第4章三角形假期自主提升综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以三角形性质与全等判定为核心，通过基础概念辨析、动态问题探究及多情境应用，系统整合知识逻辑，提炼构造辅助线、分类讨论等解题方法，培养推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-4|概念辨析（稳定性、全等条件）|三角形定义→性质（稳定性、三边关系）→要素（高、中线、角平分线）| |性质应用|填空8-10|分类讨论（等腰三角形边长）|性质推导→特殊三角形（等腰）性质→应用（周长计算）| |全等证明|解答16-18|判定定理应用（SAS、AAS）|全等判定条件→辅助线构造（延长、作垂线）→性质应用| |动态综合|解答19-20|动态分类与模型转化|静态全等→动态动点问题→实际情境模型（景区路径）|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《第4章三角形》 假期自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1.设计如图所示的手机支架，其数学原理是() A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间，线段最短 D.三角形是具有稳定性的图形 2.按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的△ABC的是() A.AB=3,BC=4,AC=8 B.AB=3,BC=5,∠BAC=60° C.AB=3,BC=5,∠ABC=60° D.∠A=70°，∠B=60°，∠C=50° 3.若等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为() A.10 B.13 C.17 D.13或17 4.如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的 是() B A.AB=2BF B.∠ACB=2∠ACE C.AE=BE D.CD⊥AB 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的 垂线BD,CE,若BD=6,CE=4,则DE=() A.8 B.10 C.12 D.20 6.如图，已知线段AB=20米，AM⊥AB于点A,AM=18米，线段AM上有一点C,射 线BD⊥AB于点B,点P从B向A运动，每秒走1米，点Q从B向D运动，每秒走3米，P、 Q同时从B出发，当出发t秒后，使以点C、A、P为顶点的△CAP与△PBQ全等，则t的 值为) D Q M C 4 B A.6或10 B.10 C.5或10 D.5 7.如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB⊥CB于点B,AD⊥CD于点D,E、F分别 是CB、CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中①DF=BE,②△ADF≌△ABE, ③FA平分∠DFE,④EF平分∠AEC,⑤BE+DF=EF.其中正确的结论是() A.④⑤ B.①② c.③⑤ D.①②③ 二、填空题 8.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，点A,点D在直线BE两侧，若BF=CE, AC‖DF,请添加一个适当条件，使得△ABC≌△(. D 9.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC延长线上一点，连接AD,过A作AE=AD, 且∠DAE=∠BAC,连接CE交AD于点F.若∠FCD=,则∠B的大小是 （用含的代数式表示). E 10.如图，△ABC≌△CDE中，若DE=11,AC=9,则BE的长为. 11.如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E, AD=2.5,DE=1.7,则BE= 12.如图，∠ABC=∠CAD=90°，AC=AD,若AB=2,则△BAD的面积为 D 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F. 若EF=EB=6,AE=8,则CF的长为 E B D 14.如图，AB⊥CD,且AB=CD.E、F是AD上两点，CE⊥AD,BF⊥AD.若 CE=a,AD=b,BF=C,则EF的长为 B E 三、解答题 15.已知a,b,c是△ABC的三边长. ()若a-b+b-c=0:试判断△ABC的形状. (2)化简：a-b-c+b+c-a+c-a-b 16.如图，点E,C,D,A在同一条直线上，AB‖DF,AB=DE,∠B=∠E. R D (1)求证：△ABC≌△乙： (2)若AB=8,CD=2,求CE的长， 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AC至点E,过点E作EF⊥AC,使 EF=BC,连接BF交CE于点D. (1)求证：CD=ED: (2)若G是AC上一点，满足AG=CE,连接FG,请你判断∠FGE和∠ABC的关系，并 证明你的结论， 18.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=20Cm.过点C作直线l⊥BC, 动点P从点C开始沿射线CB的方向以3cm/s的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线！ 上以2cm/s的速度运动.连接AP,AQ,设运动时间为ts 备用图 (1)当点P在边BC上时，请写出BP,CQ的长（用含t的代数式表示）：BP= cm, CQ=cm. (2)当点P在边BC上时，若△ABP的面积为30cm2,求t的值. (3)请利用备用图探究，当t的值为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 19.【思路梳理】 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,点E在BC上，连接AE,以AE为边作等腰三角形 ADE,连接BD,AD=AE,且∠BAC=∠DAE.则△ADB和△AEC全等吗？为什么？ 【问题解决】 (2)如图2，某景区内有一处大道CD,大道两侧均为花卉种植区，Rt△ABC区域为月 季种植区，且∠C=9O°，△ADF区域为牡丹种植区，Rt△AMD区域为菊花种植区， ∠DMA=90°，DE、EF均为观赏小道，点A在线段CD上，点E在线段AM上， AD=AB,△DFE为等腰直角三角形，DE=EF,∠EAB=90°，点F恰好在BA的延长 线上，求AE、AF、BC之间的数量关系，请说明理由. 图1 图2 20.【初步探索】 (1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、 CD上的点，且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD,∠EAF之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是：延长PD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、 CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延 长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=68°， 请求∠EAF的度数. D 图1 图2 图3 参考答案 1.解：A、手机支架设计依据的数学道理不是两点确定一条直线，A不正确： B、手机支架设计依据的数学道理不是垂线段最短，B不正确： C、手机支架设计依据的数学道理不是两点之间，线段最短，C不正确： D、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，D正确. 故选：D. 2.解：A、3+4=7<8,故此选项不能构成三角形，不符合题意； B、给定了AB=3,BC=5,∠BAC=60°，但∠BAC不是AB与BC的夹角，故为SSA条 件，不能唯一确定三角形，不符合题意； C、给定了AB=3,BC=5,∠ABC=60°，∠ABC是AB与BC的夹角，故为SAS条件， 能唯一确定三角形，符合题意； D、只给定了三个角，只能确定三角形的形状，不能确定大小，不符合题意： 故选：C. 3.解：①当3为底时，其它两边都为7， ,3、7、7可以构成三角形， .该三角形的周长为：3+7+7=17： ②当3为腰时，其它两边为3和7， .3+3<7, .3、3、7不能构成三角形，应舍去： 故选：C 4.解：CF是△ABC的中线， .∴.AB=2BF=2AF .CD是△ABC的高， ∴.CD⊥AB, .CE是△ABC的角平分线， .∠ACB=2∠ACE, 故A、B、D都正确，C不正确， 故选：C 5.解：.∠BAC=90°， .∴.∠BAD+∠CAE=90°， BD⊥DE, ∴.∠BDA=90°， .∴∠BAD+∠DBA=90°， ∴.∠DBA=∠CAE, .CE⊥DE ∴.∠E=90°， 在△BDA和△AEC中， ∠ABD=∠CAE ∠D=∠E AB=CA ∴.△BDA≌△AEC AAS, .∴.DA=EC=4,AE=BD=6. .'ED=DA+AE=10 6.解：设出发时间为x秒，由题意得：BP=X,BQ=3x, 当△APC≌△BQP时，AP=BQ,即20-x=3x,解得：x=5: 当△APC≌△BPQ时，AP=BP-号AB=10米. 此时所用时间为10秒，AC=BQ=3×10=30>18,不合题意，舍去： 综上，出发5秒后，在线段MA上有一点C,使△CAP与△PBQ全等. 故选：D 7.解：：E、F分别是CB、CD上的任意点， ∴.DF与BE不一定相等，故①错误； ,AB⊥CB于点B,AD⊥CD于点D, .∴.∠D=∠ABE=90°， AB=AD, ∴△ADF≌△ABE的另一个条件是DF=BE, .'DF与BE不一定相等， ∴.△ADF与△ABE不一定全等，故②错误： 延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,则∠ABG=180°-∠ABE=90°， ∴.∠ABG=∠D B ·G 在△ABG和△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠D BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS), ∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF,∠G=∠AFD, .∠BAD=140°，∠EAF=70°， .∴.∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=70°， ∴.∠EAG=∠EAF, 在△EAG和△EAF中， AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE .△EAG≌△EAF(SAS), ∴.∠G=∠AFE,∠AEB=∠AEF,EG=EF ∴.∠AFD=∠AFE,BE+DF=BE+BG=EG=EF, ∴.A平分∠DFE,故③⑤正确： 若EF平分∠AEC,而∠AEF=∠AEG, ∴.∠CEF=∠AEF=∠AEG=60°，与题干信息矛盾，故④错误： 故选：C 8.解：AC‖DF, ∴.∠ACF=∠DFC, .BF+CF=BC,CE+CF=EF. 又·BF=CE, ..BC=EF, 根据题意得，当∠B=∠E时，在△ABC和△就中， ∠B=∠E BC=EF ∠ACF=∠DFC .△ABC≌△ASA, 故答案为：∠B=∠E(答案不唯一). 9.解：.'∠DAE=∠BAC .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD-AE .∴.△BAD≌△CAE SAS, ∴.∠B=∠ACB=∠ACE, ,∠FCD=a,∠ACB+∠ACE+∠FCD=180°， .∠B+∠B+a=180, .∴.2∠B=180°-a, .∠B=90°- 2 故答案是：90°- 10.解：.'△ABC≌△CDE, ∴.BC=DE=11,CE=AC=9, ∴.BE=BC-CE=2, 故答案为：2. 11.解：：∠ACB=90, .∴∠BCE+∠ECA=90°， .AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠BEC=∠CDA=90°，∠ECA+∠CAD=90°， ∴.∠BCE=∠CAD, 在△BCE和△CAD中， ∠BCE=∠CAD BEC=∠CDA=90° BC=CA .△BCE≌△CAD(AAS), ∴.BE=CD,CE=AD=2.5, ∴.BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8, 故答案为：0.8， 12.解：过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E,如图所示： D ∴.·∠ABC=∠CAD=90° 2 A ∴.∠ABC=∠DEA=90°，∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°， .∠C=∠1， 在△ABC和△DEA中， ∠ABC=∠DEA=90· ∠C=∠1 AC=AD ∴.△ABC≌△DEA AAS, .'AB=DE=2, 5aw=AR~DR=×2×2=2. 故答案为：2. 13.解：，AD⊥BC,CE⊥AB, ∴.∠AEF=∠CEB=∠ADB=90 ∴.∠B+∠BAD=∠BAD+∠AFE=90°， .∠B=∠AFE, .EF=EB, ∴.△AEF≌△CEBASA, ..AE=CE=8 .CF=CE-EF=8-6=2, 故答案为：2 14.解：如下图所示，AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD, .∴.∠CED=∠DFB=∠AFB=∠BMD=90°， 在△MBN中，∠B+∠BMN+∠BNM=180°， 在△DFN中，∠D+∠BFD+∠DNF=180°， .'∠BNM=∠DNF, ∠B=∠D, ∠AFB=∠CED 在△ABF和△CDE中 ∠B=∠D AB=CD .∴.△ABF≌△CDE, ∴.AF=CE=a,ED=BF=c, .∴.AF+ED=a+c, 又AD=b .EF=AF+ED-AD=a+c-b. B F D 故答案为：a+c-b. 15.(1)解：“1a-b1+b-c2=0 ∴.a-b=0,且b-c=0, ∴.a=b=C, .∴.△ABC为等边三角形. (2)解：，a,b,c是△ABC的三边长， .a-b-c<0,b+c-a>0,c-a-b<0, ..a-b-c+b+c-a+c-a-b=-a+b+c+b+c-a-c+a+b=-a+3b+c. 16.(1)证明：AB‖DF, .∴.∠A=FDE, 在△ABC与△就中， ∠A=∠FDE AB=DE ∠B=∠E .△ABC≌△|ASA: (2)解：由(1)知△ABC≌△乙， .∴.AB=DE=8, CD=2, .∴.CE=DE-CD=8-2=6. 17.(1)证明：.EF⊥AC,∠ACB=90°， .∴.∠ACB=∠DCB=∠E=90°， 在△FDE和△BCD中， ∠E=∠DCB ∠CDB=∠FDE EF=BC .∴△FDE≌△BDCAAS, ∴.CD=ED: (2)解：∠FGE+∠ABC=90°，证明如下： ,△FDE≌△BDC, ..BC=EF, .AG=CE .∴.AG+GC=CE+GC,即AC=≥i, 在△ACB和△FGE中， AC=≥U∠ACB=∠E BC=EF ∴.△ACB≌△GEF(SAS), .∠FGE=∠BAC, .'∠BAC+∠ABC=90 ∴.∠FGE+∠ABC=90° 18.(1)解：由题意可得：CP=3tcm,CQ=2tcm, ..BP=BC-CP=20-3t 故答案为：20-3t;2t. (2)解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D. 0 ,AB=AC,∠BAC=90°，BC=20cm,AD⊥BC 图1 .∴.AD=BD=CD=10cm. ,'△ABP的面积为30cm2, ÷号px10-0, .BP=6, .20-3t=6, .t=14 3 (3)解：根据题意，分两种情况： ①如图2，当点Q向上运动时， .AB=AC,∠ACQ=∠ABP=45 B 图2 ..点P在线段CB上， 当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ|SAS, ∴.20-3t=2t, .t=4: ②如图3，当点Q向下运动时， .'AB=AC∠ACQ=∠ABP=135 图3 点P在线段CB的延长线上， .当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ|SAS, .∴.3t-20=2t, ∴.t=20 综上所述，当t的值为4或20时，△ABP与△ACQ全等. 19.解：(1)△ADB≌△AEC,理由如下： ,∠BAC=∠DAE .∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE. ∴.∠BAD=∠CAE ,在△ADB和△AEC中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ADB≌△AEC SAS. (2)BC=AE+AF,理由如下： .∠EAB=90°， .∠MAD+∠BAC=90°， .Rt△ABC,Rt△AMD. ∴.∠MAD+∠MDA=90°，∠AMD=∠C=90°， ∴.∠MDA=∠BAC ,在△MDA和△CAB中， ∠MDA=∠BAC ∠AMD=∠C=90° AD-AB ∴.△MDA≌△∠CAB AAS, ∴.AM=BC, ,∠EAB=90°，点F恰好在BA的延长线上， ∴.∠EAF=90°， ,△DFE为等腰直角三角形， .∠g=90, ∴.∠MED+∠FEA=90, ,Rt△AMD, ∴.∠MED+∠MDE=90°，∠EAF=∠M=90°， ,∠MDE=∠FEA, ,在△MDE和△AEF中， ∠M=∠FAE ∠MDE=∠FEA DE=EF .△MDE≌△AEF AAS, ..ME=AF. .AM=AE+ME, ∴.BC=AE+AF. 20.解：(1)结论：∠BAE+∠AD=∠EAF 理由：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, G E 图1 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG .△ABE≌△ADG SAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF=BE+DF .EF=DF+DG=FG. 在△AEF和△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF .∴△AEF≌△AGF SSS, ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF (2)结论∠BAE+∠FAD=∠EAF仍成立，理由如下： 如图2，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, B E 图2 ,∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°， .∠B=∠ADG, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠B=∠ADG=90° BE=DG ∴.△ABE≌△ADG|SAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, 在△AEF和△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF ∴.△AEF≌△AGFSSS, .∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, 故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF (3).∠ABC+∠ADC=180°，∠DCB=68°， ∠ABC+∠ADC+∠DCB+∠DAB=360°， ∴.∠DAB=360°-∠ABC-∠ADC-∠DCB=112°， 如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, 图3 ,∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG=90° BE=DG .△ABE≌△ADGSAS, .AG=AE,∠DAG=∠BAE, 在△AEF和△AGF中， AE=AG AF=AF EF=GF ∴.△AEF≌△AGFSSS, .∠FAE=∠FAG, ,∠FAE+∠FAG+∠GAE=360, .2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°， .2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°， ÷∠FAE=2360-∠DAB=360-112|=124°.