第三周 第3天 基本不等式 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 暑假自学同步练习以青铜局、黄金局、王者局分层，题量5:2:1，梯度从基础应用到综合创新，强化数学抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|基本不等式概念及单一最值|基础选择（如a+b=2求ab最大值）、填空（x>0求代数式最小值）夯实运算能力| |黄金局|条件最值及参数问题|含参数解答（如x<5/2求函数最大值）、多选判断（全称/特称命题）培养推理意识| |王者局|三元不等式及综合应用|创新题（m²(3-m)最大值）、综合解答（a²+1/(b(a-b))最小值）发展创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 3天 基本不等式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为(　　) A. B.1 C.2 D.2 答案　B 解析　因为a，b为正实数，且a+b=2≥2当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1. 2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 答案　B 解析　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式x-2y+≥2成立的前提条件为x-2y>0，即x>2y. 3.下列不等式中正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C. D.x2+≥2 答案　D 解析　若a<0，则a+≥4不成立，故A错； 若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错； 若a=4，b=16，则故C错； 由基本不等式可知D项正确. 4.已知a>1，b>1，记M=N=则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 答案　A 解析　因为a>1，b>1， 所以M=≥2 当且仅当时取等号， 又故M>N. 5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16， 所以x+2+y+1≥2=8，即x+y≥5， 当且仅当x+2=y+1=4，即x=2，y=3时取等号， 则x+y的最小值为5. 6.设x>0，则3-3x-的最大值是(　　) A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2 答案　D 解析　∵x>0，∴3x+≥2=2当且仅当x=时，等号成立， ∴-≤-2 则3-3x-≤3-2 即3-3x-的最大值为3-2. 7.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　) A. B.ab≤ C.≥2 D. 答案　BC 解析　对于A，因为ab>0，故当a<0，b<0时，不等式不成立，故A不正确； 对于B，因为ab>0，所以ab≤恒成立， 当且仅当a=b时，等号成立，故B正确； 对于C，因为ab>0，所以>0>0，则≥2=2，当且仅当a=b时，等号成立，故C正确； 对于D，因为a2+b2≥2ab，所以(a+b)2≥4ab，当a<0，b<0时满足ab>0，但a+b<0，此时故D不正确. 8.(5分)若x>0，则的最小值是　　　　. 答案　2-3 解析　因为 x>0 ， 所以 =2x+-3≥2-3=2-3 ， 当且仅当2x=即 x= 时取等号.所以所求的最小值为2-3. 9.(5分)若a∈R，则的最小值是　　　　，此时a=　　　　. 答案　2　0 解析　 ≥2=2， 当且仅当 即a=0时，等号成立. 10.(10分)已知x>3，求+x的最小值. 解　因为x>3，所以x-3>0， 所以+x=+(x-3)+3 ≥2+3=2+3=7， 当且仅当=x-3， 即x=5时，等号成立. 所以+x的最小值为7. 黄金局 提能力·融会贯通 11.的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 答案　B 解析　=|x|+≥2=4，当且仅当|x|=即x=±2时，等号成立，故所求最小值为4. 12.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　) A.∀x>0，x+≥2 B.∃x<0，x+>-2 C.∀x>0 D.∃x<0≤- 答案　AD 解析　利用基本不等式可得∀x>0，x+≥2=2， 当且仅当x=1时，等号成立，故A正确； ∀x<0，x+=-≤-2=-2， 当且仅当x=-1时，等号成立，即命题∃x<0，x+>-2不成立，故B错误； 易知∀x>0 当且仅当x=1时，等号成立，故C错误； 易知当x=-1时=-即∃x<0≤-故D正确. 13.(5分)已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是　　　　. 答案　m>n 解析　由a>2，得a-2>0. 又m=a+=(a-2)++2， 所以m≥2+2=4. 当且仅当a-2=即a=3时取等号， 由于b≠0，所以n=2-b2<2<4. 因此m>n. 14.(11分)(1)已知x<求的最大值；(5分) (2)已知0<b<2，求(2-b)(1+2b)的最大值.(6分) 解　(1)∵x<∴5-4x>0， ∴原式= =4x-5++3=-+3 ≤-2+3=1， 当且仅当5-4x=即x=1时，等号成立， 故所求最大值为1. (2)(2-b)(1+2b)=(4-2b)(1+2b)≤ 当且仅当4-2b=1+2b，即b=时取得等号， ∴(2-b)(1+2b)的最大值为. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.已知任意的正数a，b，c，有成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0<m<3，则m2(3-m)的最大值为(　　) A.6 B.4 C.5 D.3 答案　B 解析　根据题意可得m2(3-m)=×m×m(6-2m)≤=4， 当且仅当m=6-2m，即m=2时，等号成立， 故m2(3-m)的最大值为4. 16.(12分)已知实数a>b>0， (1)比较b(a-b)与的大小；(5分) (2)求a2+的最小值及取最小值时a，b的值.(7分) 解　(1)∵a>b>0，∴a-b>0， ∴b(a-b)≤ 当且仅当b=a-b，即2b=a时，等号成立. ∴b(a-b)≤. (2)由(1)知0<b(a-b)≤当且仅当2b=a时等号成立， ∴ ∴ ∴a2+≥a2+≥2=20， 当且仅当a2=且2b=a， 即时取等号. 综上可知，当a=b=时，a2+取得最小值20. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 3天 基本不等式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为(　　) A. B.1 C.2 D.2 2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 3.下列不等式中正确的是(　　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C. D.x2+≥2 4.已知a>1，b>1，记M=N=则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 5.已知x，y均为正实数，且(x+2)(y+1)=16，则x+y的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 6.设x>0，则3-3x-的最大值是(　　) A.3 B.3-2 C.-1 D.3-2 7.(多选)已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式成立的是(　　) A. B.ab≤ C.≥2 D. 8.(5分)若x>0，则的最小值是　　　　. 9.(5分)若a∈R，则的最小值是　　　　，此时a=　　　　. 10.(10分)已知x>3，求+x的最小值. 黄金局 提能力·融会贯通 11.的最小值为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 12.(多选)下列命题中，为真命题的有(　　) A.∀x>0，x+≥2 B.∃x<0，x+>-2 C.∀x>0 D.∃x<0≤- 13.(5分)已知m=a+(a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n的大小关系是　　　　. 14.(11分)(1)已知x<求的最大值；(5分) (2)已知0<b<2，求(2-b)(1+2b)的最大值.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.已知任意的正数a，b，c，有成立，当且仅当a=b=c时，等号成立.若0<m<3，则m2(3-m)的最大值为(　　) A.6 B.4 C.5 D.3 16.(12分)已知实数a>b>0， (1)比较b(a-b)与的大小；(5分) (2)求a2+的最小值及取最小值时a，b的值.(7分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $