1.2.2 课时2 三垂线定理及其逆定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.2.2 课时2 三垂线定理及其逆定理 第一章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.理解三垂线定理及其逆定理，会用三垂线定理及其逆定理解决简单的问题. 学习目标 作者编号：32200 前面我们学习了空间两条直线垂直的判断方法，借助两条直线的方向向量的数量积是否为0，就可以断定两条直线是否垂直，除此之外，是否还有更直观、更简洁的证明方法呢？ 问题导入 … … … 作者编号：32200 问题：如图，已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足(即AB不垂直于α，且AB∩α＝B)，设A′是A在平面α内的射影，l是平面α内的一条直线，当l⊥A′B时，你能判断l与AB之间的关系吗？ 设，则由 且可知 ，即 又因为 =+ + ， 所以 =(+ ) = + =0 因此 . 如果则 ， =0， 新知探究 … … … 作者编号：32200 追问：如图，如果将三垂线定理中的“l⊥A′B”改为“l⊥AB”，你能得到什么结论呢？ 如果，则 ， =0， 又因为 =+ ， 所以 = (+ ) +=0 因此. 设，则由 且可知 ，即 新知探究 … … … 作者编号：32200 知识梳理 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 作者编号：32200 (1)三垂线定理描述的是斜线AB，射影A'A和直线l之间的垂直关系； (2)直线l可以移动，但只能在平面内移动.因此，直线l和斜线A'A可以相交也可以异面； (3)三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理. 提醒 新知探究 … … … 作者编号：32200 概念辨析 下列命题中正确的是( ) A.如果直线l与平面α外的一条直线l′在平面α内的射影垂直，则l⊥l′ B.如果直线l与平面α外的一条直线l′垂直，则l与l′在平面α内的射影垂直 C.如果向量a和直线l在平面α内的射影垂直，则a⊥l D.如果非零向量a和平面α平行，且和直线l垂直，直线l不与平面α垂直，则a垂直于l在平面α内的射影 D 新知探究 … … … 作者编号：32200 例1 如图，已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC. 证：∵PA⊥平面ABC，∴PC是平面ABC的斜线， ∴AC是PC在平面ABC上的射影， ∵BC⊂平面ABC且AC⊥BC，∴由三垂线定理得PC⊥BC. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB. 证：∵PQ⊥α于点Q，OR⊥α于点R， ∴PO在平面α内的射影为QR， 又PO⊥β于点O，α∩β＝AB，∴PO⊥AB， ∴由三垂线定理的逆定理知，QR⊥AB. 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 应用三垂线定理或其逆定理解题的思路： 确定平面及平面垂线 确定平面的斜线及斜线的射影 在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直 一垂 二射 三证 作者编号：32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.应用三垂线定理或其逆定理解题的思路是怎样的？ 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.正方体的体对角线与各个面上与其不共端点的面对角线的位置关系是(　　)　 A.异面垂直 B.异面不垂直 C.可能相交可能异面 D.可能相交、平行或异面 2.菱形ABCD∥平面α，PA⊥α，则PC与BD的位置关系是_____. A 垂直 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的度数(　　) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小 C 当堂检测 … … … 作者编号：32200 $$