精品解析：上海市黄浦区大同中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷高一数学

2025学年第二学期期末考试试卷 高一数学 考试时间：90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知向量，设，向量，若，则__________ 【答案】 2 【解析】 【详解】因，，由，可得. 2. 已知，在第二象限，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【详解】由，在第二象限， 则. 3. 记为等差数列的前项和，若，，则__________ 【答案】121 【解析】 【分析】等差数列通项公式和前n项和的使用. 【详解】根据等差数列的通项公式及题意得，解得， 由等差数列的前n项和公式得. 4. 若复数满足：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的性质求模. 【详解】因为，所以. 故答案为： 5. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 6. 已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由单调性可得该数列前项为负值，从第4项起为正值，据此可得的最小值. 【详解】因，在上单调递增，则为递增数列. 注意到， 则该数列前项为负值，从第4项起为正值，从而. 7. 已知向量，，，，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】转化成向量投影，向量在方向上的投影，结合向量的象限确定两向量夹角范围，进而求得取值范围. 【详解】由题意得：， 根据向量数量积的定义：，其中为与的夹角， 所以 . 由，，可知为第一象限向量，其方向角； 的方向角为，因此两向量夹角，可得， 由于余弦函数在上单调递减，因此，所以. 8. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 9. 已知数列，满足，，，，__________ 【答案】##59049 【解析】 【分析】根据递推公式归纳可得，，，并利用数学归纳法证明，可得，即可得结果. 【详解】因为，，且，， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 归纳可得：，，， 当时，则，，，，符合题意； 假设当，时，，， 当时，则，， 且，，符合题意； 综上所述：，，， 则，所以. 10. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将化简为，再根据在区间上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出的取值范围. 【详解】 ， 由，，得， 时，，最大时，也最大， 若在区间上只有一个零点和两个最大值点， 则只需，解得． 故答案为：. 11. 若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设单位向量、的夹角为，求得，，且与互相垂直，再设在和上的投影分别为和，得到，根据题意，求得和，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设单位向量、的夹角为，其中， ， ， 且，所以与互相垂直， 设向量在向量和上的投影分别为和，则满足， 又由，可得， 同理可得：，所以， 其中分别为与和的夹角， 则， 由， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以，即的最小值为4. 12. 为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加______个. 【答案】18 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及余弦函数的性质可求得，，设改造后停车位数量最大值为n， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为，则顶点到线段ME距离为，利用几何性质可得，令即可求解. 【详解】由图可知，， 即，，已知， ，则， 则，化简得，解得或， 因，则，故，， 设改造后停车位数量最大值为n，如图， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为， 则顶点到线段ME距离为， 又由图及题意可得：，， 则， 注意到， 则， 则， 则， 则，， 又，则， 令， 即改造后最大停车位数量为49，则改造后的停车位比改造前增加18. 故答案为：18. 二、选择题（本大题共有4题，每小题4分，共16分） 13. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A: , , , 共线, 不能作为基底. 选项B: , , , 共线, 不能作为基底. 选项C: 是零向量, 零向量与任意向量共线, 不能作为基底. 选项D: , , , 不共线, 可以作为基底. 14. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应点所在象限. 【详解】因为 所以，共轭复数对应的点坐标为，位于第四象限， 故选：D. 15. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 16. 已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③. 【详解】对于①，设等差数列的首项为，公差为，当时，， 对于任意的正整数，令，即， 因为是正整数，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列”为严格增数列，③正确； 对于④，例如，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误. 故选：C 三、解答题（本大题满分48分） 17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【小问1详解】 为纯虚数，，解得， 故，则． 【小问2详解】 ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期的计算公式求得参数的值，结合特殊角三角函数值，可得答案； （2）根据复合函数的单调性，结合正弦函数与一次函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，则，解得，所以， 故. 【小问2详解】 由的单调递减区间为，且为增函数， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 20. 设，． （1）当时，直接写出函数在区间上的单调性； （2）①根据的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；②若函数在区间（为正整数）上恰有7个零点，求的最小值及此时的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递增 （2）①或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有5个零点. ②的最小值为3，此时 【解析】 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可求解； （2）①由得或，进而根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 函数在区间上单调递增，理由如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 而，则， 所以， 则， 所以， 即，所以， 则函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 ①由，得， 则，即， 则或， 由，，得或； 由，得，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，即方程无解； 若或时，与有1个交点，且这两个交点横坐标分别为，， 即方程的解分别为和； 当或时，与有2个交点， 即方程分别有2个解（不等于和）； 当时，与有3个交点，即方程有3个解. 综上所述，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有5个零点. ②由①可知，当时，最多有5个零点，不满足题意； 当时，区间为，由，，得或或， 因此不管为何值，函数的零点已经有3个， 要使函数在区间上恰有7个零点， 则与在区间恰有4个交点即可，如图， 当时，与在区间恰有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 21. 已知整数，数列：，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或 （1）已知，数列：，写出的所有“相邻数列”； （2）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，，求的最小值． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相邻数列”的定义，分别求得的值，即可求解； （2）任取的一个“相邻数列”：，根据相邻数列的定义，得到，对于，的取值分4种情形讨论，利用为递增数列，得到是公差为1的等差数列，列出不等式组，即可求解； （3）令，得到，设，得到且，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，再分三种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列：， 根据“相邻数列”的定义知：，，且或， 可得， 且或，或， 所以数列的所有“相邻数列”为：，，，. 【小问2详解】 解：任取的一个“相邻数列”：， 因为或， 或， 所以，且， 对于，的取值分以下4种情形： （i）且； （ii）且； （iii）且； （iv）且， 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到， 所以只需考虑第4种情形，递增，，，即， 由数列是递增的整数数列，可得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足数列的共有11个. 【小问3详解】 解：令，所以对于任意，， 设，， 则且， 先证明：与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则， 由，得，所以，即， 即是空集，或是连续自然数构成的集合； 若，令，则， 由，可得，所以，即， 即是空集，或是连续自然数构成的集合； 所以，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时对于任意， 由，可得，所以对任意的且， 由，所以， 当且仅当时，等号成立； （ii）存在整数，使得， 对任意的，对任意的， 所以 ； （iii），此时，对任意的， 与情形1类似，对于任意， 由，所以， 综上可得，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末考试试卷 高一数学 考试时间：90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分） 1. 已知向量，设，向量，若，则__________ 2. 已知，在第二象限，则的值为__________ 3. 记为等差数列的前项和，若，，则__________ 4. 若复数满足：，则______． 5. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 6. 已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为__________ 7. 已知向量，，，，则的取值范围是__________ 8. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 9. 已知数列，满足，，，，__________ 10. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是______． 11. 若对于向量，存在与向量在同一平面上的单位向量、，使得，，则的最小值为__________ 12. 为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加______个. 二、选择题（本大题共有4题，每小题4分，共16分） 13. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 14. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）． A. B. C. D. 16. 已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 三、解答题（本大题满分48分） 17. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间． 19. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 20. 设，． （1）当时，直接写出函数在区间上的单调性； （2）①根据的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；②若函数在区间（为正整数）上恰有7个零点，求的最小值及此时的取值范围． 21. 已知整数，数列：，，，是递增的整数数列，即，，，且，定义数列的“相邻数列”为：，，，，其中，，或 （1）已知，数列：，写出的所有“相邻数列”； （2）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列：，，，是递增的整数数列，，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $