第4章 三角形 练习卷（提高篇）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形全等与性质综合应用，以题载法构建"判定-性质-转化"逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等三角形|选择1-3、13，解答32-36|SAS/ASA/AAS/HL判定，构造辅助线（如延长中线）|从边、角条件推导全等，关联对应边/角相等| |等腰三角形|选择5、10、11，解答38-40|等边对等角，分类讨论（顶角/底角）|结合三角形内角和，延伸至三线合一性质| |角平分线与折叠|选择3、14、15，解答42-44|角平分线性质（距离相等），折叠前后对应关系|通过轴对称转化角度，利用外角求未知量| |动态几何|选择9、39，填空29|方程思想（设时间/速度），分类讨论等腰情形|将运动问题转化为静态等量关系，培养抽象能力|

北师版七年级下册第4章 三角形练习卷（提高篇） 一．选择题（共20小题） 1．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则 下列结论，其中正确的是（　　） ①△AFB≌△AEC； ②BF＝CE； ③∠BFC＝∠EAF； ④AB＝BC． A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 3．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 5．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 6．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为（　　） A．110° B．125° C．130° D．155° 7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 8．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论： ①∠CEG＝2∠DCB； ②∠ADC＝∠GCD； ③CA平分∠BCG； ④∠DFB∠CGE． 其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（　　） A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 11．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　） A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40° 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（　　） A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 13．如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，将一张三角形纸片ABC的角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　） A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β 15．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 16．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则下列结论正确的是（　　） A．2α+∠A＝180° B．α+∠A＝90° C．2α+∠A＝90° D．α+∠A＝180° 19．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 二．填空题（共11小题） 21．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 22．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 　 　 ． 23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　 　 度． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝15cm，则△DEB的周长为 　 　 cm． 25．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　 ． 26．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝ 　 　 ． 27．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　 ． 28．如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　 　 ． 29．如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上面点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　 　 cm/s时，能够使△BPE与△CPQ全等． 30．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是 　 　 ．（用含α的代数式表示） 31．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB′的度数为 　 　 ． 三．解答题（共21小题） 32．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF， （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AC＝20，BE＝4，求AB的长． 33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 34．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：△DAE≌△CFE； （2）若AB＝BC+AD，求证：BE⊥AF． 35．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE+BF＝BC． 36．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED． 37．【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 38．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F． （1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数； （2）求证：FB＝FE． 39．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝128°时，∠EDC＝　 　 ，∠AED＝　 　 ； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE？请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 40．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB． 41．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长． 42．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝CD． （1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？ （2）求证：EG＝FG． 43．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）证明：△ADE≌△CFE； （2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB． 44．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 45．已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，且AB＝BC． （1）求证：△ABF≌△CBD； （2）已知AD＝7，BF＝2，求CF的长度． 46．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC的中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连接CF． （1）求证：CF∥AB； （2）若∠ABC＝50°，且AC平分∠BCF，求∠A的度数． 47．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2． 48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长． 49．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连结AD、AG． （1）求证：∠ABE＝∠ACG； （2）试判：AG与AD的关系？并说明理由． 50．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE． （1）求证：△ABE≌△BCD； （2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由； 51．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　 　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 52．如图，已知直线AB∥CD，M，N分别是直线AB，CD上的点． （1）在图1中，判断∠BME，∠MEN和∠DNE之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出∠BME，∠MEN和∠DNE之间的数量关系（不需要证明）； （3）在图3中，MB平分∠EMF，NE平分∠DNF，且∠F+2∠E＝180°，求∠FME的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中，， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中，， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 2．【分析】想办法证明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， ∵AF＝AE，AB＝AC， ∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确， ∴BF＝EC，故②正确， ∴∠ABF＝∠ACE， ∵∠BDF＝∠ADC， ∴∠BFC＝∠DAC，∵∠DAC＝∠EAF， ∴∠BFC＝∠EAF，故③正确， 无法判断AB＝BC，故④错误， 故选：A． 3．【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG＝∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【解答】解：作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H， ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG＝∠DFH，又∠DEG+∠BED＝180°， ∴∠BFD+∠BED＝180°， ∴∠BFD的度数＝180°﹣140°＝40°， 故选：A． 4．【分析】利用三角形的内角和定理求出∠DBC+∠DCB即可解决问题． 【解答】解：∴∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°， 故选：B． 5．【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）65°； 当50°是底角时亦可． 故选：C． 6．【分析】易证△ACD≌△BCE，由全等三角形的性质可知：∠A＝∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数． 【解答】解：在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SSS）， ∴∠A＝∠B，∠BCE＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠ECD， ∵∠ACE＝55°，∠BCD＝155°， ∴∠BCA+∠ECD＝100°， ∴∠BCA＝∠ECD＝50°， ∵∠ACE＝55°， ∴∠ACD＝105° ∴∠A+∠D＝75°， ∴∠B+∠D＝75°， ∵∠BCD＝155°， ∴∠BPD＝360°﹣75°﹣155°＝130°， 故选：C． 7．【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 8．【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可． ②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可． ③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可． ④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题． 【解答】解：∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠BCA， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCA＝2∠DCB， ∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝90°， ∴∠GCE+∠CEG＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠BCA+∠ABC＝90°， ∵∠CEG＝∠ACB， ∴∠ECG＝∠ABC， ∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB， ∴∠ADC＝∠GCD，故②正确， 假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG， ∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误， ∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°， ∴∠DFB∠CGE，故④正确， 故选：B． 9．【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可． 【解答】解：设运动的时间为x， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ， AP＝20﹣3x，AQ＝2x 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4． 故选：D． 10．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠ACB＝75°，由三角形外角的性质可得∠AED的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论． 【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝30°， ∴∠ACB＝75°， 在△ADE中，∵∠1＝∠A+∠AED＝145°， ∴∠AED＝145°﹣30°＝115°， ∵a∥b， ∴∠AED＝∠2+∠ACB， ∴∠2＝115°﹣75°＝40°， 故选：C． 11．【分析】根据题意先画出图形，再分两种情况：50°为底角和50°为顶角求出答案． 【解答】解：当50°为底角时， ∵∠B＝∠ACB＝50°， ∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°； 当50°为顶角时， ∵∠A＝50°， ∴∠B＝∠ACB＝65°， ∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°． 故选：B． 12．【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵∠B﹣∠A＝10°， ∴∠A＝40°，∠B＝50°， 设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°， 由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°， 当∠DFE＝∠E＝40°时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴140﹣x＝100+40+x， 解得x＝0（不存在）； 当∠FDE＝∠E＝40°时， ∴140﹣x＝40+40+x， 解得x＝30， 即∠ACD＝30°； 当∠DFE＝∠FDE时， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE， ∴140﹣x＝70+40+x， 解得x＝15， 即∠ACD＝15°， 综上，∠ACD＝15°或30°， 故选：C． 13．【分析】先由∠DAB＝∠CAE＝50°证明∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，可判断①正确； 设BE交AC于点G，因为∠AEB＝∠ACD，所以∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠AEB＝∠CAE＝50°，可判断②正确； 作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，由S△BAE＝S△DAC得AI•BEAJ•CD，则AI＝AJ，即可证明FA平分∠DFE，可判断④正确； 假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，所以∠BAF＝∠CAF，由∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，得∠AFB＝∠AFC，即可推导出△AFB≌△AFC，得AB＝AC，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°， ∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC， 在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD， 故①正确； 设BE交AC于点G， ∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠AEB＝∠CAE＝50°， 故②正确； 作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J， ∵S△BAE＝S△DAC， ∴AI•BEAJ•CD， ∴AI＝AJ， ∴点A在∠DFE的平分线上， ∴FA平分∠DFE， 故④正确； 假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE， ∴∠BAF＝∠CAF， ∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE， ∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE， ∴∠AFB＝∠AFC， 在△AFB和△AFC中， ， ∴△AFB≌△AFC（ASA）， ∴AB＝AC，与已知条件相矛盾， ∴∠DAF≠∠EAF， 故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故选：C． 14．【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论． 【解答】解：如图，设AC交DA′于F． 由折叠得：∠A＝∠A'， ∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'， ∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ， ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β， 故选：C． 15．【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°， 根据三角形内角和定理可得： ∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O， 则∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 16．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形， 当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形． 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D． 17．【分析】设∠1＝∠2＝x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题． 【解答】解：设∠1＝∠2＝x， ∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x， ∴∠DAC＝180°﹣4x， ∵∠BAC＝108°， ∴x+180°﹣4x＝108°， ∴x＝24°， ∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°． 故选：C． 18．【分析】先证明△BDF≌△CED，得∠BFD＝∠CDE，即可推导出α＝∠B＝∠C，由三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A＝180°，所以2α+∠A＝180°，可判断A正确； 由2α+∠A＝180°可推出α∠A＝90°，得α+∠A≠90°，可判断B错误； 由2α+∠A＝180°可得2α+∠A≠90°，可判断C错误； 若α+∠A＝180°，则∠C+∠B+∠A＞180°，与三角形的内角和等于180°相矛盾，可见α+∠A≠180°，可判断D错误． 【解答】解：在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∴α＝180°﹣∠CDE﹣∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠BDF＝∠B＝∠C， ∵∠B+∠C+∠A＝180°， ∴2α+∠A＝180°， 故A正确； 由2α+∠A＝180°得α∠A＝90°， ∴α+∠A≠90°， 故B错误； ∵2α+∠A＝180°， ∴2α+∠A≠90°， 故C错误； 若α+∠A＝180°， 由∠B+∠A＝180°， ∴∠C+∠B+∠A＞180°，与三角形内角和定理相矛盾， α+∠A≠180°， 故D错误， 故选：A． 19．【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 20．【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 二．填空题（共11小题） 21．【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 22．【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120° ∴∠BCD＝∠DBC＝30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60° ∴∠DBA＝∠DCA＝90° 延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN ∵∠MDN＝60° ∴∠BDM+∠CDN＝60° ∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN＝MF ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6． 23．【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，可求∠ABC＝∠BAD＝45°． 【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E ∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°， 又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等） ∴∠EAF＝∠DBF， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（AAS）， ∴BD＝AD， 即∠ABC＝∠BAD＝45°． 故答案为：45． 24．【分析】先根据ASA判定△ACD≌△ECD得出AC＝EC，AD＝ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到，周长＝BD+DE+EB＝BD+AD+EB＝AB+BE＝AC+EB＝CE+EB＝BC，所以为15cm． 【解答】解：∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝∠ECD ∵DE⊥BC于E ∴∠DEC＝∠A＝90° 在△ACD和△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（AAS）， ∴AC＝EC，AD＝ED ∵∠A＝90°，AB＝AC ∴∠B＝45° ∴BE＝DE ∴△DEB的周长为：DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝15cm． 故答案为：15． 25．【分析】证明△ABC≌△BED，推出S1+S2＝1，同理可得到S3+S4的值，由此即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BAC＝∠EBD． 在△ABC和△BED中， ， ∴△ABC≌△BED（AAS）， ∴BC＝DE． ∵S2＝DE2，DE＝BC， ∴S2＝BC2． ∵S1＝AC2，S2＝BC2，AC2+BC2＝AB2，AB2＝1， ∴S1+S2＝1． 同理S3+S4＝3． 则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4． 26．【分析】此题先根据已知条件利用AAS判定△BDH≌△ADC，得出BD＝AD，因为∠ADB＝90°，所以得出∠ABC＝45°． 【解答】解：∵△ABC为锐角三角形， ∴高AD和BE在三角形内． ∵高AD和BE交于点H， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°． ∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE， ∴∠EAD＝∠EBD， 又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°， ∴△BDH≌△ADC（AAS）， ∴BD＝AD， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ABC＝45°． 故答案为45° 27．【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 28．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝32，据此得出答案． 【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∵∠MON＝30°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， 又∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， ∴A6B6＝32B1A2＝64， 故答案为：64． 29．【分析】设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm，求出BE＝6cm，根据全等三角形的判定得出当BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP时，△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，再代入求出t、v即可． 【解答】解：设运动时间为t秒，点Q的运动速度是vcm/s，则BP＝3tcm，CQ＝vtcm，CP＝（8﹣3t）cm， ∵E为AB的中点，AB＝12cm， ∴BE＝AE＝6cm， ∵∠B＝∠C， ∴要使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等，必须BE＝CP，BP＝CQ或BE＝CQ，BP＝CP， 当BE＝CP，BP＝CQ时，6＝8﹣3t，3t＝vt， 解得：t，v＝3，即点Q的运动速度是3cm/s， 当BE＝CQ，BP＝CP时，6＝vt，3t＝8﹣3t， 解得：t，v，即点Q的运动速度是cm/s， 综合上述，当点Q的运动速度为3cm/s或cm/s时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：3cm/s或cm/s． 30．【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDF和△CED中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠EDC＝∠DFB， ∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°∠A， ∵∠FDE＝α， ∴∠A＝180°﹣2α， 故答案为：（180°﹣2α）． 31．【分析】借助△BMN≌△B′MN可得∠BMN＝∠B′MN，根据∠AMB′＝∠B′MN﹣∠AMN即可求解． 【解答】解：由折叠性质可知△BMN≌△B′MN， ∴∠BMN＝∠B′MN， ∵∠B＝35°，∠BNM＝28°， ∴∠B′MN＝∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°， ∴∠AMB′＝∠B′MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°， 故答案为：54°． 三．解答题（共21小题） 32．【分析】（1）求出∠E＝∠DFC＝90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BED≌Rt△CFD，推出DE＝DF，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出AE＝AF，BE＝CF，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， ∴在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE＝AF， ∵AC＝20，CF＝BE＝4， ∴AE＝AF＝20﹣4＝16， ∴AB＝AE﹣BE＝16﹣4＝12． 33．【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG； （2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）； （2）证明：由（1）得△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）． ∴EF＝EG， ∴BE＝BF+FE＝CG+EG． 34．【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE； （2）由（1）知△ADE≌△FCE，得到AE＝EF，AD＝CF，由于AB＝BC+AD，等量代换得到AB＝BC+CF，即AB＝BF，证得△ABE≌△FBE，即可得到结论． 【解答】证明：（1）△DAE≌△CFE理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）； （2）由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF， ∵AB＝BC+AD， ∴AB＝BC+CF， 即AB＝BF，在△ABE与△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SSS）， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∴BE⊥AE； 35．