精品解析：安徽省蚌埠市怀远县2025-2026学年度八年级数学下学期期末B卷

2025-2026学年度第二学期 八年级数学学科（下册）期末素养测评（B卷） （满分：150分　时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列各组数中是勾股数的为（ ） A. B. C. D. 3. 数据，，，，，，，，，的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程 的两根是，则是（　　） A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1 5. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 7. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 8. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从年底至年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约万人增加到约万人．若设年底至年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 12. 已知直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为______． 13. 如图，在中，，是边的中点，连接，则的度数为______． 14. 如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接． （1）_______； （2）为直线上一个动点，连接，，则的最小值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 计算： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （2）利用无刻度直尺作出最长边上的中线． 18. 每年的农历五月初五是端午节（端午节是我国首个入选世界非遗文化遗产的传统节日），有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．求牛角粽与三角粽的单价． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 电影《长津湖》和《水门桥》是两部聚焦抗美援朝历史的影片，从观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生进行调查，让他们给这两部电影评分，下列图表是调查中的部分信息． 根据以上信息，解答下列问题： （1）电影《长津湖》得分的中位数和众数分别是多少？ （2）电影《水门桥》得分的平均数是多少？ （3）若该校有200名学生观看过这两部影片，且他们都对这两部作品进行评分，你认为这两部作品一共可以得到多少个满分？ 七、（本题满分12分） 22. 如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ （3）若，则 ． 八、（本题满分14分） 23. 综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： （1）________，的形状是________． 【探究与证明】 （2）如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 （3）设，则 （用等式表示，不写过程，直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 八年级数学学科（下册）期末素养测评（B卷） （满分：150分　时间：120分钟） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出x的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∵选项中只有2满足， 故选：D． 2. 下列各组数中是勾股数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意； 故选：D． 3. 数据，，，，，，，，，的第一四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，再计算第一四分位数的位置，根据位置规则即可得到结果．先求出原数据的中位数，再求出中位数左侧的数据的中位数也可得出第一四分位数． 【详解】解：原数据共个，将数据从小到大排序得：，，，，，，，，，， 方法一： ∵第一四分位数位置满足，这里数据个数， ∴， ∵不是整数，根据四分位数计算规则，向上取整得到位置为， ∴第一四分位数为排序后第个数据，即． 方法二： ∵原数据共个， ∴中位数是第、第个数据的平均数，即， ∴在中位数左侧的数据为，，，，， ∵这组数据共个， ∴这组数据的中位数是第个数据， ∴原数据的第一四分位数是． 4. 一元二次方程 的两根是，则是（　　） A. 2 B. 1 C. ﹣2 D. ﹣1 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可求解； 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关这是是解题的关键． 5. 如图，足球的表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此． 6. 若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为10，方差为6 B. 平均数为12，方差为6 C. 平均数为12，方差为8 D. 平均数为13，方差为9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据平均数的定义可得，则可推出，可求出，根据方差的定义可推出，则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 7. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是菱形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，特殊平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定方法分别判断即可确定正确的选项． 【详解】解：A、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以该选项结论正确，不符合题意； B、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以该选项结论正确，不符合题意； C、因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，所以若且，则四边形是正方形，该选项结论正确，不符合题意； D、当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断四边形是菱形，所以若且，则四边形不一定是正方形，该选项结论错误，符合题意； 故选：D． 8. 近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从年底至年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约万人增加到约万人．若设年底至年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，则可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】设全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为， 由题意得：， 故选：． 9. 如图，菱形纸片中，，将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合，若，那么菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的折叠问题、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，求出菱形的边长是解题的关键．利用折叠的性质和菱形的性质求出菱形的边长为，过点D作于点H，则，进一步求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵菱形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿着直线折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴，， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， 解得， 即菱形的边长为， 过点D作于点H，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交的延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 12. 已知直角三角形两直角边长分别为和，则斜边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再利用等面积法列方程求解斜边上的高即可． 【详解】直角三角形两直角边长分别为和， 斜边长为， 设斜边上的高为， 直角三角形的面积为：， 解得， 即斜边上的高为． 13. 如图，在中，，是边的中点，连接，则的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等边对等角等知识点，掌握在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键． 根据题意得到，即可得到，在角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，是边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接． （1）_______； （2）为直线上一个动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据矩形，折叠的性质，设，则，在中根据勾股定理列式求解即可； （2）如图所示，连接，由折叠得到，则当点三点共线时，的值最小，最小值为，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵为中点， ∴， ∵将矩形折叠，使点与点重合， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴； （2）如图所示，连接， ∵将矩形折叠，使点与点重合， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：①；② ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，； （2）利用无刻度直尺作出最长边上的中线． 【答案】（1）如图：即为所求， （2）如图：中线即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理并结合网格特点作图即可； （2）取格点、，则四边形为矩形，连接交于点，则，连接，中线即为所求． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 18. 每年的农历五月初五是端午节（端午节是我国首个入选世界非遗文化遗产的传统节日），有吃粽子（古称“角黍”）等习俗．某食品店零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵元，小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个．求牛角粽与三角粽的单价． 【答案】 牛角粽的单价为5元，三角粽的单价为8元 【解析】 【分析】设牛角粽的单价为元，则三角粽的单价为元，根据小杭曾在此食品店花元购买牛角粽的个数比花元购买三角粽的个数多个，建立方程求解即可． 【详解】解：设牛角粽的单价为元，则三角粽的单价为元， 由题意得， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴ 答：牛角粽的单价为5元，三角粽的单价为8元． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，交于点，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）因为，所以是的中点，而是的中点，根据三角形中位线定理得，即，因为，所以四边形是平行四边形； （2）由是的中点，是的中点，，根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是的中点，是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴的长是． 六、（本题满分12分） 21. 电影《长津湖》和《水门桥》是两部聚焦抗美援朝历史的影片，从观看过这两部电影的学生中各随机抽取了20名学生进行调查，让他们给这两部电影评分，下列图表是调查中的部分信息． 根据以上信息，解答下列问题： （1）电影《长津湖》得分的中位数和众数分别是多少？ （2）电影《水门桥》得分的平均数是多少？ （3）若该校有200名学生观看过这两部影片，且他们都对这两部作品进行评分，你认为这两部作品一共可以得到多少个满分？ 【答案】（1）中位数是8．5，众数是9 （2）8．5 （3）110个 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可作答．中位数：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数：出现次数最多的数； （2）先求出《水门桥》10分所占的百分比，在用每种分数分别乘以所占的百分比，所得的结果相加就是得分的平均数； （3）分别求出为两部电影评分满分的人数，再分别乘以，所得的结果相加即可． 【小问1详解】 ∵一共抽查了20个人， ∴中位数等于第十个和第十一个学生评分的平均数； 由图可知，第十个人评分8分，第十一个人平分9分； ∴中位数=； 由图可知，评分为9分的人数最多； ∴众数是9 【小问2详解】 评分为10分的人数所占百分比=1-10%-20%-15%-20%=35%=0.35 ∴平均数=， 答：电影《水门桥》得分的平均数是8.5； 【小问3详解】 抽出的20人中，《长津湖》得到满分的有4个， 《水门桥》得到满分的有（个）， 所以（个）． 答：这两部作品一共可以得到110个满分． 【点睛】本题主要考查了统计相关的知识，熟练地掌握中位数和众数的定义、加权平均数的求法以及用样本估计总体是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图所示，都是直角三角形，请细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． ； ； ； …… （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律： ， ； （2）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？ （3）若，则 ． 【答案】（1）n； （2）第20个三角形 （3）15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的规律探索，二次根式的性质，二次根式的乘法，一元二次方程的解法，实数的混合运算等，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理和三角形的面积求解即可； （2）根据（1）中的规律计算即可； （3）根据（1）的结论列出方程，解方程得到答案． 【小问1详解】 解：根据题中反映的规律可得：， 则； 故答案为：n；； 【小问2详解】 解：，一个三角形的面积是， ， ∴， 说明是第20个三角形； 【小问3详解】 解：由规律可得：， 即， ∴， ， ∴或（舍去）， 故答案为：15． 八、（本题满分14分） 23. 综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： （1）________，的形状是________． 【探究与证明】 （2）如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 （3）设，则 （用等式表示，不写过程，直接写出结果） 【答案】（1），等腰直角三角形 （2）证明：由（1）可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，由正方形的性质可得，，，证明出，，从而可得，得出，从而可得，再证明，得出，即可得出结果； （2）由（1）可得，，由正方形的性质可得，，，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，即可推出四边形为平行四边形，再结合，即可得证； （3）由（1）可得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得，， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵将边和边对折后在上重合，得到折痕和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $