湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷

**基本信息** 这份高二期末数学试卷以动物保护调查、注水漏斗等现实情境为载体，融合集合、概率、导数等知识，通过基础辨析与综合应用的梯度设计，体现数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的核心素养，适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、二项式定理、正态分布、函数奇偶性|基础题与多选题结合，如第3题正态分布抽样考察数据意识| |填空题|3题15分|空间向量、函数单调性、比赛概率|第14题棋类比赛概率体现数学语言表达不确定现象| |解答题|5题77分|数列、立体几何、统计案例、导数零点、椭圆|第17题动物保护调查考独立性检验（社会热点），第18题导数零点证明凸显逻辑推理，第19题椭圆最值考察数学应用|

湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A B B D BC BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】由交集的定义可知，. 2．A 【分析】首先将式子变形为，再写出展开式的通项，从而求出的系数； 【详解】解：因为， 其中展开式的通项为， 所以展开式中的系数为； 故选：A 3．B 【详解】∵ 数学成绩服从正态分布，∴ 正态分布曲线关于直线对称. ∵ ，∴ . ∴ . ∴ 按分层抽样抽取份试卷时，应从分以上的试卷中抽取份. 4．C 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】已知函数的定义域为， 所以 ， 又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确. 5．A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 6．B 【详解】因为， 所以， 所以当时，. 所以当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为. 7．B 【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可. 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 故选：B. 8．D 【详解】因为题目求男生甲最先进入景区的概率，与女生顺序无关，只需考虑男生， 所有男生的相对顺序共有种，男生甲最先进入景区，则剩下男生的相对顺序共有种， 所以男生甲最先进入景区的概率为. 9．BC 【分析】根据面面平行和面面垂直的判定定理和相关结论逐一分析判断即可. 【详解】选项A：若，，与可能平行，也可能相交（例如平行于和的交线时，两平面相交），故A错误； 选项B：根据面面平行的判定结论，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故B正确； 选项C：根据面面平行的传递性，平行于同一个平面的两个平面互相平行，故C正确； 选项D：若，，与可能平行，可能相交，且相交时夹角不一定为（例如正方体中两个相对的侧面都垂直于底面，二者平行），故D错误. 10．BC 【详解】对于选项A：函数需满足定义域条件，解得或. 令，外层函数为增函数，内层函数的对称轴为，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，的单调增区间为，故A错误. 对于选项B：∵ 为幂函数，根据幂函数定义，系数， 又∵ 函数过点，∴ 代入得，解得， ∴ ，故B正确. 对于选项C：∵ 函数的定义域为， ∴ 函数需满足， ∴ 解得，即的定义域为，故C正确. 对于选项D：∵ 函数的定义域为，即对任意恒成立， 当时，不等式化为，显然不能对所有实数恒成立； 当时，需满足， 解得，即实数的取值范围为，故D错误. 【点睛】方法归纳： 1. 求解复合函数单调区间时，优先求解定义域，再结合“同增异减”原则判断； 2. 幂函数需满足自变量前系数为1； 3. 抽象函数定义域遵循“括号内整体取值范围一致”的原则； 4. 二次型不等式恒成立问题需分二次项系数为0和不为0两种情况讨论. 11．ACD 【分析】选项 A，二项分布概率公式求解；选项 B，服从超几何分布求解；选项 C，正态曲线求解；选项 D利用期望的线性性质求解. 【详解】选项 A，因为，则， ，故，A 正确； 选项 B，服从超几何分布，总球数 8 个，取 2 个，则， ，，即，B 错误； 选项 C，，正态曲线关于对称，因此， ，C 正确； 选项 D，集合为，共 6 个元素，任取 3 个的总组合数为， 利用期望的线性性质：每个元素被选中的概率均为，因此 ，D 正确. 12． 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. 13． 【分析】根据函数单调性与导函数的关系，求出导函数，条件可转化为导函数大于等于在区间上恒成立，根据恒成立的解法，求出参数范围. 【详解】由题意得， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，，变形得， 令，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值，， 当在上恒成立，可得， 所以实数a的最大值为. 14． 【分析】设比赛结束时，一共比赛局，其中甲胜局，由题可得，可为，再设表示第局甲胜，表示第局乙胜，由题设结合独立事件概率乘法公式可得答案. 【详解】设比赛结束时，一共比赛局，由题设可得， 再设其中甲胜局，得分为，则乙胜局，得分为，则， 解该不定方程，得可为. 设表示第局甲胜，表示第局乙胜. 若比赛三局，比赛结束且甲获胜，则甲胜三局，概率为； 若比赛五局，比赛结束，则甲胜4局，乙胜1局，概率为: ； 若比赛七局，比赛结束，则甲胜5局，乙胜2局，概率为: . 