【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分线定义得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，证出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，证明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝36°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°； （2）证明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°， ∴AD＝CD， ∵∠EDF＝108°， ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中，， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∵CF+BF＝BC， ∴AE+BF＝BC． 36．【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 37．【分析】（1）根据垂直定义得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DAB+∠DBA＝90°，再根据∠BAC＝90°得∠DAB+∠EAC＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而可依据“SAS”判定△ABD和△CAE全等； （2）根据三角形外角性质得∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，再根据∠ADB＝∠BAC得∠EAC＝∠DBA，进而可依据“AAS”判定△EAC和△DBA全等得CE＝AD，AE＝BD，由此可得出DE，BD，CE的数量关系； （3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，则∠AGB＝∠M＝90°，进而得∠ABG+∠BAG＝90°，再根据∠BAD＝90°得∠BAG+∠DAM＝90°，由此得∠ABG＝∠DAM，进而可依据“AAS”判定△ABG和△DAM全等，则DM＝AG，同理可证明△ADC和△ENA全等得EN＝AG，则DM＝EN，然后再根据三角形的面积公式即可得出S1，S2大小关系． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1AH•DM，S2AH•EN， ∴S1＝S2． 38．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC即可解决问题． （2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠C＝36°， ∴∠ABC＝36°， ∵BD＝CD，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°． （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠FEB， ∴FB＝FE． 39．【分析】（1）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，得到答案； （2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝144°，∠ADB+∠EDC＝144°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE； （3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°， ∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°， 故答案为：16°；52°； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵AB＝2，DC＝2， ∴AB＝DC， ∵∠C＝36°， ∴∠DEC+∠EDC＝144°， ∵∠ADE＝36°， ∴∠ADB+∠EDC＝144°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形， ①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝72°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°； ②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝36°， ∴∠DAE＝108°， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝36°， ∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°； 综上所述，当∠BDA的度数为108°或72°时，△ADE的形状是等腰三角形． 40．【分析】利用SAS证得△ACD≌△ABD，从而证得BD＝CD，利用等边对等角证得结论即可． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∴在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB． 41．【分析】（1）首先依据平行线的性质证明∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，然后结合角平分线的定义可证明∠B＝∠C，故此可证明△ABC为等腰三角形； （2）首先证明△AEF≌△CFG，从而得到CG的长，然后可求得BC的长，于是可求得△ABC的周长． 【解答】证明：（1）∵AE∥BC， ∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE． ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠CAE． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． ∴△ABC是等腰三角形． （2）∵F是AC的中点， ∴AF＝CF． ∵AE∥BC， ∴∠C＝∠CAE． 由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC． 在△AFE和△CFG中， ∴△AFE≌△CFG． ∴AE＝GC＝8． ∵GC＝2BG， ∴BG＝4． ∴BC＝12． ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32． 42．【分析】（1）由垂直的定义得出∠AFB＝∠CED＝90°，证出AF＝CE，由HL证明Rt△ABF≌Rt△CDE即可； （2）由全等三角形的性质得出BF＝DE，证明△DEG≌△BFG（AAS），即可得出EG＝FG． 【解答】（1）解：△ABF与△CDE全等，理由如下： ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠CED＝90°， ∵AE＝CF， ∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）； （2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△CDE， ∴BF＝DE， 在△DEG和△BFG中，， ∴△DEG≌△BFG（AAS）， ∴EG＝FG． 43．【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可； （2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点， ∴AE＝CE． 又∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F， 在△ADE与△CFE中， ∴△ADE≌△CFE（AAS）． （2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7， ∴CF＝AD＝7， 又∵∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵E是边AC的中点，CE＝5， ∴AC＝2CE＝10． ∴AB＝10， ∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3． 44．【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得出结论； （2）由CF＝4可得出DC＝2CF＝8，故可得出AC的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 45．【分析】（1）根据CB⊥AD，AE⊥DC得∠ABF＝∠CBD＝90°，∠CEF＝90°，进而得∠A+∠AFB＝90°，∠C+∠CFE＝90°，再根据∠AFB＝∠CFE得∠A＝∠C，由此可依据“ASA”判定△ABF和△CBD全等； （2）根据全等三角形的性质得AB＝CB，BF＝BD＝2，则CB＝AB＝AD﹣BF＝5，然后再根据CF＝CB﹣BF即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵CB⊥AD，AE⊥DC， ∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠CEF＝90°， ∴∠A+∠AFB＝90°，∠C+∠CFE＝90°， 又∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠A＝∠C， 在△ABF和△CBD中， ， ∴△ABF≌△CBD（ASA）； （2）解：由（1）可知：△ABF≌△CBD， ∴AB＝CB，BF＝BD， ∴AD＝AB+BD＝AB+BF， ∴AB＝AD﹣BF， ∵AD＝7，BF＝2， ∴AB＝AD﹣BF＝7﹣2＝5， ∴AB＝CB＝5， ∴CF＝CB﹣BF＝5﹣2＝3． 46．【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根据全等得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：在△AED和△CEF中 ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ACF，∠ABC+∠BCF＝180°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠BCF＝130°， ∵AC平分∠BCF， ∴∠ACB＝∠ACF＝65°， ∴∠A＝∠ACF＝65°． 47．【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2． 【解答】证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2， ∵∠3＝∠BAD+∠ABD， ∴∠3＝∠1+∠2． 48．【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE； （2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3， ∵AC＝AB， ∴AC＝5， ∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2． 49．【分析】（1）易证∠HFB＝∠HEC＝90°，又∠BHF＝∠CHE，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先证△ABD≌△GCA（SAS），得出AD＝GA，∠ADB＝∠GAC，再由∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE，则∠AED＝∠GAD＝90°，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠HFB＝∠HEC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BHF，∠ACG＝90°﹣∠CHE， ∵∠BHF＝∠CHE， ∴∠ABE＝∠ACG； （2）解：AG与AD的关系为：AG＝AD，AG⊥AD，理由如下： ∵BE⊥AC， ∴∠AED＝90°， 由（1）得：∠ABD＝∠ACG， 在△ABD和△GCA中， ， ∴△ABD≌△GCA（SAS）， ∴AD＝GA，∠ADB＝∠GAC， 又∵∠ADB＝∠AED+∠DAE，∠GAC＝∠GAD+∠DAE， ∴∠AED＝∠GAD＝90°， ∴AD⊥GA． 50．【分析】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可； （2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABE+∠C＝180°， ∵∠C＝90°， ∴∠ABE＝90°＝∠C， ∵E是BC的中点， ∴BC＝2BE， ∵BC＝2CD， ∴BE＝CD， 在△ABE和△BCD中，， ∴△ABE≌△BCD（SAS）； （2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下： 由（1）得：△ABE≌△BCD， ∴AE＝BD， ∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AE⊥BD． 51．【分析】（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案； （2）根据全等三角形的性质可得AC＝BE＝6，再结合三角形的三边关系可得答案； （3）延长AD交EC于点F，证明△ABD≌△FCD，根据全等性质得CF＝BA，AD＝DF，利用∠ADE＝90°，结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案． 【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）由题意可得：AC＝BE＝6， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． （3）延长AD交EC于点F，如图： ∵∠B＝90°，CE⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCF 在△ABD和△FCD中． ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BA＝3，AD＝DF， ∴AE＝FE， ∴AE＝CE+CF＝9． 52．【分析】（1）结论：∠BME+∠DNE＝∠MEN．过点E作直线EF∥AB，利用平行线的性质即可解决问题． （2）结论：∠MEN＝∠BME﹣∠DNE．过点E作直线EF∥AB利用平行线的性质即可解决问题． （3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可． 【解答】解：（1）结论：∠BME+∠DNE＝∠MEN． 理由：如图1中，过点E作直线EF∥AB． ∵EF∥AB， ∴∠BME＝∠MEF， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD． ∴∠FEN＝∠DNE ∴∠MEN＝∠MEF+∠FEN＝∠BME+∠DNE． （2）结论：∠MEN＝∠BME﹣∠DNE． 理由：如图2中，过点E作直线EF∥AB． ∵EF∥AB， ∴∠BME＝∠MEF， 又∵AB∥CD， ∴EF∥CD． ∴∠FEN＝∠DNE， ∴∠MEN＝∠MEF﹣∠FEN＝∠BME﹣∠DNE． （3）∵MB平分∠EMF， ∴∠BMF＝∠BME， ∵NE平分∠DNF， ∴设∠DNF＝2∠DNE＝2∠a， 由（1），得∠E＝∠BME+∠DNE＝∠a+∠BME， 由（2），得∠F＝∠BMF﹣∠DNF＝∠BMF﹣2∠α， 又∵∠F+2∠E＝180°， ∠BMF﹣2∠a+2（∠a+∠BME）＝180°， ∴3∠BMF＝180°， 即∠BMF＝60°． ∴∠FME＝2∠BMF＝120° 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $