上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

复旦大学附属中学2025学年第二学期 高一年级数学期末考试试卷 2026.06.26 考生注意： 1．本试卷共4页，21道题，满分150分，考试时间120分钟； 2．本试卷分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分； 3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．半径为1的球的表面积为____________． 2．在四棱柱中，是平行四边形的面至少有________个． 3．已知函数，且，则________． 4．如图，是水平放置的的直观图，，，，则原的周长为________． 5．已知，，，则在方向上的数量投影为________． 6．已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 7．如图，在长方体中，所在直线与是异面直线的棱有________条． 8．已知正六棱柱底面边长为2，侧面积为36，则此六棱柱最长的体对角线与底面所成的角的余弦值为__________． 9．如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 10．已知，，满足且，则________． 11．已知正方体的棱长为2，点在线段上（不含端点），点在线段上，且，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为________． 12．如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有水，杯口的直径为，杯底的直径为，杯高为．若当杯底水平放置时，水深为，当水杯密封好倒扣过来水平放置时，水深为，且，则为________．（精确到0.01） 二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑． 13．“棱柱是直棱柱”是“棱柱有一个侧面与底面垂直”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 14．已知，是空间中的两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 15．已知函数，直线是图像的对称轴，点是图像的对称中心，则的可能值为（ ） A． B． C． D． 16．对于非零平面向量，，定义，其中为在方向上的投影向量．给出下列命题：①对任意实数，都有恒成立； ②对任意给定的平面上的一组基，，存在非零向量，使得成立．则以下判断正确的是（ ） A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知复数，在复平面上对应的点分别为，，且在第一象限． （1）若，两点关于虚轴对称，且为纯虚数，求实数的值： （2）若，是关于的方程的两个根，求实数的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在中，，点是的中点． （1）用，的线性组合表示与； （2）若，且，求． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 将边长为1的正方形绕边所在直线旋转，得到如图所示的几何体，它是圆柱的一部分． （1）求该几何体的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如图1，在矩形中，，，是边的中点，将沿顺时针方向翻折，使点到达点的位置，且点不在平面上，连接、． （1）求证：； （2）若平面平面，求二面角的大小； （3）如图2，设为的中点，求在整个翻折过程中线段长的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 香港中银大厦以其独特的三角形桁架结构和底部正方形平面（对角线垂直）闻名，某公园计划仿照这一几何理念建造一座现代景观亭．模型主体由水平基座和两个垂直立柱构成，具体参数如下： ● 基座的底面为四边形，其对角线互相垂直，且交于点，经实地测量，米，米． ● 从点竖直向上安装一根立柱，垂直于基座平面；从点竖直向上安装另一根垂直于基座平面的立柱，其中米． ● 为形成三角形玻璃幕墙效果，在顶点，，之间连接钢梁形成侧面（参考中银大厦的三角形玻璃幕墙），在顶点，，之间连接钢梁形成另一侧面．所有钢梁均视为直线段． 设计团队需建立三维几何模型，用于结构安全性评估、材料用量估算及照明设施布置，需解决以下建模问题： （1）试用几何推理验证：基座上的棱平行于侧面所在平面； （2）为了估算结构所需填充材料的用量，求三棱锥的体积（单位：立方米）； （3）因照明需求，计划在建筑棱线上安装照明灯，设计要求：以为顶点、基座为底面的四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出安装位置并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $