湖南邵阳市邵阳县石齐学校2025-2026学年高一下学期数学期末考试模拟卷

**基本信息** 2025-2026年高一数学期末模拟卷，以集合、立体几何、函数等知识为载体，通过党史竞赛统计分析、“倒域区间”新定义等情境设计，考查数学抽象、空间观念与创新意识，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、方差、斜二测画法|第2题考查均值方差性质，夯实基础概念| |多选题|3/18|向量运算、不等式最值|第10题结合正数条件求最值，体现逻辑推理| |填空题|3/15|复数模、分层抽样、解三角形|第13题以全运会吉祥物抽样为情境，联系实际| |解答题|5/77|统计、立体几何、函数新定义|第19题“倒域区间”新定义考查创新思维；第15题党史竞赛统计分析，体现数学语言表达现实世界|

湖南省邵阳市邵阳县石齐学校 2025-2026年高一数学期末考试模拟卷及答案 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知集合，，则（ ） A． B．C． D． 2．已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（    ） A．20，2 B．21，2 C．21，4 D．20，4 3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 5．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（ ） A． B． C．－ D． 7．已知定义在上的偶函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 8．如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 二、多选题（每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与的夹角为30° D． 10．设正数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知正方体的棱长为1，，其中 ，，且，则下列选项正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．的轨迹长度为 D．取最小值 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知复数，则复数的模为________． 13．第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 四、解答题（共5大题，共77分） 15．（本题13分）某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. (1)求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； (2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 16．（本题15分）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. (1)用，表示，； (2)若，，，求与的夹角的余弦值. 17．（本题15分）已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长. 18．（本题17分）在多面体ABCDEF中，，且， . (1)证明：； (2)若平面平面，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求该多面体的体积. 19．（本题17分）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)求函数在内的“倒域区间”； (3)若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A A B A D AD BCD 题号 11 答案 AC 3．A【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以．故选：A． 4．A【详解】若，则，展开整理得. 又向量，，所以，.故选：A. 5．A【详解】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， 从而圆台的高为，所以圆台的体积. 6．B【详解】 ， 7．A【详解】由，令，得， 又令得，再令，，又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 8．D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值． 【详解】因为在区间，上是“凸函数”， 所以，得 即：的最大值是 9．AD【详解】以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，， 由于，所以，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象，在方向上的投影向量为，B错误； ，所以与的夹角不是为30°，C错误； ，则，D正确． 10．BCD【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为 ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ，当且仅当，即时等号，故D正确； 11．AC【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，， 又因为平面,平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面,，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 因为，所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形，所以，异面直线与所成的角为，B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得， 即取最小值为，故D错误. 12． 13．【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为，样本总量. 14．【详解】因为，即， 所以，即， 所以，因为，所以， 所以，，由，解得， 所以， 因为，所以，，所以. 15．(1)，第百分位数为分;(2)平均值为分，名学生获奖 【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得：； 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，，，解得：， 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分. （2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，，此次竞赛活动学生得分的平均值， 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为， 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖. 16．(1),(2) 【详解】（1）因为点是的中点，点，分别是，的四等分点 所以， 因为，.所以， （2）因为，，，所以， 所以 ， 令与的夹角为，，所以与的夹角的余弦值为. 17．（1）；（2）8. 【详解】（1） ，又，所以， 所以当即时，取得最小值，所以， （2）因为，，所以， 又，所以，所以由正弦定理有，所以. 18．(1)证明见解析；(2)；(3)16 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理可得，即； 满足，即； 又，所以； 同理可得， 因为，平面，， 所以平面, 又平面，所以； （2）若平面平面,由（1）知， 所以可得平面，平面，所以， 且，，由勾股定理可知， 取的中点为，连接，如下图所示： 易知，即可得即为二面角的平面角， 显然，，又， 在中，， 即可得二面角的余弦值为. （3）连接，如下图所示： 易知多面体的体积等于四棱锥的体积加上三棱锥的体积； 由（2）可知和分别是四棱锥和三棱锥的高， 易知， ， 可得多面体的体积. 19．(1)；(2)；(3)存在，． 【详解】（1）当时，， 所以 （2）设，显然在上递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以解得，所以在内的“倒域区间”为． （3）因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，， 所以，即a，b同号，所以只需考虑或， 当时，根据的性质知，最大值为1，，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，最小值为，，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为． 所以． 依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，m应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数． 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一根知， 综上所述：． 【点睛】关键点点睛：（3）根据题中的意义我们需要将集合恰含有2个元素转化为与函数的图像有两个交点，来求解. 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $