1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（教学课件）——2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，内容为“空间中的点、直线与空间向量”，属于人教B版(2019)选择性必修第一册第一章。包含学习目标、新课导入的“尝试与发现”问题、方向向量性质、两直线所成角关系、公垂线段概念，以及例1至例4的例题解析、课堂练习和知识总结，构建完整学习支架。 资料特色突出，通过“尝试与发现”引导学生用数学眼光观察空间几何问题，结合正方体、三棱锥等实例，运用空间直角坐标系和向量运算培养逻辑推理与数学计算能力，多方法解题（如例3三种方法）提升思维灵活性。课堂练习针对性强，帮助高二学生衔接立体几何与向量知识，提升空间想象和逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源，助力核心素养培养和升学备考。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法，体现逻辑推理能力（重点） 了解空间中两条异面直线的公垂线段，体现数学抽象能力（重难点） 了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的角，体现数学计算能力（重点） 2 新课导入 尝试与发现：(1)如图所示的四面体A−BCD中，怎样借助空间向量来描述 A，B，C 在空间中是不同的点？ (2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？ 3 新课学习 因为 所以只借助向量v不能确定直线AB在空间中的位置，但是向量v可以描述所有与直线AB平行或重合的直线． 4 新课学习 方向向量的概念 一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v//l． 5 新课学习 思考一下：根据直线的方向向量的定义，思考直线方向向量有什么性质？ 6 新课学习 思考一下：根据直线的方向向量的定义，思考直线方向向量有什么性质？ 7 新课学习 例1：已知正方体ABCD−A1B1C1D1中， E为C1D1的中点， 求证：直线BD1与直线CE不平行. 8 新课学习 例1：已知正方体ABCD−A1B1C1D1中， E为C1D1的中点， 求证：直线BD1与直线CE不平行. 由上可知直线BD1与直线CE不平行. 9 新课学习 我们已经知道，空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小；两条异面直线a，b所成角的大小，等于两条相交直线a′，b′ 所成角的大小，其中a′与a平行或重合，b′与b平行或重合；空间中两条平行直线所成角的大小规定为 0∘ . 这就是说，空间中任意两条直线所成角（即它们之间的夹角）的大小都是确定的．特别地，当空间中两条直线l，m 所成角的大小为90∘ 时，l与m垂直，记作 l⊥m ． 10 新课学习 尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<v1，v2>的关系. 如下图(1)(2)所示，可以看出θ=<v1，v2>或θ=π−<v1，v2>. 特别地， sin θ=sin<v1，v2>, cos θ=|cos<v1，v2>|. 而且， 11 新课学习 思考一下：根据直线与直线所成的角，可以判定必修部分的什么知识？ 利用上述直线与直线所成的角与它们的方向向量的夹角之间的关系，可以方便地证明我们在必修部分中归纳出的线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 12 新课学习 例2：已知a，b是平面α内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b. 求证：n⊥α. 设m是α内的任意一条直线，且n，a，b，m分别为直线n，a，b，m的方向向量，如图所示.则根据已知有 n⋅a=0，n⋅b=0. 因为a与b相交， 所以a，b不共线，又因为a，b，m共面， 所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对(x , y)，使m=xa+yb，因此 n⋅m=xn⋅a+yn⋅b=0 从而可知n⊥m，所以n⊥m. 因为直线n垂直于平面α内的任意一条直线，所以n⊥α. 13 新课学习 例3：如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA,OB, OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小. 方法一： 又因为 所以 14 新课学习 例3：如图所示，在三棱锥O−ABC中，OA,OB, OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2，求直线AE与BC所成角的大小. 方法一： 类似地， 所以 15 新课学习 方法二： 因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点， 的方向分别为x轴、 y轴、 z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.则由OB=OC= 2OA=2可知 A(1,0,0)，E(0,0,1)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， x y z 16 新课学习 设OB的中点为F，连接EF，AF. 由E，F分别为OC，OB中点可知EF为△OBC的中位线，从而EF//BC，因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小. 方法三： 又易知OA=OE=OF=1，而且OA，OE，OF两两互相垂直，因此 AE=EF=AF= F 17 新课学习 尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． (1)如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？ (2)如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的；反之，如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交．这就是说，“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． 18 新课学习 尝试与发现：设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． (1)如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗？ (2)如果v1与v2不平行，那么l1与l2一定异面吗？ 19 新课学习 例4： 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)， 假设满足条件的M，N存在，而且 20 新课学习 例4： 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，判断满足下列条件的点M，N是否存在：M∈AD1，N∈BD，MN⊥AD1，MN⊥BD. 因此，满足条件的M，N是存在的. 21 新课学习 公垂线段的概念 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 C 25 课堂练习 26 课堂练习 A 27 课堂练习 28 课堂练习 B 29 课堂练习 30 课堂练习 2 31 课堂总结 1.方向向量的概念 2.公垂线段的概念 32 谢 谢 观 看 33 一般地，如果在空间中指定一点O ，那么空间中任意一点P的位置， 都可以由向量 唯一确定，此时， 通常称为点P的位置向量． 特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定， 从而也就由它的坐标唯一确定. 尝试与发现：(1)如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，设 ．如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？ (2)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？ 2.如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数 ，空间向量 也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； 3.如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于 直线l上任意一点B，向量 一定与非零向量v平行，从而可知存在唯 一的实数 ，使得 ，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点 A唯一确定； 1.如果A，B是直线l上两个不同的点，则 就是直线l的一个方向向量； 4.如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则 ，或l1与l2重合. 又因为 ， 所以 与 不平行. 以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴、 y轴、z轴正方向， 正方体的棱长为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 B(1，1，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，E(0， ，1)， , 因此 ，即直线AE与BC所成角的大小为 . , . 因此 ，即直线AE与BC所成角的大小为 . ， ， 所以 , ,因此 所以△AEF是等边三角形， 从而 . 因此，直线AE与BC所成角的大小为 . 如图(1)(2)所示，如果 ， ：则l1与l2异面时，可知v1，v2， 是不共面的；反之，如果v1，v2， 不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时，v1，v2， 不共面是l1与l2异面的充要条件． ， 以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴、 y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 所以 ， ， . 解得 ， . 则 . 因为 ， ，所以 ， ，从而 1.若 ， 在直线l上，则直线l的一个方向向量是( ) A. B. C. D. 解析：因为A，B在直线l上，所以 ，与 共线的向量 可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与 均不共线. 故选：B. 2.若 ， 分别为直线 ， 的一个方向向量，则( ). A. B. 与 相交，但不垂直 C. D.不能确定 解析：由 ， ，得 ，所以 ，即 . 故选：C. 3.已知直线l的一个方向向量 ，且直线l过 和 两点，则 等于( ) A.0 B.1 C. D.3 解析：因为A，B点在直线l上，必有 ， ， ， ，解得： ； 故选：A. 4.在正方体 中，PQ与直线 和AC都垂直，则直线PQ与 的位置关系是( ) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解析：设正方体的棱长为1.以D为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则 ， . 设 ，则 取 . ， ， . 5.已知直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，若 ，则实数m的值为__________. 解析：因为 ，所以 ，则 ，解得 . $