精品解析：安徽池州市2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试卷

2025−2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 4. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 11 6. 在中，，，的对边分别记为，，，下列条件中，能够判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 7. 随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 9. 等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程．的两个根，则n的值为（ ） A. 6 B. 6或7 C. 7或8 D. 7 10. 对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A. t＜ B. t＞ C. t＜ D. t＞ 二、填空题（每题4分，共16分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 12. 如图，，，，均在正方形网格的格点上，则______°． 13. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺． 14. 如图，在菱形中，是边的中点，过点作于点，连接，． （1）线段与的数量关系为________； （2）设、、的面积分别为、、，则、、的数量关系为________． 三、本小题共3小题，每题8分，共24分 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1）． （2） 17. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 四、本小题共2小题，每题8分，共16分 18. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 19. 如图所示，中，，是边上的高，是的平分线且是的一个外角，且，证明：四边形是矩形． 五、本小题共1小题，每题10分，共10分 20. 借阅航天书籍的学生络绎不绝，学校想要了解大家对于航天知识的掌握程度，组织了一场“航天知识竞赛”，从七、八年级各随机抽取10名学生的参赛成绩（百分制）进行收集整理，共分成四组：A（），B（），C（），D（）．分析并绘制成如图所示统计图表，过程如下： 收集数据： 【信息一】抽取的七年级10名学生的成绩：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99； 【信息二】抽取的八年级10名学生的成绩中落在C组的数据是：94，94，90． 数据整理： 抽取的八年级竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 数据分析： （1）直接写出上述图表中，，的值和所抽取的七年级学生成绩的第百分位数； （2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更稳定？并说明理由； （3）若该中学七、八年级共人参加此次知识竞赛（假设七、八年级学生人数一样多）．请估计成绩达到优秀（）的学生人数． 六、本小题共2小题，每题12分，共24分 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 22. 如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，连接，于，交于点． （1）求证：； （2）若点是上的一点，，连接并延长交于点，连接． ①求证：； ②求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、，不是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，， C. 5，12，13 D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，，，都不是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； B、1，，不都是正整数，则不可能是勾股数，故选项不合题意； C、，能构成直角三角形，且都是正整数，故选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故选项不合题意． 故选：C． 4. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得． 所以这个多边形是五边形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 5. 若一组数据的方差为2，则数据的方差是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的定义进行求解，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加3，所以波动不会变，方差不变． 【详解】解：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，设原平均数为，现在的平均数为， 原来的方差， 现在的方差， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 6. 在中，，，的对边分别记为，，，下列条件中，能够判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角形内角和定理，勾股定理逆定理和三角形三边关系，逐一判断每个选项即可 【详解】解：选项A：，， ， ，不满足勾股定理逆定理，不能判定为直角三角形； 选项B：设，， 由三角形内角和为得， 解得 最大角，不是直角三角形，排除B； 选项C：， 设，， ，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，排除C； 选项D：对等式变形得， 整理得 根据勾股定理逆定理，判定是直角三角形 7. 随着光伏产业的发展，光伏组件的制造技术逐渐成熟．某光伏组件厂的制造成本逐渐降低，今年第三季度的制造成本是第一季度制造成本的．若每个季度的制造成本下降百分率都相同，则每个季度的下降百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用一元二次方程求解即可，设第一季度成本为单位1，设下降百分率为x，根据题意列方程，舍去不符合题意的解即可得到结果． 【详解】解：设每个季度的下降百分率为，设第一季度制造成本为单位， ∵从第一季度到第三季度共经过个季度，且第三季度制造成本为第一季度的， ∴， 开方得， ∵下降率满足， ∴取正根得， 解得． 8. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选：B． 9. 等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程．的两个根，则n的值为（ ） A. 6 B. 6或7 C. 7或8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a=2或b=2，②a=b；当①当a=2或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2-6x+n+2=0即可得到结果；当②当a=b时，方程x2-6x+n+2=0有两个相等的实数根，由Δ=（-6）2-4（n+2）=0可得结果． 【详解】解：∵三角形是等腰三角形， ∴①a=2或b=2，②a=b两种情况， ①当a=2或b=2时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n+2=0的两根， ∴x=2， 把x=2代入x2-6x+n+2=0得，， 解得：n=6， 当n=6，则方程为， ∴ 解得： ∴方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=6不合题意， ②当a=b时，方程x2-6x+n+2=0有两个相等的实数根， ∴Δ=（-6）2-4（n+2）=0 解得：n=7， ∴方程为： 解得： 此时满足三角形三边关系， 综上所述，n=7． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用． 10. 对于实数a、b，定义运算“★”：a★b=，关于x的方程（2x+1）★（2x-3）=t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ） A. t＜ B. t＞ C. t＜ D. t＞ 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况：①当2x+1≤2x-3成立时；②当2x+1＞2x-3成立时；进行讨论即可求解． 【详解】解：①当2x+1≤2x-3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b时不成立； ②当2x+1＞2x-3成立时，即1＞-3，所以a＞b时成立； 则（2x-3）2-（2x+1）=t， 化简得：4x2-14x+8-t=0， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， △=142-4×4×（8-t）＞0； 解得：t＞． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算． 二、填空题（每题4分，共16分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题关键是得出． 根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值． 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 解得： 故答案为：1． 12. 如图，，，，均在正方形网格的格点上，则______°． 【答案】45 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠EAC=∠ABC，再根据等腰直角三角形的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠ACB， ∴∠EAC=∠ABC， ∵△AED是等腰直角三角形， ∴∠EAD=45°， ∵∠EAC-∠DAC=45°， ∴∠ABC-∠DAC=45°． 故答案为：45． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质以及等腰直角三角形的判定和性质，关键是得到∠EAC=∠ABC． 13. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中BD=x． ∴BC=BE-CE=x-4（x＞4），CD=CF-DF=x-2（x＞2）， 在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 由勾股定理得：BC2+CD2=BD2， 所以（x-4）2+（x-2）2=x2， 整理，得x2-12x+20=0， 因式分解，得（x-10）（x-2）=0， 解得x1=10，x2=2， ∵x＞4， ∴x=10． 答：竹竿为10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 14. 如图，在菱形中，是边的中点，过点作于点，连接，． （1）线段与的数量关系为________； （2）设、、的面积分别为、、，则、、的数量关系为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）延长交于点，证明，则得到，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可； （2）根据全等三角形的面积相等以及三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1）延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 三、本小题共3小题，每题8分，共24分 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【详解】略 四、本小题共2小题，每题8分，共16分 18. 如图，四边形中，，，为对角线． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）已知，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，顶点E，F分别在边，上（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2） 如图， 四边形就是所求作的菱形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明，即，从而可得结论； （2）作对角线的垂直平分线交于，交于，从而可得菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练的利用菱形的判定进行作图是解本题的关键． 19. 如图所示，中，，是边上的高，是的平分线且是的一个外角，且，证明：四边形是矩形． 【答案】证明： 平分 ∵ 四边形为平行四边形 ， ∴四边形为平行四边形 又 ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质证明四边形为平行四边形，再由证明其为矩形即可． 【详解】略 五、本小题共1小题，每题10分，共10分 20. 借阅航天书籍的学生络绎不绝，学校想要了解大家对于航天知识的掌握程度，组织了一场“航天知识竞赛”，从七、八年级各随机抽取10名学生的参赛成绩（百分制）进行收集整理，共分成四组：A（），B（），C（），D（）．分析并绘制成如图所示统计图表，过程如下： 收集数据： 【信息一】抽取的七年级10名学生的成绩：80，86，99，96，90，99，100，82，89，99； 【信息二】抽取的八年级10名学生的成绩中落在C组的数据是：94，94，90． 数据整理： 抽取的八年级竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 数据分析： （1）直接写出上述图表中，，的值和所抽取的七年级学生成绩的第百分位数； （2）根据图表中的数据，判断七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更稳定？并说明理由； （3）若该中学七、八年级共人参加此次知识竞赛（假设七、八年级学生人数一样多）．请估计成绩达到优秀（）的学生人数． 【答案】（1）；；；第百分位数为 （2）八年级学生的竞赛成绩更稳定，理由如下：，， ∴八年级学生的竞赛成绩更稳定 （3）参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数约为人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图求解，根据中位数和百分位数的定义求解和百分位数，再根据众数的定义求解； （2）根据平均数和方差判断即可； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：，故； 八年级共10个数据，则中位数是第5，6个数据的平均数，A组有个，B组有个，C组的数据是90，94，94，故第5，6个数据是94，94，则中位数； 七年级10名学生的成绩排序：80，82，86，89，90，96，99，99，99，100， 方法一：，取整数3， ∴第百分位数为86； 方法二：前5个数据80，82，86，89，90的中位数即第百分位数为86； 七年级数据中出现的次数最多，故众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抽取的八年级名学生的成绩中，分数达到优秀的人数有：（人）， ∴参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数约为（人）， 答：参加此次知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数约为人． 六、本小题共2小题，每题12分，共24分 21. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】（1）1152元 （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【小问1详解】 解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 22. 如图，在正方形中，，为边上的两个三等分点，连接，于，交于点． （1）求证：； （2）若点是上的一点，，连接并延长交于点，连接． ①求证：； ②求的大小． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ∵⊥， ， ， 在和中， ∴， ∴， ∵，为边上的两个三等分点， ∴， ∴； （2）①证明：∵，为边上的两个三等分点， ∴， ， ∴是的中位线， ，即， ∵正方形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ， 由（1）得， ∴ ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）①先证明四边形是平行四边形，再由求证即可； ②过点分别作于点，，交的延长线于点，证明，再由角平分线的判定求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如解图，过点分别作于点，，交的延长线于点， ，， ，， 由（1）得， ， ， 即， ∵，为边上的两个三等分点， ， ∵， ， ， ， ， ，， ∴是的平分线， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $