2.2 一元二次方程的解法-课时3 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“配方法解二次项系数不为1的一元二次方程”，包含温故知新、情境导入、步骤化新知讲解（表格归纳、例题示范）、易错提醒及分层练习（基础过关、课后测评、综合探究），构建完整学习支架。 资料以转化思想为核心，通过“一化二移三配四开五解”步骤表和实例（如解方程2x²+4x-1=0）培养抽象能力与推理意识，结合二次三项式最值问题（如2x²-4x+5的最小值）发展模型意识，助力学生掌握方法，为教师教学提供系统、可操作的资源支持。

第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.3 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） 学习目标 过程与方法 知识与技能 掌握二次项系数不为1的二次三项式的配方方法 会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 能利用配方求二次三项式的最值 经历将二次项系数化为1的过程，深化转化思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 二次项系数为1时，配方的关键：加上一次项系数一半的平方 如：解方程 x2 − 4x − 5 = 0，配方得 ( x − 2 )2 = 9，根为 x1 = 5，x2 = −1 思考：对于2x2 − 4x − 6 = 0，二次项系数不是 1，怎么用配方法求解？ 温故知新 问：用配方法解方程 情境导入 解：两边同除以 2，得 x2 − 2x − 3 = 0 移项配方：( x − 1 )2 = 4 开平方：x − 1 = ±2 ∴ x1 = 3，x2 = −1 . 思路：先把二次项系数化为1，方程两边同时除以2，转化为上节课学过的类型。 新知讲解：配方法步骤（二次项系数不为1） 一般步骤 方法 实例 一化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 二移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 用配方法解方程： 例题 1 解：二次项系数化为1，得 x2 + 2x − = 0 移项，得 x2 + 2x = 配方，得 x2 + 2x + 1 = + 1，即 ( x + 1 )2 = 开平方，得 x + 1 = ± ∴ x1 = −1 + ，x2 = −1 − 新知讲解：二次三项式的最值 对于 ，配方得 ∵ ∴ 当 时，代数式有最小值 若，则有最大值 求二次三项式 的最小值 例题 2 解析: 2x2 − 4x + 5 = 2( x2 − 2x ) + 5 = 2( x2 − 2x + 1 − 1 ) + 5 = 2( x − 1 )2 + 3 ∵ 2( x − 1 )2 ≥ 0 ∴ 当 x = 1 时，原式有最小值 3 化二次项系数为1时，方程每一项都要除以二次项系数，不要漏除常数项 配方时，是在一次项系数化为1之后，取一半的平方 求最值时，要注意二次项系数的正负，决定是最大值还是最小值 开平方后，分母有理化要正确 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 用配方法解方程 2x2 − 4x − 3 = 0，系数化为1正确的是（ ） A. x2 − 2x = 3 B. x2 − 2x = C. 2x2 − 4x = 3 D. x2 − 4x = 3 2. 二次三项式 2x2 − 4x + 5的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 3. 判断题：用配方法解 3x2 = 6x，配方得 ( x − 1 )2 = 1（ ） B C √ 基础过关练 4. 方程 2x2 − 8x + 1 = 0 配方后为 . 5. 若 4x2 − kx + 9 是完全平方式，则 k 的值为 . 6. 代数式 − x2 + 2x + 3的最大值为 . 4 课后测评·学业效果巩固 1. 关于 x 的二次三项式 4x2 − kx + 9 是一个完全平方式，则 k 的值为（ ） A. −12 B. ±12 C. ±6 D. 6 课后测评 B 【解析】 ∵ 关于 x 的二次三项式 4x2 − kx + 9 是一个完全平方式， ∴ 4x2 − kx + 9 = (2x)2 ± 2 ⋅ 2x ⋅ 3 + 32 = (2x)2 ± 12x + 32， ∴ k = ±12。故选 B. 2. 二次三项式 2x2 − 4x + 5 的最小值等于 . 课后测评 【解析】 2x2 − 4x + 5 = 2(x2 − 2x) + 5 = 2(x2 − 2x + 1 − 1) + 5 = 2(x − 1)2 − 2 + 5 = 2(x − 1)2 + 3 ∵ 2(x − 1)2 ≥ 0，∴ 2(x − 1)2 的最小值为 0， ∴ 2(x − 1)2 + 3 的最小值为 3，即二次三项式 2x2 − 4x + 5 的最小值为 3，故答案为 3 3. 把一元二次方程 x2 − 3x − 1 = 0 配方成 (x + a)2 = b 的形式，则 b = . 课后测评 11 【解析】 ∵ x2 − 3x − 1 = 0，∴ x2 − 6x − 2 = 0， ∴ (x − 3)2 = 11，∴ b = 11。故答案为 11 4. 若一元二次方程 4x2 + 12x − 27 = 0 的两根为 a,b，且 a > b，则 3a + b 的值为 . 课后测评 0 【解析】4x2 + 12x − 27 = 0，移项得 4x2 + 12x = 27， 方程两边都除以 4，得 x2 + 3x = ， 方程两边都加 ，得 x2 + 3x + = + ， 配方得 (x + )2 = 9， 开平方得 x + =±3，解得 x1 = ，x2 = − 。 ∵ 一元二次方程 4x2 + 12x − 27 = 0 的两根为 a,b，且 a > b， ∴ a = ，b = − ，∴ 3a + b = 3 × − = 0 5. 已知实数 a 满足 3a2 + − 12a − + 19 = 1，则 a + = . 课后测评 【解析】∵ 3a2 + − 12a − + 19 = 1， ∴ 3(a + )2 − 6 − 12(a + ) + 19 = 1， 整理得 (a + )2 − 4(a + ) + 4 = 0， ∴[(a + ) − 2]2 = 0， ∴a + = 2，故答案为 2 2 6. 已知 x = 2 是关于 x 的方程 x2 − 2mx = − 3m 的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰 △ABC 的两条边长。 (1) 求 m 的值。 (2) 求 △ABC 的周长。 课后测评 课后测评 【解析】(1) 把 x = 2 代入方程得 4 − 4m = −3m，解得 m = 4 (2) 当 m = 4 时，原方程变为 x2 − 8x = −12 二次项系数化为 1，得 x2 − 8x = −12 配方，得 x2 − 8x + 16 = −12 + 16，即 (x − 4)2 = 4 解得 x1 = 2，x2 = 6 ∵ 该方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，且不存在三边长为 2，2，6 的等腰三角形， ∴△ABC 的腰长为 6，底边长为 2， ∴△ABC 的周长为 6 + 6 + 2 = 14 7. 阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题. 例如: 求代数式 2x2 − x + 2 + y2 的最小值，过程如下： 原式 = 2(x2 − x) + 2 + y2 = 2(x2 − x + − ) + 2 + y2 = 2(x2 − x + ) − + 2 + y2 = 2(x − )2 + y2 + . ∵ 2(x − )2 ≥ 0，y2 ≥ 0，∴ 2(x − )2 + y2 + ≥ ，∴ 2x2 − x + 2 + y2 的最小值是 . 根据材料中的方法，解答下列问题： (1) − x2 + 4x − 1 的最大值为______； (2) 求 4x2 + 2y2 − 4y − 4x + 15 的最小值。. 课后测评 课后测评 【解析】(1) − x2 + 4x − 1 = − (x2 − 4x) − 1 = − (x2 − 4x + 4− 4) − 1= − (x − 2)2 + 3 ≤ 3， ∴ − x2 + 4x − 1 的最大值为 3. (2) 4x2 + 2y2 − 4y − 4x + 15 = 4x2 − 4x + 1 + 2y2 − 4y + 2 + 12 = (2x − 1)2 + 2(y2 − 2y + 1) + 12 = (2x − )2 + 2(y − 1)2 + 12 ∵ (2x − 1)2 ≥ 0，2(y − 1)2 ≥ 0， ∴ (2x − 1)2 + 2(y − 1)2 + 12 ≥ 12， ∴ 4x2 + 2y2 − 4y − 4x + 15 的最小值为 12 8. 我们定义：解为整数的方程为“完美”方程. ( 1 ) 一元一次方程: ax − 3 = 0(a ≠ 0) 为“完美”方程，求整数 a 的值 综合与探究·较难 【解析】( 1 )因为 ax − 3 = 0 (a ≠ 0)，所以 x = . 因为一元一次方程 ax − 3 = 0 (a ≠ 0) 为“完美”方程， 所以 a =±1 或 a =±3，所以整数 a 的值为 -3 或 -1 或 1 或 3 8. 我们定义：解为整数的方程为“完美”方程. ( 2 ) 已知关于 x 的方程： (x ≥ 0，且 a 为整数) 是“完美”方程，且其中整数 a 使关于 y 的不等式组有解且至多有 3 个整数解，求符合条件的所有整数 a 的和 综合与探究·较难 综合与探究·较难 ( 2 ) 解 ，得 x = 2 + .因为 x − 3 ≠ 0，所以 a ≠ 2 . 解不等式①得 y ≥ 10，解不等式②得 y < 2a − 3 .因为不等式组有解，所以不等式组的解集为 10 ≤ y < 2a − 3 .因为不等式组至多有 3 个整数解，所以分 3 种情况讨论：①当不等式组有 1 个整数解时，即 y 取 10，则 2a − 3 = 11，解得 a = 7 .将 a = 7 代入 x = 2 + 得 x = 2 + = 5.5，5.5 不是整数，故不满足条件 .②当不等式组有 2 个整数解时，即 y 取 10，11，则 2a − 3 = 12，解得 a = 7.5 .因为 a 为整数，故不满足条件 .③当不等式组有 3 个整数解时，即 y 取 10，11，12，则 2a − 3 = 13，解得 a = 8 .将 a = 8 代入 x = 2 + 得 x = 2 + = 6，6 是整数，满足条件。综上，符合条件的整数 a 的和为 8 . 8. 我们定义：解为整数的方程为“完美”方程. ( 3 ) 已知关于 x 的方程：(k2 − 6k + 8)x2 + (2k2 − 6k − 4)x + k2 = 4 是“完美”方程，求满足条件的所有实数 k 的值 综合与探究·较难 综合与探究·较难 ( 3 ) ① 当方程为一元二次方程时， ∵ (k2 − 6k + 8)x2 + (2k2 − 6k − 4)x + k2 = 4， ∴ (k − 3)2x2 − x2 + 2k(k − 3)x − 4x + k2 = 4， ∴ (k − 3)2x2 + 2k(k − 3)x + k2 = x2 + 4x + 4， ∴ [(k − 3)⋅x + k]2 = (x + 2)2， ∴ [(k − 3)x + k − (x + 2)][(k − 3)x + k + (x + 2)] = 0， ∴ (k − 3)x + k − (x + 2) = 0 或 (k − 3)x + k + (x + 2) = 0， ∴ x1 = ， x2 = ， ∴ k ≠ 4 且 k ≠ 2 . ∵ (k2 − 6k + 8)x2 + (2k2 − 6k − 4)x + k2 = 4 是“完美”方程， ∴ −1− 和 −1− 为整数 . 又∴ k − 4 = − , k − 2 = − ， ∴ k − 2 − k + 4 = − + ， 即2(x1 + 1)(x2 + 1) = − 4x1 − 4 + 2x2 + 2，整理得 x1 = − . ∵ x1，x2 为整数，且 x1，x2 均不为 -1， ∴ x2 + 3 = ± 2 或 x2 + 3 = ±1， 即 x2 = −1(舍去) 或 x2 = −5 或 x2 = −4 或 x2 = −2， ∴ k = 6 或 k = 或 k = 3， ∴ 满足条件的实数 k 的值为 6 或 或 3 . ②当方程为一元一次方程时， k2 − 6k + 8=0，2k2 − 6k − 4 ≠ 0，解得 k = 2 或 4. 当 k = 2 时，(2 × 4 − 12 − 4)x + 4 = 4，解得 x = 0； 当 k = 4 时，(2 × 42 − 24 − 4)x + 16 = 4，解得 x = −3。 故 k = 2 或 k = 4 均满足条件。 综上所述，满足条件的实数 k 的值为 2 或 4 或 3 或 或 6 . 课堂小结 第二章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.3 配方法解一元二次方程（二次项系数不为1） $