《4.3探索三角形全等的条件》假期自主提升综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定，以“判定公理应用—辅助线构造—实际问题解决”为主线，融合推理意识与几何直观，系统覆盖基础到综合的解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-5、填空9-10|SSS/SAS/ASA/AAS直接应用|从判定公理到图形全等的直接推理| |实际应用|单选3、6、填空12、解答17-18|全等性质解决测量/动态问题|实际情境抽象为全等模型的转化| |辅助线构造|填空10-11、解答23|补短法/截长法构造全等|通过线段转化突破非直接全等条件| |综合探究|单选7-8、解答22-23|多结论推理与动态分类讨论|全等与等腰/直角三角形性质的综合应用|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《4.3探索三角形全等的条件》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.下列实际情景运用了三角形稳定性的是() A.圆形桥梁的拱形结构 B.校门口的自动伸缩栅栏门 C.古建筑中的三角形屋架 D.活动挂架 2.已知，下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图痕迹，该尺规作图的依据是() A D D B C B' A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA 3.如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C, 测得∠ABC=70°，∠ACB=40°，然后在M处立了标杆，使∠CBM=70°， ∠MCB=40°，测得MB的长是15m,则B点到河对岸的目标A的距离为() A.10m B.15m c.20m D.30m 4.如图，在△ABC中，AB=AC,BE=CE,可直接利用“SSS”判定() A.△ABD≌△ACE B.△ABE≌△DCE C.△ABE≌△ACE D.△BED≌△CED 5.如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形 是() 0 50 甲 丙 ,58°722 50 50° b 0 A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙 6.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨AB=AC,支撑杆 OE=OF,AE=号AB,AF=号AC,当O沿AD滑动时，油纸伞开闭，若∠BAC=130, 3 则∠BAD的大小为() A.50° B.55° C.65° D.无法确定 7.已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB,垂足为点H,AD平分∠BAC,与 CH相交于点D,过点D作DE‖BC,与边AB相交于点E,那么下列结论中一定正确的是 () E B A.AD=DE B.AC=EC C.AD=CD D.CD=DE 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD,满足AD=AC,点 E为BC上一点，连接AE,∠BAE= ∠CAD,连接DE.下列结论：①AC⊥DE,② 1 ∠ADE=∠ACB:③若CD‖AB,则AE⊥AD;④DE=CE+2BE.其中正确的个数 是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（满分24分) 9.如图，∠1=∠2，AC=AD,则△ABC≌△ABD,理由是 D 10.如图，△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，AB=5,AC=3,那么CD=_ 2 B D C 11.如图，CA平分∠BCD,CD=CB,AB⊥AD,延长DA交BC于点E,则∠CAE= 度 0 B E 12.如图，已知ABCF,点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF=∠BAE,若 AB=5,CF=2.则线段DF的长为 13.如图，在△ABC,∠ACB=90°，AC=BC,D为AC上一点，CE⊥BD于点E, 连接AE,若CE=4,则△ACE的面积为 E B 14.如图所示的网格为正方形网格，则∠2-∠1=°. 2 15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点F,在AB边上有一点E,连接DE, CE,△BCE是以CE为底的等腰三角形，且∠BED=∠AFB=∠CBE,若BC=2, DE=5,则AE= 16.如图，在△ABC中，已知AB=AC,∠BAC=90°，AH是△ABC的高， AH=4cm,BC=8cm,直线CM⊥BC,动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘 米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的 方向运动，连接AD、AE,经过秒时，△ABD≌△ACE 三、解答题（满分72分） 17.(9分)如图，点E、F在BD上，且AB=CD,BF=DE,AE=CF,AC与BD相交 于点O,求证：OA=OC. 18.(9分)如图，点D在△ABC中BC边的延长线上，过点D作DE‖AC,且DE=BC, 连接AE、BE.BE与AC相交于点F,且∠AFE=∠ABC 求证：AB=BE」 E 19.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,分别以AB,BC为边作 △ABD,△BCE,其中BD=CE,BD⊥CE,垂足为F.求证：∠D=∠E. D 20.(10分)如图，在△ABC和△就中，点B,E,C,F在同一条直线上， AB=DE,BE=CF,AC=DF. E D (1)求证：∠A=∠D: (2)若BF=5,CE=2,求BC的长. 21.(10分)如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，AB=DE.E是 BC中点，DE⊥AB,垂足为点F. D A E B (1)求证：△BCA≌△DBE: (2)若AC=3cm,求BD的长. 22.(10分)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，E为边BA上一点，且AE=CD, 连接AD,F为AD的中点.连接EF并延长，交AC于点G,在FG上截取点H,使 FH=FE,连接GD,若HG=CG. B 】 (1)求证：△AEF≌△DHF: (2)求证：∠B=2∠GDC. 23.（14分)综合与实践 问题提出 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠ACB=2∠B,则AB,CD, AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由. 方法运用 图1 图2 图3 图4 (1)我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E,使得 AE=AB,连接DE,…,请判断AB,CD,AC之间的数量关系并补充完整解题过程. (2)以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构 造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取线段AF,使得AF=①，连接 ②. 请补全空格，并在图3中画出辅助线， 延伸探究 (3)小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图 4,在五边形ABCDE中，EA=ED,AB+DC=BC,∠A+∠D=180°，若 ∠BCD=120°，求∠BCE的度数. 参考答案 1.解：A、拱形，不是三角形，不符合题意： B、利用了四边形的不稳定性，不符合题意： C、利用了三角形的稳定性，符合题意： D、活动挂架，跟三角形的稳定性无关，不符合题意： 故选C. 2.解：由作图得DO=DO=CO=CO,CD=CD, 在△DOC和△DOC中， DO=DO C0=C'0 CD=C D ·ADOC≌△D0 cIsssl' .∠O=∠O. 故选：B. 3.解：.∠ACB=40°，∠ABC=70°，∠CBM=70°，∠MCB=40°， ∴.∠CBM=∠ABC=70°，∠MCB=∠ACB=40°， 在△ABC和△MBC中， ∠ABC=∠MBC BC=BC ∠ACB=∠MCB ∴.△ABC≌△MBC ASA, ∴.AB=MB=15米， ∴A,B两点间的距离为15米， 故选：B 4.解：根据AB=AC,BE=EC,AE=AE可以推出△ABE≌△ACE,理由是SSS, 其余△ABD≌△ACE是错误的，△BED≌△CED不能直接用SSS定理推出，△ABE 和△EDC不全等， 故选：C 5.解：由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，利用SAS能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，利用AAS能判断两三角形全等， .综上所述，和△ABC全等的图形是乙丙. 故选：C. 6.解：∠BAD=∠CAD 理由：：AB=AC,AE=号AB,AF=号AC, 3 .AE=AF, 在△AOE和△AOF中， AE-AF AO=AO EO=FO ∴.△AOE≌△AOF SSS, ∴.∠BAD=∠CAD ,∠BAC=130, ∴.∠BAD=∠CAD=65° 故选C。 7.解：DE‖BC, .∠AED=∠ABC, ,CH⊥AB, ∴.∠ABC+∠BCH=90° ,∠ACB=90° ∴.∠ACD+∠BCH=90, ∴.∠ABC=∠ACD=∠AED, ,AD平分∠BAC, ∴.∠CAD=∠EAD 在△ACD和△AED中， ∠CAD=∠EAD ∠ACD=∠AED AD-AD ∴，△ACD≌△AED AAS, ∴，CD=ED,故D结论正确，符合题意： 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论， 故选：D 8.解：如图，延长EB至G,使BE=BG,设AC与DE交于点M, D :∠ABC=90° G B E .AB⊥≥U, ∴.AB垂直平分GE, ∴.AG=AE,∠GAB=∠BAE, .∠BAE=1 ∠GAE, :∠BAE= ∠CAD, .∴.∠GAE=∠CAD, ∴.∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, ∴.∠GAC=∠EAD, 在△GAC和△EAD中， AG=AE ∠GAC=∠DAE AC=AD .∴.△GAC≌△EAD|SAS, ∴.∠G=∠AED,∠ACB=∠ADE, ②是正确： .AG=AE, .∴.∠G=∠AEG=∠AED, .AE平分∠BED, 当∠BAE=∠EAC时，∠AME=∠ABE=90°，则AC⊥DE: 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE,则无法说明AC⊥DE: ①是错误的： 设∠BAE=X,则∠CAD=2X, ∠ACD=∠ADC=2X1B0-2X=90-X, AB‖CD .∠BAC=∠ACD=90°-X, ∴.∠CAE=∠BAC-∠EAB=90°-X-X=90°-2X, .∴.∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°-2x+2X=90°， ∴.AE⊥AD, ..③是正确的： ,'△GAC≌△EAD, ∴.CG=DE, .'CG=CE+≥=CE+2BE, .'DE=CE+2BE, .④是正确的： 故选C. 9.解：在△ACB和△ADB中， b, ∴.△ABC≌△ABD(SAS). 故答案为：SAS, 10.解：在AB上取AE=AC,连接DE, y E B D C .AE=AC,∠1=∠2，且AD=AD, .△ACD≌△AED|SAS, ∴.ED=CD,∠AED=∠C=2∠B, 又'.∠AED=∠B+∠BDE ∠B=∠BDE ∴.EB=ED,即△BED为等腰三角形， ∴.BE=ED=CD, .CD=AB-AE=AB-AC=5-3=2, 故答案为：2， 11.解：延长BA交CD于F, D B E .CA平分∠BCD, .∠DCA=∠BCA, 又CD=CB,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC|SAS, .∠DAC=∠BAC, 又∠DAF=∠BAE, .∠DAC-∠DAF=∠BAC-∠BAE,即∠CAF=∠CAE, .AB⊥AD, .∠EAF=90°， ·∠CAF=∠CAE=} ∠EAF=45°， 故答案为：45. 12.解：如图，延长AE、CF相交于G点， .AB‖CF B G ∴.∠A=∠G, :点E是BC的中点， ..BE=CE 又.·∠AEB=∠GEC, ∴.△AEB≌△GEC(AAS), .∴.CG=AB=5, 又CF=2, ∴.GF=CG-CF=3, .:∠EDF=∠BAE,∠BAE=∠G, ∴.∠EDF=∠G, .'DF=GF=3. 故答案为：3. 13.解：如图，过点A作AF⊥CE,交CE的延长线于点F B .CE⊥BD,AF⊥CE, .∠BEC=∠CFA=90°， ∴.∠EBC+∠BCE=90 .∠ACB=90°， .∠FCA+∠BCE=90° .∠FCA=∠EBC. 又，AC=BC, ∴.△CAF≌△BCE AAS, ∴.AF=CE=4, S6e=CE.AF-4×4=8, 故答案为：8. 14.解：，△ABC和△CDE中， AC=CE=2 ∠ACB=∠CED=90° BC=DE=1 ∴.△ABC≌△CDE SAS, ∴.∠1=∠3， ,∠2是△CDE的一个外角， ∴.∠2=∠3+∠CED, 即∠2=∠3+90， ∴.∠2=∠1+90°， .∴∠2-∠1=90. 故答案为：90 D 15.解：，△BCE是以CE为底的等腰三角形， ∴BE=BC=2. ,∠AFB=∠BCD+∠CBD,∠CBE=∠DBE+∠CBD,∠AFB=∠CBE .∠BCD=∠DBE 又，∠BED=∠CBE, ∴.△BED≌△CBA ASA, ∴.AB=DE=5, ∴.AE=AB-BE=5-2=3, 故答案为：3 16.解：动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长 线方向运动4秒时，△ABD≌△ACE. 理由如下： ①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE.如图所示， M B D .CE=t,BD=8-3t, .t=8-3t, t=2, ·在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠B=∠ACE=45° ∠BD=CE .△ABD≌△ACESAS: ②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE.如图， M D B CE=t,BD=3t-8, .t=3t-8, .t=4, ,在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠ABD=∠ACE=135° ∠BD=CE ∴.△ABD≌△ACE SAS. 综上可知，当t=2或t=4时△ABD≌△ACE. 故答案为：2或4. 17.证明：BF=DE, BF-EF=DE-EF,即BE=DF, 又，AB=CD,AE=CF, .△ABE≌△CDF SSS, ∠B=∠D, 又：AB=CD,∠AOB=∠COD .△ABO≌△CDO AAS, ∴.OA=OC 18.证明：：DE‖AC, ∴.∠AFE=∠BED,∠ACB=∠D :∠AFE=∠ABC, ∴.∠ABC=∠BED, 在△ABC,△BED中， ∠ABC=∠BED BC=DE ∠ACB=∠D ∴.△ABC≌△BED ASA, ∴.AB=BE 19.证明：，∠ABC=90, .∠ABD+∠DBC=90°， ,BD⊥CE, .∠BFC=90°， .∠DBC+∠BCF=90°， .∠ABD=∠BCF .AB=BC,BD=CE. :.△ABD≌△BCE(SAS), ∠D=∠E 20.（1)证明：.BE=CF ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF 又，AB=DE,AC=DF ∴.△ABC≌△SSS .∠A=∠D: (2)解：，BC=EF .EC=BC+EF-BF=2BC-BF ∴BC=1EC+BF=1×2+5=3.5 21.解：(1)，DE⊥AB, .∠BFE=90° .∠ABC+∠DEB=90, ,∠ACB=90, .∠ABC+∠A=90°， .∠A=∠DEB, 在△ABC和△EDB中， ∠ACB=∠DBC ∠A=∠DEB AB=DE ∴.△BCA≌△DBE AAS: (2),△ABC≌△EDB,AC=3cm, ∴.BC=BD,AC=BE=3cm E是BC中点， ∴.BD=BC=2BE=6cm 22.(1)证明：.点F是AD的中点， .AF=DF, 在△AEF和△DHF中， AF=DF ∠AFE=∠DFH FE=FH .∴.△AEF≌△DHF(SAS): (2)证明：.'△AEF≌△DHF, ∴.AE=DH,∠EAF=∠HDF, ∴.AB‖DH ∴.∠B=∠HDC, AE=CD, ∴.DH=CD, 在△HGD和△CGD中， DH=CD HG=CG DG=DG .∴.△HGD≌△CGD(SSS), ∴.∠HDG=∠CDG, ∴.∠HDC=2∠GDC, ∴.∠B=2∠GDC 23.解：(1)AB=CD+AC」 理由：，AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD 又，AB=AE,AD=AD .△BAD≌△EAD, ∠B=∠E :∠ACB=2∠B, .∠ACB=2∠E. 又，∠ACB=∠E+∠CDE, ∠E=∠CDE, ..CD=CE. .AE=AC+CE, ∴.AB=CD+AC. (2)①AC②DF. 辅助线如图1所示. B D 图1 (3)如图2，延长BA至点G,使AG=DC,连接BE,GE. B 图2 :∠BAE+∠D=180°，∠BAE+∠GAE=180°， .∠D=∠GAE .AE=DE,∠D=∠GAE,AG=DC, ∴.△AGE≌△DCE, ∴.∠G=∠ECD,EG=EC, .AB+CD=BC, ∴.BG=AB+AG=BC 又，BE=BE,EG=EC, △GEB≌△CEB, .∠G=∠ECB 又，∠G=∠ECD, ÷∠BCE=3<BCD=3×120=60,