则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列基本量运算求出公比，再写出通项公式. （2）先根据第一问的结果求出数列的通项公式，再写出数列的通项公式，最后再求出满足条件的最小正整数. 【详解】（1）因为等比数列中，，所以，即， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）可知，所以， 由题意可知，设数列的前项和为，则 ，由， 且，所以，所以，所以单调递增， 又，， 所以使不等式成立的最小正整数的值为10. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2）因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 17．(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，与临界值对比，即可求解. （2）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解． 【详解】（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关， 由表中数据计算， 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.001. （2）从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导函数的单调性，分类讨论，即可求出结果； （2）（ⅰ）根据函数单调性，具体区间进行分析函数零点，即可得证；（ⅱ）由（ⅰ）知，记，，则，且，故，要证明，即证明，即证，结合函数单调性，只需证明，构造函数，分析函数单调性，即可得证. 【详解】（1）依题意，，在上单调递增， 当时，，，因此，符合题意； 当时，，，， 故存在唯一零点，使得， 此时当时，，单调递减， 故，不符合题意； 当时，，单调递增， 则，符合题意． 综上可知，． （2）（ⅰ）由（1）可知，当时，在上没有零点； 当时，，故，没有零点； 当时，由（1）可知，，单调递增， 且，，，故在恰有一个零点； 当时，，故，没有零点； 当时，由（1）可知，，单调递增， 且，，，故在恰有一个零点， 当时，，故，没有零点； 当时，由可知，，单调递增， 且，，， 故在上恰有一个零点， 综上可知，在上恰有三个零点. （ⅱ）由（ⅰ）可知，，， 记，，则，且， 故， 要证明，即证明，即证， 又因为在单调递增，，故， 故只需证明， 构造函数，， 则， 由（1）可知，在上单调递增， 而，故，单调递增， 从而，故， 即，即. 19．(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）由椭圆过，椭圆离心率以及求解即可； （2）（i）由直线经过椭圆的右焦点以及斜率为1，直线与椭圆联立，解得交点，的坐标，即可求解； （ii）设直线的方程，与椭圆联立，再由韦达定理代入，由一元二次方程性质即可求解. 【详解】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，的系数是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩，且，若按分层抽样的方式取份试卷进行成绩分析，则应从分以上的试卷中抽取（    ） A．份 B．份 C．份 D．份 4．已知函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．往一个圆锥形漏斗中匀速注水，水面半径r与水面高度h始终满足（单位：），漏斗内水的体积．当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 7．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．120 B．60 C．40 D．30 8．五一期间，4名女生5名男生到花果山景区游玩．在景区门口，9人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．设，，表示三个不同的平面，表示一条直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调增区间为 B．幂函数过点，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 11．下列说法正确的是（     ） A．设随机变量，则 B．从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为，则 C．设随机变量服从正态分布，则 D．从集合中任取三个元素，且满足，定义随机变量，则的数学期望为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 13．已知函数在上单调递增，则实数的最大值为_____． 14．甲乙两人进行棋类比赛，每局比赛胜者得个积分，负者得个积分，记两人积分之差的绝对值为时比赛结束且积分多者获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，则比赛结束时总局数不多于局且甲获胜的概率为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 16．在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 (1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ (2)将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．已知. (1)若，恒有，求的取值范围. (2)当时， （ⅰ）证明:在上恰有三个零点； （ⅱ）设（ⅰ）中的三个零点为且，证明：． 19．已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $