即时取等号，故选：D. 题型06：常数代换法 【例12】已知，，，则的最小值是（       ） A．2 B．8 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【详解】解析：由得， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4． 故选：C． 【例13】已知正数x，y满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据乘“1”法，即可利用基本不等式求解. 【详解】∵正数x，y满足，∴.当且仅当，即时取等号，则，其最大值为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A 2.若正数，满足，则的最小值为 A． B． C．5 D．6 【答案】 【解析】由得， ， 当且仅当时取等号． 故的最小值是 3.已知x＞0，y＞0且，则x+y的最小值为　　． 【解题思路】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，1， 则x+y[（2x+1）+（y+1）]（）， 当且仅当且1时取等号，此时取得最小值． 故x+y的最小值为． 故答案为：． 4.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故选：C 题型07：消元法 【例14】已知正实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】依题意正实数，满足，， ， 当且仅当，时等号成立. 【例15】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【解析】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号，故选：B. 【跟踪训练】 1.已知正实数、满足，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为正实数、满足，则，由可得， 所以， . 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值是. 故答案为：. 2.已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由已知可得代入中化简配方可求得其最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：. 3.若正数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用消元法，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，得， 则，解得， 则， 所以当，即时，取得最大值. 故答案为：. 4.已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先对已知式子变形得，然后代入中，整理后利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以           ， （当且仅当时取等号）， 所以的最小值为， 故答案为：. 5.已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得. 【详解】∵， ∴且， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴的最小值为. 故答案为：. 6.设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为 　　． 【解题思路】由基本不等式得x+4y≥2，42，注意等号要同时取得即可． 【解答过程】解：x+4y≥24（当且仅当x＝4y时，等号成立）， 424（当且仅当4时，等号成立）， 故x+4y4（当且仅当4且x＝4y，即x＝1，y时，等号成立）， 故x+4y的最小值为4， 故答案为：4． 知识点三：综合提升 题型08：平均值不等式有关的恒成立问题 【例16】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【答案】D 【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围. 【详解】∵x>0，y>0且， 当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立， 只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得. 故选：D 【例17】若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为不等式恒成立，结合基本不等式求得，即可求解. 【解析】因为对任意，不等式， 即不等式恒成立， 因为，可得，当且仅当时，即等号成立， 所以，所以. 故选：D. 【例18】已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式整理得，根据恒成立问题可得，运算求解即可得答案. 【详解】∵，所以， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 即， 由题意可得：，又，解得， 故的最大值为24. 故选：C. 【跟踪训练】 1.若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由基本不等式求出的最小值，由恒成立即可求出的范围． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以， 故选：D． 2.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，利用基本不等式可得，再利用一元二次不等式的解法即得． 【详解】解：∵不等式有解， ∴， ∵，，且， ∴， 当且仅当，即，时取“＝”， ∴，故，即， 解得或， ∴实数 m 的取值范围是． 故选：B． 3.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式即可求解最值，进而由即可求解. 【详解】因为，当且仅当且时取等号， 所以，整理得，解得，故正实数的最小值为9. 故选:D. 4.已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【详解】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 5.已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7.5 【答案】BC 【分析】根据基本不等式求出的最小值，得的取值范围，根据范围可得答案. 【详解】由，且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又因为不等式恒成立，所以，又，结合选项，可得BC符合题意. 故选：. 题型10：利用均值不等式解决实际问题 【名师点拨】(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【例19】周长为6的所有矩形中，面积最大为 ． 【答案】 【分析】先设矩形边长，再根据周长得等式，再应用基本不等式求最值. 【详解】设矩形长宽为a，b，，则, 所以. 故答案为：. 【例20】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解答：　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ⇔a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． 【跟踪训练】 1.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解：(1)设每件定价为t元， 依题意，有t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x＞25时， 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解， 等价于x＞25时，a≥＋x＋有解． ∵＋x≥2 ＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元. (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由. 【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为y1，则 y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989， 当且仅当9x＝，即x＝10时，取等号. 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则 y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝＋9x＋9 729(x≥35). 因为y2′＝9－，当x≥35时，y2′＞0. 所以y2＝＋9x＋9 729在[35，＋∞)上是增函数. 所以x＝35时，y2取最小值. 由＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理. 3．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【解析】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 一、填空题 1．（2024闵行区高一月考）已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【解析】因为，，由基本不等式可得，， 上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确. 故选：C. 2．（2024徐汇区高一月考）设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 【答案】D， A,B显然满足，而C中， 3．（2024-25黄浦区高一月考）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 又因为，，所以， 当且仅当时取等号， 故选：A. 4．（2024-25普陀区高一月考）已知实数，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据基本不等式利用“1”的代换法求解． 【详解】∵，，且， ∴，当且仅当，即时等号成立， 故选：A． 5.（2024-25嘉定第一高级中学高一月考）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，利用基本不等式中“1”的用法求出即可. 【详解】由不等式恒成立可知，只需小于等于的最小值． 由， 可得， 当且仅当，即时取等号， 的最大值为. 故选：C． 6.（2024-25上海高一月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 【答案】D 【详解】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则（小时），当且仅当，即时取等号． 二、选择题 7.（24-25高一上·上海阶段练习 ）不等式中等号成立的条件是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故答案为： 8．（24-25高一上·上海阶段练习 ）定理：对任意的实数和，总有，且等号当且仅当 时成立． 【答案】 9．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 【答案】④ 【分析】由重要不等式可得，当时，等号成立，所以①错误；显然若时，②和③均错误；利用基本不等式可知④正确. 【详解】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误； 对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误； 对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确； 故答案为：④ 10. （2023学年控江中学高一上期中）已知正实数、满足，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 11.（2022-23控江中学度高一上期中）已知，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接展开得，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】，，时取等号， 故答案为：4. 12．（2024上海市控江中学高一期末）设，则的值域为_________ 【答案】 【分析】先将原式化为，再由基本不等式，即可求出其最值，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的值域为：； 故答案为 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 13.·（2024建平中学高一上期中）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 14.·（2024-25大同中学高一上期中）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到，求出答案. 【详解】正数，满足， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 则只需，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 15. （2024金山区世外学校高一上期中）已知a为正数，比较大小：______4. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 16. （2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）已知正实数、满足，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】采用拼凑法可得，再结合“1”的妙用即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，时取到等号. 故答案为： 17. （2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简所求表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值. 【详解】由于，所以， 所以， 所以当即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 18. （2024上海中学高一上期中）已知，且满足，，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，然后可得，然后求出的最小值即可. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，所以可得， 所以， 因为， 当且仅当即时等号成立， 所以， 故答案： 3、 解答题 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】利用公式（当且仅当时，取等号），（当且仅当时，取等号）证明，即可得出答案． 【详解】 ， 当且仅当，且， 即时等号成立． 20.（控江中学高一上期中）已知，． （1）比较与的大小； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法可得出与的大小关系； （2）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 解： . 因为，，则. 当时，，此时，； 当时，，此时，. 综上所述，当时，；当时，. 【小问2详解】 解：因为，，且， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 21. （2024金山区世外学校高一上期中）比较下列各组中与大小，并给出证明. （1）与； （2）与，（其中. 【答案】（1），证明见详解； （2），证明见详解. 【解析】 【分析】（1）（2）应用作差法比较大小即可. 【小问1详解】 ，证明如下： ， 故. 【小问2详解】 ，证明如下： ， 故. 22．已知，求函数的最小值. 【答案】2 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】已知， ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，有最小值2. 23．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）10. 【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. （2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取等号） 的最小值为3； （2）令，则， 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 24．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求解， （2）利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是 25．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 【答案】(1)100吨， 60万元 (2)100吨 【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元， 所以，解得， 所以， 所以生产每吨产品的平均成本为， 当且仅当，即x=100， 所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元； （2）由题意可知，年利润， 令，得， 解得：， 所以该生产线年产量的最小值应为100吨． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题11 平均值不等式及应用 知识点 1 平均值不等式与重要不等式 1、算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 2、平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 3、重要不等式对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【说明】（1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数； （2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 4、几个重要的不等式的变形 ①(a、b∈R)．； ②(a、b同号)； ③(a、b∈R)． ④ 知识点 2 平均值不等式与最值 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 知识点一 对平均值不等式的理解及简单应用 题型01：对平均值不等式的理解 【名师点拨】(1)基本不等式≤ (a≥0，b≥0)反映了两个非负数的和与积之间的关系． (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a，b都是非负数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b． 【例1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是 A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 2.设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2＞2ab D． 3．设a，b为非零实数，给出不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的不等式是 ． 4.下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 5．（多选）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型02：利用平均值不等式比较大小 【名师点拨】在利用基本不等式比较大小时，应先通过合理拆项或配凑因式构造出应用基本不等式的使用条件，然后利用基本不等式及其变形形式进行求解.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”，将“积式”转化为“和式”的放缩功能，解题过程中要注意放缩的方向. 【例4】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【例5】已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ 【跟踪训练】 1．（2023高一·上海·专题练习）已知，，则，，，中哪一个最大？ 2．若a>0，b>0，则 与 的大小关系是 . 3.（多选）已知a，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03：利用平均值不等式证明不等式 【名师点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式． 【例6】已知实数均大于0，证明：. 【例7】设，，均为正数，且，证明： (1)； (2)． 【跟踪训练】 1.（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 2．已知，，，且．求证：． 知识点二：利用平均值不等式的求最值 题型04：直接法求最值 【例8】1、已知．则的最小值为 A．6 B．5 C．4 D．3 【例9】已知，且，则的最大值为（       ） A．2 B．5 C． D． 【跟踪训练】 1.若x＞0，则x＋(　　) A．有最大值，且最大值为4 B．有最小值，且最小值为4 C．有最大值，且最大值为2 D．有最小值，且最小值为2 2.已知，，且，则的最小值为 . 3．已知正实数满足，则的最小值等于 ． 4.已知（），则的最大值是 . 5.正实数a，b满足，当（       ）时，取得最大值. A． B． C． D． 题型05：配凑法求最值 【例10】（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【例11】已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练】 1.若函数在处取最小值，则（ ） A． B． C． D． 2.已知实数，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3.，则的最小值是 ，此时a＝ ． 4.函数的最小值为 ． 5.设，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型06：常数代换法 【例12】已知，，，则的最小值是（       ） A．2 B．8 C．4 D．6 【例13】已知正数x，y满足，则的最大值为 . 【跟踪训练】 1.已知，，且，则的最小值是（       ） A． B．2 C．9 D．4 2.若正数，满足，则的最小值为 A． B． C．5 D．6 3.已知x＞0，y＞0且，则x+y的最小值为　　． 4.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型07：消元法 【例14】已知正实数，满足，则的最大值为______. 【例15】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【跟踪训练】 1.已知正实数、满足，则的最小值是 . 2.已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 3.若正数，满足，则的最大值为 ． 4.已知，且，则的最小值为 . 5.已知，则的最小值是 ． 6.设x＞0，y＞0，则x+4y的最小值为 　　． 知识点三：综合提升 题型08：平均值不等式有关的恒成立问题 【例16】已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【例17】若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例18】已知，若恒成立，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．24 D．25 【跟踪训练】 1.若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2.若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 4.已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 5.已知，且，若不等式恒成立，则的值为_______ 题型10：利用均值不等式解决实际问题 【名师点拨】(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 (1)先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为y. (2)建立相应的关系式，把实际问题抽象为y的最大值或最小值问题. (3)利用基本不等式求出y的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【例19】周长为6的所有矩形中，面积最大为 ． 【例20】如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 【跟踪训练】 1.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元. (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由. 3．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 一、填空题 1．（2024闵行区高一月考）已知，，且，那么（    ） A． B． C． D． 2．（2024徐汇区高一月考）设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ） A．a+b+≥2 B (a+b)( +)≥4 C ≥a+b D ≥ 3．（2024-25黄浦区高一月考）已知，且，，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2024-25普陀区高一月考）已知实数，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．16 C．5 D．10 5.（2024-25嘉定第一高级中学高一月考）已知，若不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D．5 6.（2024-25上海高一月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市．已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要（   ） A．2小时 B．4小时 C．6小时 D．8小时 二、选择题 7.（24-25高一上·上海阶段练习 ）不等式中等号成立的条件是 ． 8．（24-25高一上·上海阶段练习 ）定理：对任意的实数和，总有，且等号当且仅当 时成立． 9．（2023高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是 . ①；②；③；④. 10. （2023学年控江中学高一上期中）已知正实数、满足，则的最大值为______． 11.（2022-23控江中学度高一上期中）已知，则的最小值为__________． 12．（2024上海市控江中学高一期末）设，则的值域为_________ 13.·（2024建平中学高一上期中）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 14.·（2024-25大同中学高一上期中）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 15. （2024金山区世外学校高一上期中）已知a为正数，比较大小：______4. 16. （2022-2023学年曹杨第二中学高一上期中）已知正实数、满足，则的最小值为__________. 17. （2024-2025学年普陀区长征中学高一上期中）已知正实数满足，则的最大值为__________． 18. （2024上海中学高一上期中）已知，且满足，，则的最小值是______. 3、 解答题 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）若x，y为正实数，求证：． 20.（控江中学高一上期中）已知，． （1）比较与的大小； （2）若，求的最小值． 21. （2024金山区世外学校高一上期中）比较下列各组中与大小，并给出证明. （1）与； （2）与，（其中. 22．已知，求函数的最小值. 23．求下列函数的最小值 （1）； （2）. 24．已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 25．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$