1.2.2 空间中的平面与空间向量 第2课时课件——2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与空间向量 第2课时 新授课 1.理解三垂线定理及其逆定理，会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：过平面外一点，能做几条直线与平面垂直？ 有且只有一条. α A′ A l 已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A',则A'就是点A在平面α内的射影(也称为投影). 知识点一：三垂线定理及其逆定理 可以看出，当A不是平面α内的点时，如果A的射影为A′,则与都是平面a的一个法向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影. 例如，如图所示，如果△ABC的顶点A在平面α内，B与C都在平面α外，则分别过B与C作α的垂线，设交点分别为B′，C′，则△AB′C′就是△ABC在平面内的射影.而且，此时与都是平面α的一个法向量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α=B)，设其中A'是A在平面α内的射影，而l是平面α内的一条直线，如图所示.判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： (1)当l⊥A′B时，l⊥AB； (2)当l⊥AB时，l⊥A′B. 证明：设，则由 且可知 ，即 又因为 =+ + ， 所以 =(+ ) = + =0 因此 . (1)如果则 ， =0， 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)如果，则 ， =0，又因为 =+ ， 所以 = (+ ) +=0 因此. (2)当l⊥AB时，l⊥A′B. 新课讲授 学习目标 课堂总结 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 归纳总结 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个正方体， 求证：A1D⊥BD1. 证明 连接AD1， ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体， ∴AB⊥面ADD1A1， ∴BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1. 又∵ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1， ∴根据三垂线定理可知A1D⊥BD1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 如图所示的三棱锥O-ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 证明 ∵ CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB=O， ∴CO⊥面OAB. ∵CD在平面OAB内的射影为OD， 又∵CD⊥AB， ∴根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 应用三垂线定理或其逆定理解题的思路： 确定平面及平面垂线 确定平面的斜线及斜线的射影 在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直 一定平面 二找垂线 三证垂直 新课讲授 学习目标 课堂总结 如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD. 证明　∵PA⊥正方形ABCD所在平面， 则PC，PO在平面ABCD内的射影为AC，AO， 又AC⊥BD，AO⊥BD， 由三垂线定理得，PO⊥BD，PC⊥BD. 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.应用三垂线定理或其逆定理解题的思路是怎样的？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$