暑假作业07 全等三角形性质与判定常考类型题（巩固培优，10大题型巩固+能力培优+创新拓展）七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“概念-判定-模型-应用”为主线，系统整合全等三角形性质判定、图形类型及三大模型（手拉手、一线三等角、倍长中线），提炼解题通法，适配中考高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|6个核心知识点|平移型加共线边、轴对称型找公共元素、旋转型用角的和差；模型结论（如手拉手线等、一线三垂直全等条件）|从概念性质到判定方法，再到图形类型与模型应用，形成“基础-技巧-综合”递进链| |题型|10类题型50+典例|动态问题分类讨论、尺规作图依据SSS、实际测距构造全等|题型覆盖性质应用、判定推理、模型综合，对应知识点精准，典例含模拟题与期末题|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 全等三角形性质与判定常考类型题 【知识点1 全等三角形的概念及性质】 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 2. 两个全等三角形的周长相等，面积相等； 3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等 【知识点2 全等三角形的判定】 判定方法 文字叙述 图形 SSS(边边边) 有三边对应相等的两个三角形全等(基本事实) SAS(边角边) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(基本事实) ASA(角边角) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(基本事实) AAS(角角边) 有两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等 【知识点3 常见全等图形】 一、平移型 解题思路： (1)加(减)共线部分，得对应边相等； (2)利用平行线性质找对应角相等． 二、轴对称型 1. 有公共边 2. 有公共顶点 解题思路：(1)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等；(2)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等． 三、自旋转型 1. 共顶点 2. 不共顶点 解题思路：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角得一组对应角相等； (2)不共顶点：①由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF； ②利用平行线性质找对应角相等 【知识点4 手拉手模型】 “手拉手模型”是指由两个共顶点且顶角相等的相似三角形构成的图形．如果把小三角形的边长看作小手，大三角形的边长看作大手，两个三角形有公共顶点，类似于大手拉着小手，所以把这个模型称为“手拉手模型”．通过连接对应点构造另一组相似或全等三角形解决问题．通常应用于两个等腰直角三角形，等边三角形，矩形，正方形等． 模型展示 DE∥BC，∠BAC＝∠DAE，将△DAE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE， 延长BD，与CE交于点F.  模型特点 有共顶点，顶角相等，对应边相等或成比例  结论 (1)△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC，∠BFC＝∠BAC； (2)当AD＝AE(或AB＝AC)时，△ABD≌△ACE，BD＝CE(拉手线相等) 【知识点5 一线三等角模型】 “一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，形成一组全等或相似三角形．图形中在同一直线上，出现两个或三个相等的角，考虑构造全等或相似三角形解决问题．一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合． 1. 模型的特点有： (1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上； (2)∠1，∠2，∠3之间的关系是∠1＝∠2＝∠3. 2. 模型的结论有： (1)△AEC∽△BDE； (2)若在(1)中的条件下，增加条件AE＝BD或AC＝BE 或EC＝DE，可以得到△AEC≌△BDE. 方法一：若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角； 方法二：若图中存在一条直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，作一个与前面角相等的角． 【知识点6 倍长中线模型】 1. 倍长中线：如图①，AD是BC边的中线，若延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ACD≌△EBD. 2. 倍长类中线：如图②，D是BC边的中点，E是AB上一点，连接ED，延长ED至点F，使得DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF. 注：连接EC，ED实质为△BEC的中线．倍长(类)中线的本质可以理解为平移变换或中心对称． 【题型1 全等三角形的性质】 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 【题型2 SAS的应用】 5．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 【答案】或 【分析】设运动时间为，点Q的速度为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为，点Q的速度为， ∵E是中点， ∴， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 6．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 7．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； （2）解： 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 【题型3 ASA（AAS）的应用】 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 11．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 12．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】略 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】(1)全等，理由： 据题意可知，， ， ，， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】（1）先由，推出，再根据证明两个三角形全等； （2）根据全等三角形的性质求出，再结合求出，即为小丽距离地面的高度． 【详解】（1）略 （2）解：据（1）可知，， 则，， ，， ，， ， ， ， 故在处接住小丽时，小丽距离地面． 14．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 【题型4 SSS的应用】 15．（26-27八年级·上海·暑假作业）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 16．（2026·湖北孝感·二模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】选择① 理由：， ， ． 在与中，   ． 或选择② 理由：， ． 在与中， ． 若选择③，此时已知两边及其中一边的对角，不能判定全等， 不能选择③． 【分析】根据全等三角形的判定定理，若添加条件① ，可用 判定全等，若添加条件② ，可用 SAS 判定全等，若添加条件③ ，不能判定全等，故③不能作为条件。 【详解】略． 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 【答案】 【分析】先由等腰三角形性质，得，，再结合，证，接着由全等得，同减，推出，最后代入，得． 【详解】解：∵和都为等腰三角形，为顶角的顶点， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题利用共顶点等腰三角形的边相等，通过全等实现角的全等转化，关键是证，得到． 18．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 【题型5 灵活的选用方法证明全等】 20．（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 21．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 22．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】添加②；理由如下：在和中，， ， ，即， ； 若选③： ，， ， 后续同上可证； ： ， 不行，不能证全等，①不可选． 【分析】要证，可先证，即证明，已知，搭配所选条件用全等判定证明三角形全等，得到，等式同减即可得． 【详解】略 23．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【分析】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【详解】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 【答案】B 【分析】本题考查确定唯一三角形的条件，需结合三角形全等判定定理分析两位同学的说法． 【详解】解：三边分别相等的两个三角形全等（）， 当，，时，三边长度确定， 能画出唯一的， 故小杭的说法正确； 三个角分别相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同， 即存在多个大小不同的三角形满足，，， 不能画出唯一的， 故小州的说法错误； 综上，小杭对，小州错． 故选：B． 25．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 【详解】（1）略 （2）略 26．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【题型6 尺规作图与三角形全等的综合】 27．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作如下标识， 根据作法可知，，， ∴， ∴， 则画出的依据是， 28．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 29．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项B、D，结合全等三角形的判定方法可判定选项A、D． 【详解】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 30．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）．据此判断即可． 【详解】解：由作图知：，， 在和中， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 31．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【题型7 利用全等三角形测距】 32．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 33．（25-26八年级上·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲：可行；乙：可行 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行； （2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】（1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 34．（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)我会选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）方案一：通过构造两边及其夹角对应相等的两个三角形证明，从而得到；方案二：通过构造两角及其夹边对应相等的两个三角形证明，从而得到； （2）对比两种方案的工具与操作难度，选择工具更简单、操作更方便的方案一即可． 【详解】（1）证明：方案一： 在与中， ， ∴， ∴； 方案二： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 35．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 【题型8 一线三垂直模型的应用】 36．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 37．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    【答案】 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 38．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 39．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【题型9 倍长中线模型的应用】 40．（25-26七年级下·上海·期末）已知中，，，则边上的中线的取值范围是______．（用不等式表示） 【答案】 【分析】延长，使得，连接，由题意易证，则有，然后根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：如图，延长，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴根据三角形三边关系可得，即， ∴． 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 42．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1)图形见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形中线的性质、全等三角形的判定（）及三角形三边关系．解题关键是用“中线倍长法”构造全等三角形，将分散的边（）转化为的边（），再利用三边关系求范围；易错点是辅助线作法不规范，或全等三角形对应边/角匹配错误，以及三边关系的不等式方向混淆． （1）按要求作辅助线：延长到E使，连接． （2）证全等：由是中线得，结合对顶角、，用证． （3）求范围：由全等得、，在中用三边关系，代入得，化简得． 【详解】（1）如图所示： （2） 是边上中线， ， 在和中， ， ． （3）由全等得，； 在中，用三边关系， 代入得，化简得． 43．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 44．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）B（2）C（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到点，连接，证明得，，再证明，，从而可证明，得，进一步可得结论． 【详解】（1）解：延长到，使，连接，如图1， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：由（1）知， ∴， ∵，, 即， ∴， ∵， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到点，连接，如图， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型10 手拉手模型的应用】 45．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 46．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 47．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 48．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2 【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案； （2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论； （3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，    ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠CBA＝45°， ∴∠CBE＝∠A＝45°， ∴ABE＝90°， ∴AB⊥BE， ∵AB＝AD+BD，AD＝BE， ∴AB＝BD+BE， 故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE． （2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵AD＝AB+BD，AD＝BE， ∴BE＝AB+BD． ②如图3中，结论：BD＝AB+BE．    理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵CA＝CB，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE， ∵BD＝AB+AD，AD＝BE， ∴BD＝AB+BE． （3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝5+7＝12， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB12×12＝72． 如图3中，∵AB＝5，BD＝7， ∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2， ∵BE⊥AD， ∴S△AED•AD•EB2×2＝2． 【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键． 49．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．(写出一个条件即可) 【答案】 (或或) 【分析】根据作图可知：，利用全等三角形的判定方法添加条件即可. 【详解】解：由作图，可知：， 又∵， ∴当时，得到； 当时，得到； 当时，得到. 50．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】 ②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 【详解】略. 52．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 【答案】解：①添加， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． ， ． 在和中， ， ． ②添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ③添加点为中点， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 点为中点， ， 在和中， ， ． ④添加为的角平分线， 证明过程如下：平分， ． ， ． ． ． 为的角平分线， ， 在和中， ， ． 【分析】①添加，利用角角边证明三角形全等；②添加点为中点，利用边角边证明三角形全等；③添加点为中点，利用边边边证明三角形全等；④添加为的角平分线，利用角边角证明三角形全等． 【详解】略 53．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 【答案】(1)作图如图所示． (2)① ；②全等三角形对应角相等；③；④ 【分析】（1）根据题干信息要求作 ， 即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：在和 中， ， ， ， （②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 54．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 【答案】25米 【分析】利用全等三角形的判定方法得出，进而得出的长． 【详解】解：由题意知，米， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， 米，米， 米， 答：楼高是25米． 55．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 【答案】(1)；； (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知，，甲补充条件，全等的判定依据是；乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是； （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【详解】（1）解：∵，， ∴甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是； 丙补充条件，全等的判定依据是AAS； （2）解∶ 证明如下：甲：∵， ∴； ∴； 乙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴； 丙：∵，，， ∴； ∴， ∴； ∴． 56．（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求， (2)证明：如图， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明． 【详解】（1）略 （2）略 57．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线． ②过点作于点． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 【答案】 【分析】利用垂直得角相等，结合公共边与，证出，由全等对应边相等得到求出长度． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 58．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 59．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 60．（2025八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法逐个判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 当前条件为，和 ， 若甲添加 ，此时两个三角形由两组边相等，一组角相等，下一轮无论添加边或者角都可以利用或或证明全等，所以甲必胜， ∴，符合题意； 若甲添加，满足角角边，能判定全等，甲输乙胜， ∴错误，不符合题意； 若乙第二轮添加 为，则第三轮甲无论添加何条件，均能判定全等，甲输乙胜， ∴正确，符合题意； 若第轮乙添加条件修改为，则第三轮和第轮只能添加 或其中之一，否则都会有边边边或边角边来判定全等， ∴游戏最多四轮必分胜负， ∵原选项中“此游戏最少四轮必分胜负” ∴错误，不符合题意； 综上，正确的是， 故选：． 61．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)结论．                         证明：如图，延长到点G，使，连接．      在和中， ， ，                                   ， ，                                             又， ，                                   ． (2) 【分析】（1）如图，延长到点G，使，连接，证出，根据全等三角形的性质得出，再证明得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在上截取，使，连接，利用（1）的思路解答即可． 【详解】（1）解：结论．证明略． （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 62．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)，理由如下： ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据中线的定义得，再结合、，即可由证明； （2）由（1）知，则，再证明，则，然后由，等量代换即可得出结论； （3）先证明得，，再证明，得，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）略 （3）略 63．（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 在上截取，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)， 理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）如图2：在上截取，连接，先判定，进而得出，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图 1，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）略 （3）略 64．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 【答案】(1)B (2)1（或3或5或7或9或11） (3)，理由见解析 (4)8 【分析】（1）根据边角边的证明方法即可得到； （2）根据三角形三边的关系先得到的范围，再由，且边的长度为奇数，这一条件求解即可； （3）同理可证，可得，再由，转化边的关系求解角度的关系即可； （4）添加辅助线，延长至点G使，连接，同理可证明，再证明，由此可得，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴的理由是B； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在中，， 即，即 ∵边的长度为奇数，且， ∴的长可能为1或3或5或7或9或11； （3）解：，理由如下： 延长至点E使，连接，如图， 同理可证， ∴，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：延长至点G使，连接，如图， 同理可知， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，则， ∴． 65．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 66．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点D，斜边BC交轴于点E． (1)如图1，证明： (2)如图2，若将沿着CB折叠，点D恰好落在轴的点G处，求证：点是的中点． (3)如图3，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点A在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)不变， 【分析】本题主要考查同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关定理和一线三等角模型是解决本题的关键． （1）通过和即可证明； （2）由折叠得，再用证出，得，即可得证； （3）过点作轴于点，用证出，得，再用证出，得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1 ， ， ， （2）证明：是等腰直角三角形， ， 将沿着折叠， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （3）解：的长度不会改变，理由如下： 过点作轴于点． ， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ． 67．（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)①是；② (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，通过构建全等三角形来得出线段相等是解题的关键． （1）①连接，证明和全等即可得出结论；②根据结合得出结论即可； （2）解题思路和辅助线的作法与（1）完全一样； （3）同（1）得，由，可得． 【详解】（1）证明：①连接， ∵（已知）， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， 故答案为：是． ②又∵， ∴， 故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：．理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 68．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），理由见解析；（3）的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证明是解题的关键． （1）根据已知条件证明，，即可得到，证明即可； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； （3）过点作于点，点落在的延长线上，证明，根据平行线间的距离处处相等，可得点到边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． 于点， ， ， ． ，， ． （2），理由如下： ， ， 于点， ， ， ，， ， ，， ． （3）的面积为8． 如图，过点作于点，点落在的延长线上， 由（2）得， ． ， ． ， ． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到边的距离也为2， ． 试卷第2页，共92页 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 全等三角形性质与判定常考类型题 【知识点1 全等三角形的概念及性质】 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 2. 两个全等三角形的周长相等，面积相等； 3. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等 【知识点2 全等三角形的判定】 判定方法 文字叙述 图形 SSS(边边边) 有三边对应相等的两个三角形全等(基本事实) SAS(边角边) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(基本事实) ASA(角边角) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(基本事实) AAS(角角边) 有两角及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等 【知识点3 常见全等图形】 一、平移型 解题思路： (1)加(减)共线部分，得对应边相等； (2)利用平行线性质找对应角相等． 二、轴对称型 1. 有公共边 2. 有公共顶点 解题思路：(1)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等；(2)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等． 三、自旋转型 1. 共顶点 2. 不共顶点 解题思路：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角得一组对应角相等； (2)不共顶点：①由BF＝CE→BF±CF＝CE±CF→BC＝EF； ②利用平行线性质找对应角相等 【知识点4 手拉手模型】 “手拉手模型”是指由两个共顶点且顶角相等的相似三角形构成的图形．如果把小三角形的边长看作小手，大三角形的边长看作大手，两个三角形有公共顶点，类似于大手拉着小手，所以把这个模型称为“手拉手模型”．通过连接对应点构造另一组相似或全等三角形解决问题．通常应用于两个等腰直角三角形，等边三角形，矩形，正方形等． 模型展示 DE∥BC，∠BAC＝∠DAE，将△DAE绕点A旋转一定角度后，连接BD，CE， 延长BD，与CE交于点F.  模型特点 有共顶点，顶角相等，对应边相等或成比例  结论 (1)△ADE∽△ABC，△ADB∽△AEC，∠BFC＝∠BAC； (2)当AD＝AE(或AB＝AC)时，△ABD≌△ACE，BD＝CE(拉手线相等) 【知识点5 一线三等角模型】 “一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，形成一组全等或相似三角形．图形中在同一直线上，出现两个或三个相等的角，考虑构造全等或相似三角形解决问题．一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合． 1. 模型的特点有： (1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上； (2)∠1，∠2，∠3之间的关系是∠1＝∠2＝∠3. 2. 模型的结论有： (1)△AEC∽△BDE； (2)若在(1)中的条件下，增加条件AE＝BD或AC＝BE 或EC＝DE，可以得到△AEC≌△BDE. 方法一：若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角； 方法二：若图中存在一条直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，作一个与前面角相等的角． 【知识点6 倍长中线模型】 1. 倍长中线：如图①，AD是BC边的中线，若延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ACD≌△EBD. 2. 倍长类中线：如图②，D是BC边的中点，E是AB上一点，连接ED，延长ED至点F，使得DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF. 注：连接EC，ED实质为△BEC的中线．倍长(类)中线的本质可以理解为平移变换或中心对称． 【题型1 全等三角形的性质】 1．（26-27八年级·上海·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 2．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 3．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【题型2 SAS的应用】 5．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在四边形中，，，E是中点．点P在线段上以的速度由B向C单向运动的同时，点Q在线段上匀速由C向D单向运动．为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为________________ ． 6．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 7．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·山东济南·期中）和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 (1)当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 (2)当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由． 9．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【题型3 ASA（AAS）的应用】 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 11．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 12．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 14．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【题型4 SSS的应用】 15．（26-27八年级·上海·暑假作业）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·湖北孝感·二模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）和都为等腰三角形，为顶角的顶点，连接、，则，且，求的度数． 18．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 19．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【题型5 灵活的选用方法证明全等】 20．（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 21．如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 22．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 23．（2026·山西晋城·二模）利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）数学课上，老师问：“哪些条件能画出唯一的”，小杭说：“当，，时”，小州说：“当，，时”，对于两位同学的说法（    ） A．小杭和小州都对 B．小杭对，小州错 C．小杭错，小州对 D．小杭和小州都错 25．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 26．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【题型6 尺规作图与三角形全等的综合】 27．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 30．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）如图，根据作图痕迹，可以判定的依据是__________（填全等理由） 31．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【题型7 利用全等三角形测距】 32．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 33．（25-26八年级上·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 34．（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 35．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【题型8 一线三垂直模型的应用】 36．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 37．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    38．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 39．（24-25八年级上·云南文山·阶段检测）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【题型9 倍长中线模型的应用】 40．（25-26七年级下·上海·期末）已知中，，，则边上的中线的取值范围是______．（用不等式表示） 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 42．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，为边上的中线． (1)按要求作图：延长到点，使；连接． (2)求证：． (3)若，，求的取值范围． 43．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 44．（25-26八年级上·北京海淀·期中）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过思考： （1）由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．HL （2）求得AD的取值范围是___________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，，求证：． 【题型10 手拉手模型的应用】 45．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 46．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 47．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 48．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． （1）操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为　 　；线段BD、AB、EB的数量关系为　 　； （2）猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； （3）拓展延伸 若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．    49．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点D在边的延长线上，且．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交边，于点 M，N；再以点D为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，以的长为半径画弧交前弧于点，作射线．已知点E为射线上一点，连接，请你添加一个条件______，使．(写出一个条件即可) 50．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 51．（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 52．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，，的平分线交于点，在线段上取一点，连接．要使，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件，并证明．（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 53．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，上有一点 满足． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点 在上方作 ，射线交 于点；在射线上截取线段使 ，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中的条件下，证明： ．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和 中， ， ， （ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④ ， ． 54．（25-26七年级上·山东烟台·期中）为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C视线与测楼顶A视线两线夹角为，即．量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，计算楼高是多少米？ 55．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： (1)请补全三位同学展示的答案； 甲补充条件，全等的判定依据是 ； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是； (2)AF与DC什么数量关系，写出完整证明过程 56．（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 57．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端、的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点作射线． ②过点作于点． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端、的距离． 58．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 59．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 60．（2025八年级上·全国·专题练习）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 甲 乙 甲 表格记录了两人游戏的部分过程． 若第轮甲添加，则甲必胜；若第轮甲添加，则甲获胜；若第轮乙添加条件修改为，则乙必胜；若第轮乙添加条件修改为，则此游戏最少四轮必分胜负． 以上说法正确的是（    ） A． B． C． D． 61．（2026·黑龙江鸡西·模拟预测）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 62．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）【问题解决】 (1)如图，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为_______； 【问题应用】 (2)如图，是的中线，点在的延长线上，连接，且平分，，延长至，使，连接，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图，某工厂需要加工一款十字支撑类五金配件，配件核心结构由两组相互垂直的支架组成．工人师傅以点为核心支点，分别搭建两组垂直支撑臂：第一组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），第二组打造出相互垂直且等长的支撑臂、（，），连接交于点，且为的中线，为保证配件受力均衡，在线段上截取，，连接用于加固结构，最后连接形成辅助平衡边．为精准把控配件尺寸与安装角度，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 63．（25-26七年级下·广东佛山·期中）“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：已知在四边形中，分别是直线上的点． (1)如图1，若，分别在线段，上，且满足，试探究线段，之间的数量关系． 数学小组探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证与的全等，再证与的全等，可得到，，之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段，，之间的数量关系为    ___________． (2)如图2，若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段，之间的数量关系，并请说明理由． (3)如图3，若不变，点在的延长线上，点在的延长线上，若，试探究与的数量关系，并说明理由． 64．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E使，连接． 由已知和作图能得到，所以． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是 ； A．  B．   C．   D． (2)请根据小明的方法思考，直接写出的长可能为 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． (3)如图②，是的中线，交于G，．探究与的关系，并说明理由； 【深入探究】 (4)如图③，在和中，，，且，连接，F为的中点，连接并延长交于H，，，求的面积． 65．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 66．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点D，斜边BC交轴于点E． (1)如图1，证明： (2)如图2，若将沿着CB折叠，点D恰好落在轴的点G处，求证：点是的中点． (3)如图3，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点A在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 67．（25-26八年级上·河南周口·期中）数学活动课上，张老师借助两个全等的含角的直角三角板进行全等三角形的相关探究． (1)问题发现 将三角板与三角板按图1方式摆放，其中，，点E落在上，所在直线交所在直线于点F． ①与是否相等？_____（填“是”或“否”）； ②写出线段、、之间的数量关系：_____． (2)问题探究 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角得到图2，且，其他条件不变，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)问题拓展 若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图3．请直接写出、与之间的数量关系． 68．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 试卷第2页，共92页 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $