第10章 分式 假期自主巩固提升训练题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念辨析-运算深化-模型应用”为主线，整合分式核心方法（分离常数法、倒数法等），构建从基础到综合的逻辑训练体系，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空9|分式定义/性质辨析、最简分式判断|从分式概念生成到性质应用，夯实基础认知| |运算化简|单选4-5、填空10-12、解答15-16|分离常数法、整体代入法、分式混合运算技巧|衔接分式基本运算与代数变形，强化推理能力| |方程应用|单选6-7、填空13、解答17、19-20|分式方程求解与验根、参数取值范围分析、实际问题建模|从方程求解到实际应用，体现模型意识| |数学方法|解答18|倒数法|通过专题方法迁移，提升问题转化能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第10章分式》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则 D．分式中的x，y的值同时扩大2倍，则分式的值保持不变 2．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 4．已知，，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．设，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 7．志愿者组织大家到敬老院参加老年人关爱活动，其中一部分人从距离敬老院的集合点骑自行车出发，剩下的人过了分钟后乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的倍，设骑自行车的志愿者速度为，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．当正整数________时，分式的值也为整数． 9．在分式，，，，中，最简分式有__个． 10．若，则_____． 11．已知，则的值________； 12．已知，则___________． 13．若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是_______． 14．《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．先化简，再求值：，其中a，b满足 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)若此分式方程无解，求的值． 18．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 19．为了安全与方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．现有甲、乙两车连续两次同时进入自助加油站加油，甲车选择每次只加40升，乙车选择每次只加200元为比较谁的加油方式更合算，不妨设第一次加油时油价为元/升，第二次加油时油价为元/升，且．请回答下列问题： （1）①甲车两次加油的平均油价为： 元/升； ②乙车两次加油的平均油价为： 元/升． （2）请比较两车的平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算． 20．去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元． (1)若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？ (2)第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值． 参考答案 1．解：A：分式定义要求分母中含有字母，而的分母是常数3，不含字母，不是分式，A错误； B：分母，与分子有公因式，不是最简分式，B错误； C：分式值为零需分子为零且分母不为零，中，分子时或，但时分母为零，只有时满足，C正确； D：当同时扩大2倍，新分式为，值变为原来的2倍，不保持不变，D错误； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键．根据分式的基本性质，逐一验证即可． 【详解】解： 选项A，因为，所以选项 A正确，符合题意； 选项B，因为，所以选项B错误，不符合题意； 选项C，因为，所以选项C错误，不符合题意； 选项D，因为，所以选项D错误，不符合题意． 故选：A． 3．C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 4．B 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，计算出的结果，根据判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了根据分式方程解求参数的取值范围，求不等式的解集，以及分式有意义的条件． 先求解分式方程，得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零，得到m的取值范围． 【详解】解：∵， 两边同乘， ∴， 化简：， 移项：， ∴， ∴， ∵解为正数，即， ∴，即， ∵分母不为零：， ∴，即， 综上，且， 故选C． 7．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设骑自行车的志愿者速度为，则汽车的速度是，根据剩下的人过了45分钟后乘汽车出发，结果他们同时到达，列出分式方程即可． 【详解】解：设骑自行车的志愿者速度为，则汽车的速度是，45分钟小时， 根据题意得：， 故选：D． 8．1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 9．1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 10． 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，由已知条件可得，即，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即， 所以， 则 ． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此 ． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 12．4 【分析】本题主要考查了分式的加减法，二元一次方程组的应用，先通分，计算异分母的分式的加法，再对应相等，得到关于的二元一次方程组，是解题的关键． 通过通分将右边化为同分母分式，比较分子系数建立方程组求解． 【详解】解： ， 由①得， 把③代入②得：， ， ， ， ， 则， 所以． 故答案为4． 13．4 【分析】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，将代入方程，化简分式后得到，再代入代数式，即，计算得值． 【详解】解：∵是方程的解， 原方程化为 ， 即 ． 整理得 ． ∴， 故答案为：4． 14． 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 16．， 【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出的值，然后把的值代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 17．(1) (2)或 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解的问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到前的系数为或者最简公分母为，即可求解． 【详解】（1）解：把代入分式方程得：， 整理得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的解； （2）分式方程变形得：， 去分母，得：，即， 若，即时，此方程无解，即分式方程无解； 若，即时， 分式方程无解， ，即， 把代入整式方程得：， 综上所述，或． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，即， ， ； （2） ， ，即， ， ， ． 19．（1）①；②；（2）乙车加油方式合算，见解析 【分析】（1）①根据题意每次只加40升的平均油价为（40x＋40y）÷（40＋40），化简即可； ②每次只加200元的平均油价＝(200＋200)÷(＋)，化简即可； （2）比较与零的大小，故可判断求解． 【详解】解：（1）①每次只加40升的平均油价为（40x＋40y）÷（40＋40）= ②每次只加200元的平均油价＝(200＋200)÷(＋)= 故答案为：①；②； （2） ∵为两次加油的汽油单价，且，故， 即． ∴乙车加油方式合算． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键． 20．(1)购买半盔型个，全盔型个 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键． （1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可． （2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可． 【详解】（1）解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个． 由题意得：， 解得 故半盔型个，全盔型为：． 答：购买半盔型个，全盔型个． （2）第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为， 全盔型降价后，一个全盔型的获利为， 根据题意可得， 解得： 经检验，为原方程的解，且符合题意． 故． 学科网（北京）股份有限公司 $