第5章 特殊平行四边形 解答压轴题 期末专题训练 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与变换，以题载法构建“性质应用-变换转化-综合迁移”的解题体系，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质证明|3题（如1、2、9）|全等构造/角平分线判定|从定义出发，通过旋转/对称转化边角关系| |变换探究|8题（如3、7、12）|折叠对称/旋转全等|图形变换中保持不变的数量关系与位置关系| |动态综合|6题（如5、10、19）|分类讨论/函数建模|结合动点问题，建立几何量间的函数关系| |新定义应用|3题（如6、16、13）|概念迁移/模型转化|从特殊到一般，将新定义转化为已知图形性质|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册期末综合复习《第5章特殊平行四边形》 解答压轴题专题训练（附答案） 1.如图，已知正方形ABCD,将它绕点A逆时针旋转a(0°<a<90°)得正方形AEFG, EF交BC于H,AB=2. 备用图 备用图 (1)求证：AH平分∠BHE: (2)当A、E、C在同一条直线上时， ①求证：A、B、F共线： ②求BH长. (3)当D、B、F在同一直线上时直接写出∠FAB的度数. 2.已知，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，点F在AB边上，连接AE,过点F作 AE的垂线，交CD于点G,垂足为H. D D G G G E 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠DAH=∠CGH: (2)如图2，连接BD,若点H在BD上，求证：AH=GH; (3)如图3，在(2)的条件下，连接EG,若AF-BF=2DG,EG=5,求正方形ABCD 的面积 3.如图，在边长为m的正方形ABCD中，点E,F分别为CD,AB边上的点，将正方形 ABCD沿EF翻折，点B的对应点为H,点C恰好落在AD边的点G处， B 图① 图② 备用图 (1)【问题解决】 如图①，连接CG,则CG与折痕EF的位置关系是一，CG与EF的数量关系是 (2)【问题探究】 如图②，连接CH,在翻折过程中，GC平分∠DGH,试探究△CGH的面积是否为定值， 若为定值，请求出△CGH的面积；若不是定值，请说明理由： (3)【拓展延伸】若m=3,求出CH+CG的最小值. 4.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F, 以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG,如图1所示. G 图1 图2 图3 (1)证明平行四边形ECFG是菱形； (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG,如图2所示，求∠BDG的度数： (3)若∠ABC=90°，AB=8,AD=14,M是EF的中点，如图3所示，求DM的长. 5.如图1，在正方形ABCD中，点E是直线AB上一点，点F是直线BD上一点(F与D不 重合)，EF=ED,作点F关于直线AB的对称点G,连接EG,BG 备用图 备用图 (1)如图，点E在线段BA的延长线上，点F在线段BD的延长线上， ①记∠DEA=,求∠BEG的度数（用含Q的式子表示）； ②用等式表示BE,BD,BG之间的数量关系，并证明： (2)当点E在射线AB上，点F在直线BD上时，直接用等式表示BE,BD,BG之间的数量 关系 6.【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 图① 图② 图③ 【问题探究】： (1)如图①，己知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD(填“一定”或 “不一定”)是正方形： (2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4,动点M、N分别在AD、CD 上（不含端点），若∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如 果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由：并直接写出四边形BMDN的周 长的最小值； 【尝试应用】： (3)现有一个平行四边形材料ABCD,如图③，在口ABCD中，AB=17,BC=6, tanB=4,点E在BC上，且BE=4,在口ABCD边AD上有一点P,使四边形ABEP为 “等邻边四边形”，请直接写出此时AP的长。 7.【探索发现】 如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将△ACD绕点A逆时针旋转 60°得到△AEF,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形. 图 图2 图3 (1)请帮小明写出证明过程： (2)直接写出线段CD,CF,AC之间的数量关系：-： 【理解运用】 如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D.将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF, 延长FE与BC交于点G (3)判断四边形ADGF的形状，并说明理由： 【拓展迁移】 (4)在(3)的前提下，如图3，将△AFE沿AE折叠得到△AME,连接MB,若AD=6, BD=2,求MB的长. 8.如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 图1 图2 图3 (1)【探究发现】 操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF: 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM,BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP=°： (2)【类比应用】 小明将矩形纸片换成边长为4cm的正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ ①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=°，CQ= ②改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由， (3)【拓展延伸】 在(2)的探究中，当QF=1cm,请直接写出AP的长」 9.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,P是对角线BD上一动点，过点P作 PQ⊥AP,交射线CB于点Q.如图①，当点P与点O重合时，易证CQ=V2PD(不需证 明)： O(P) B(O) B 图① 图② 图③ (1)当点P在线段DO上时，如图②： ①连接CP,求证：CP=AP； ②求证：CQ=V2PD: (2)当点P在线段BO上时，如图③，求证：PD-BP=V2BQ 10.下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整. B D 图① 图② 图③ 【作业】如图①，己知正方形ABCD中，E,F分别是AB、BC边上的点，且 ∠EDF=45°.求证：EF=AE+CF】 证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM,则 DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC. ,四边形ABCD是正方形，∴.∠A=∠ADC=∠DCB=90°， ∴.∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°， .∠EDF=45°，∴.∠MDF=∠EDF=45°. 又，∠A=∠DCM=∠DCB=90°，∴点B,F,C,M在一条直线上. ,DF=DF,∴.△EDF≌，∴.EF=MF=CM+CF=+CF, 【探究】(1)在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE=1,其他条件不变，求EF的 长 解：.正方形ABCD的边长为3，AE=1,∴.BE=2,CM=1 设EF=X,则FM=EF=X,FC=FM-CM=X-1,∴.BF=3-（X-1)=4-X. 在Rt△BEF中，由2+(4-XP=X2,解得X=一，即EF=一· (2)如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=6,BC=4,E是AB边 上的点，且∠CDE=45°，则CE= (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高.若BD=2,CD=3,则 AD的长为 11.综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线 BD上，点B的对应点记为B,折痕与边AD,BC分别交于点E,F. 【活动猜想】 (1)如图2，当点B与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并说明理由. 【问题解决】 (2)如图3，当AB与BC满足什么关系时，始终有AB与对角线AC平行？请说明理由. 【深入探究】 (3)在(2)的情形下，设AC与BD,EF分别交于点O,P,试探究三条线段AP,BD, EF之间满足的等量关系，直接写出答案， E D D(B 图1 图2 图3 12.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边 △APE(A,P,E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,则BP与 CE的数量关系是_，BC与CE的位置关系是_： (2)如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？ 若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由： (3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE,若AB=2,BE=V31,请直接写出 △APE的面积. 13.综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可 以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我 们带着数学的眼光来折纸吧.定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、 无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形， 图① 图② 图③ (1)操作发现： 如图①，将△ABC纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若△ABC的面积为12，BC=6, 则此完美矩形的边长FG=一，面积为_ (2)类比探究： 如图②，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形AEFG,若平行四边形ABCD的 面积为30，BC=6,则完美矩形AEFG的周长为· (3)拓展延伸： 如图③，将平行四边形ABCD纸片按所示折叠成完美矩形EFGH,若EF:EH=3:4, AD=20,求此完美矩形的周长为多少. 14.【活动探究】 图① 图② 图③ (1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形ABCD中，点E是BC的中点， 将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为F,延长EF交线段DC于点P,连接AP 求∠EAP的度数， 【追本溯源】 (2)小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形ABCD的边长为6， 点E,F分别在BC,CD上运动，连接AE,AF,EF.若∠EAF=45°，试猜想 BE,EF,DF的数量关系是 并加以证明 【拓展迁移】 (3)小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，AD是△ABC的高， ∠BAC=45°，若AD=18,DC=6,求△ABC的面积 15.【发现问题】如图1，已知△ABC,以点A为直角顶点、分别以AB、AC为腰向 △ABC外作等腰直角△ABE、等腰直角△ACD.连接BD、CE.那么BD与CE的数量 关系是_ 【拓展探究】如图2，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形 ACGD,连接BD、CE,试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由.（提示：正方形 四条边相等，四个角相等) 【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD,△ADC为等边三角形，BC=15, AB=8,求BD的最大值. 图 图2 图3 16.【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如在凸四边形ABCD 中，若AB=AD,BC=DC,则四边形ABCD是“筝形”. (1)如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD,要求点D是格点： 【问题探究】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,“筝形”EFGH的顶点E是AB的中 点，点F,G,H分别在BC,CD,AD上，且EF=5V2,求对角线EG的长： 【拓展思考】 (3)如图3，在“筝形”ABCD中，AB=AD,BC=DC=12,∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC、CD上的点，AE平分∠BEF,EF⊥CD,EF=8,求“筝形”ABCD的 面积. 图 图2 图3 17.(1)【模型探究】把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图1的图案，则 ∠ACF=_: (2)【迁移应用】如图2，在正方形ABCD中，E是CD边上一点（不与点C、D重合）， 连接BE,将BE绕点E顺时针旋转90°至FE,作射线FD交BC的延长线于点G,求证： CG=BC: (3)【拓展延伸】在菱形ABCD中，∠A=120°，E是CD边上一点（不与点C、D重 合)，连接BE,将BE绕点E顺时针旋转120°至FE,作射线FD交BC的延长线于点G. ①探究线段CG与BC的数量关系，并说明理由： ②若AB=18,当EG最小时，△乙的面积为_， 图1 图2 图3 18.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=7,BC=3.在AD上取一点E,AE=1,点F 是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN,使点N落在CD边上，点M落在矩形 ABCD内或其边上.若AF=x,△BFM的面积为S. D D F 图1 图2 D E E A 备用图 备用图 (1)如图1，当四边形EFMN是正方形时，x的值为 ,S的值为 (2)如图2，当四边形EFMN是菱形时， ①求证：∠DNE=∠MFB: ②求S与x的函数关系式： (3)当x= 时，△BFM的面积S最小： (4)在点F运动的过程中，请直接写出点M运动的路线长： 19.在正方形ABCD中，AB=4,点O为对角线AC的中点，动点E在射线CA上，连接 EB,过点E作EF⊥BE交射线DA于点F.当点E与A重合时，AF=4;当点E与O重合 时，AF=0(点F与A重合). E 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E在线段AO上时，求证：EF=BE: (2)如图2，当点E在线段AC上时，请补全图形，探究线段AB,AE,AF之间的数量关系， 并说明理由； (3)如图3，若点P、C在直线AB的异侧，且AP=42,动点E沿着PC从点P向点C运动， 请直接写出伴随动点F的运动路径的长为一一， 20.己知：正方形ABCD,F、H分别是边BC、CD上的动点.连接AF、AH. 【初步探究】 (1)如图1，连接FH,若BF+DH=FH,求证：∠FAH=45°： 【深入探究】 (2)如图2，过F作FE‖AB交AD于E,过H作HG‖AD交AB于G,若矩形PFCH的 面积恰是矩形AGPE面积的2倍，求∠AH的度数： 【延伸探究】 (3)如图3，P是矩形ABCD内一点，且PA=3,PB=5,PC=7,请直接写出PD的长 度. 图1 图3 参考答案 1.(1)证明：连接AH,如图所示： F B G D 根据题意可得：AB=AE,∠B=∠AEH=90°， 在Rt△ABH和Rt△AEH中， AB=AE AH=AH' ∴.Rt△ABH≌Rt△AEH(HL), .∠BHA=∠EHA, ∴.AH平分∠BHE: (2)解：根据题意画出图，如图所示： F B G A ①证明：根据题意可得： ∠HEA=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°， ∴.∠FHB=∠CHE=90°-∠BCA=90°-45°=45°， ∠AFE=90°-∠BAC=90°-45°=45°， .:∠BFH+∠FHB+∠FBH=180°， ∴.∠FBH=90, ,∠FBH+∠ABH=180°， ∴.A、B、F三点共线： ②连接AH,如图所示： B H G D 根据题意可得：AB=AE,∠B=∠AEH=90°， 在Rt△ABH和Rt△AEH中， AB=AE AH=AH ∴.Rt△ABH≌Rt△AEH(HL), .∴.BH=EH AB=2, .AC=22,CE=AC-AE=22-2, 设BH=X,则HE=BH=X,CH=2-X, :HE+CE=CH,x2+(22-2=(2-x2,解得x=2V2-2 .BH=22-2: (3)解：根据题意画出图，如图所示： B A D AL 连接AC、CE、CF,由题意可得：AC=AF,AB=AE=EF,∠ABD=45°， .∠ABF=180°-∠ABD=180°-45°=135°， .:∠FAB+∠BAE=45°，∠BAE+∠CAE=45°， ∴.∠FAB=∠CAE, 在△AB和△CAE中， AF=AC ∠FAB=∠CAE, AB=AE ∴.△FAB≌△CAE(SAS), ∴.∠AEC=∠ABF=135°，CE=BF, ·.:∠AEC+∠FEC+∠AEF=360°，∠AEF=90°， .∴∠FEC=135°， 在△ABF和△FEC中， AB=BC ∠ABF=∠FEC BF=EC ∴.△ABF≌△FEC(SAS), ∴.FC=AF=AC, ∴.△ACF为等边三角形， ∴.∠CAF=60°， .∴.∠FAB=∠CAF-∠CAB=60°-45°=15°. 2.(1)证明：，四边形ABCD为正方形， .∴.∠D=90°， ,AE⊥FG, .∠AHG=90°， :∠AHG+∠HAD+∠D+∠DGH=360, .∠HAD+∠DGH=180°， .∠CGF+∠DGH=180, .∠DAH=∠CGH; (2)证明：如图，作HM⊥AB于M,延长MH交CD于N,则∠AMH=∠BMH=90°， ABCD M 四边形 为正方形， ∴.AB=AD,∠ABD=45°，∠BAD=∠ADC=90°， .∴.∠AMN=∠MAD=∠ADN=90°，△MHB为等腰直角三角形， .∴.四边形ADNM为矩形，BM=MH, .MN=AD=AB, .∴.MN-MH=AB-BM,即AM=HN, .AE⊥FG, ∴.∠AHG=90°， ∴.∠AHM+∠GHN=90°， .'∠AHM+∠MAH=90°， ∴.∠GHN=∠MAH, ∴.△AMH≌△HNG ASA, ∴.AH=GH; (3)解：如图，作GQ⊥AB于Q,则∠AQG=∠BQG=90, G ABCD B C 四边形 为正方形， ∴.AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°， .∠AQG=∠QAD=∠ADG=90°， ∴.四边形AQGD是矩形， .∴.AQ=GD,QG=AD=AB, .AE⊥FG, ∴.∠AHF=90°， ∴.∠FH+∠AFH=90, .∠QFG+∠QGF=90°， ∴.∠BAE=∠QGF, ∴.△BAE≌△QGF ASA, ∴AE=GF, AH=GH, ∴.FG-GH=AE-AH,即FH=HE, ,∵∠AHF=∠GHE=90, .∴.△AHP≌△GHE ASA, .AF=≥=5， 设BF=X,则AB=BC=CD=AF+BF=5+X, AF-BF=2DG, ..DG=5-x 2 AQ-DG-5-X,CG=CD-DG-5+x-5-X-5+3x 22 QF=AF-AQ=5-5-X-5+x-BE. 2 2 CE=BC-BE=5+x-5+x_5+x 221 在Rt△CEG中，由勾股定理得：CE+CG=GE2, 2 解得：x=1或x=-5(不符合题意，舍去)， .∴.AB=5+x=5+1=6, .∴正方形ABCD的面积为6×6=36 3.(1)解：CG⊥EF,CG=EF 理由：过F作FM⊥CD于M, ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠BCD=∠D=90°，CB=CD, ,四边形BCMF是矩形， .BC=FM=CD,∠CMF=90°=∠FME, ,翻折， .EF垂直平分CG .∠GCD+∠CEF=90°， ,∠DGC+∠DCG=90°， .∠CEF=∠DGC, 又FM=CD,∠FME=∠D=90°， ∴，△EFM≌△GCD, ∴.EF=CG, 故答案为：CG⊥EF,CG=EF: (2)解：△CGH的面积为定值m, 理由：作CN⊥GH于N, G D B ,GC平分∠DGH, .∠GCD=∠GCN, 又∠CNG=∠D=90°，CG=CG ∴.△CGN≌△CGD, ..CN=CD. 折叠， ..GH=BC, ∴.CN=CD=BC=GH=m, SaIe-HG-CN-m, (3)解：作点C关于AD的对称点Q,连接BG,BQ,GQ, D B 则AD垂直平分CQ, .CG=QG 折叠， .EG=EC,GH=BC. .∠EGC=∠GCE, .∠EGC+∠HGC=90°，∠GCE+∠BCG=90°. ∴.∠HGC=∠BCG, 又CG=CG,GH=BC, .△BCG≌△HGC SAS, ..BG=HC ∴.CH+CG=BG+QG≥BQ, 当B、G、Q三点共线时，CH+CG的值最小，最小值为BQ的长， 当m=3时，BC=3,CQ=6, ÷BQ=VBC2+CQ=3V5 即CH+CG的最小值为3V5, 4.(1)解：，AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF. ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AB‖CD .∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE, .∠CEF=∠CFE, ..CE=CF, ,四边形ECFG是平行四边形， ∴.四边形ECFG是菱形 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC,AB‖CD,AB=CD .∠ABC=120°， .∠BCD=60°，∠BCF=120° 由(1)知，四边形ECFG是菱形， CR=G,∠BCG-BCF=60 ∴.△CEG是等边三角形， ∴.CG=≥=CE,∠CGE=60°，∠DCG=120°， EG‖DF .∠BEG=∠BCF=120°=∠DCG. .AE是∠BAD的平分线 .∠DAE=∠BAE, .AD‖BC, .∠DAE=∠AEB、 .∠BAE=∠AEB, ..AB=BE, .BE=CD. .△DGC≌△BGE SAS, .∠BGE=∠DGC,BG=DG, ∴.∠BGE+∠DGE=∠DGE+∠DGC, .∠BGD=∠EGC=60° △BGD为等边三角形， .∠BDG=60° (3)解：如图，连接BM,MC, 】 图3 ,∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴，四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， .∠ECF=90, ,四边形CEGF为菱形， ∴四边形CEGF为正方形， M为EF中点， .∠CEM=∠ECM=45°，EM=CM, ∴.∠BEM=∠DCM=135, ,∠BAE=∠DAE=∠AEB, .BE=AB=DC, 在△BME和△DMC中， BE=CD .∠BEM=∠DCM EM=CM ∴.△BME≌△DMC|SAS, ∴.MB=MD,∠DMC=∠BME, ∴.∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ∴△BMD是等腰直角三角形， ,AB=6,AD=14, BD-AB+AD2=2865 DM-92 D=V130, 5.(1)①解：，ABCD是正方形，BD为对角线， .∠ADB=∠CDB=∠DBA=∠DBC=45°， .∠FDE=∠DEA+∠ABD=a+45°， .ED=EF, ∴.∠EFD=∠FDE=a+45°， ,点G与F关于直线AB对称， ∴△EFB≌△EGB ∴.∠G=∠EFD=a+45°，∠EBG=∠DBA=45°， .∠BEG=180°-∠EBG-∠G=180°-45°-a-45°=90°-a, ②解：过F作FH⊥EB于点H,如图所示： ,ABCD是正方形， .∠DAB=90°=∠FHB, ..FH DA, .∠HFB=∠ADB=45°， ∴△FHB是等腰直角三角形， .FH=HB .在Rt△FHB中，FH+HB=FB2, ..2H B2=FB, ·HB= m_2 FB= BG, ∴在Rt△DAB中，DA+AB=BD2 ..2DA2=BD2, ·DA= 2 BD, 由①得△EFB≌△EGB, .∠FEH=∠BEG=90°-a, 又：∠EDA=90°-∠DEA=90°-a, .∠FEH=∠EDA, ∴.在△EHF和△ADE中 ∠FEH=∠EDA EF=ED ∠FHE=∠DAE .△EHF≌△ADE(ASA), C.EH-DA-2 BD BE=EH+HB. ∴BE= D* 2 2 FB, ..2EB=DB+FB: (2)解：BG=BD±V2BE, 当点E在线段AB上时，过点E作EM⊥BD, ,ED=EF,EM⊥BF, ∴.DM=MF ,∠EBM=∠DBA=45°， “△BME为等腰直角三角形， .BM=EM, ∴.在Rt△BEM中，BM2+EM=BE, ..2BM2=BE2, .BM-VBE. :点G与F关于直线AB对称， .BG-BF-MF-BM-DM-BE-DF-BE-BD+BF)-BE 2 号BD+号BG-2BE 2 2 即c-D-2m. ..BG=BD-2 BE. 当点E在线段AB延长线上时，由题意作图，过E作EM⊥BF于点M,如图所示： E M F .ED=EF,EM⊥BF, ∴.DM=MF .∠EBM=∠DBA=45°， ∴.△BME为等腰直角三角形， .BM=EM, .在Rt△BEM中，BM2+EM=BE2, .2BM2=BE2, BM号ac ,点G与F关于直线AB对称， .BG=BF=BM+MF=BM+DM=BM+BD+BM=2BM+BD. BG-2BM+BD-2xBE+BD-BE+BD. 6.解：(1)，矩形ABCD是“等邻边四边形”， ..四边形ABCD的邻边相等， ∴.矩形ABCD一定是正方形： 故答案为：一定： (2)如图②中，结论：四边形BMDN是等邻四边形. 理由：连接BD, M ABCD 图② 四边形 是菱形， AB=BC=CD=AD=4,∠ABD=∠CBD=∠ABC=60°， ∴.△ABD,△BDC都是等边三角形， .∠BDM=∠BCN=60°，DB=CB, :∠MBN=∠DBC=60°， '.∠DBM=∠CBN, ∴.△DBM≌△CBN(ASA), ∴.BM=BN,DM=CN, .四边形BMDN是等邻边四边形， .DM+DN=DN+NC=CD=4. .BM+DM+DN+BN=BM+BN+4, ∴.BM+BN的值最小时，四边形BMDN的周长最小， 根据垂线段最短可知，当BM⊥AD时，BM的值最小，此时 BM=BN=AB'sin60=4x 2=293, .四边形BMDN的周长的最小值为43+4： (3)如图③中，过点A作AH⊥BC于H,过点E作EN⊥AD于N,则四边形AHEN是 矩形. D .(an B=AH-4 AB=Y17 BH 图③ ∴.BH=1,AH=EN=4, BE=4, ∴.AN=HE=4-1=3, ①当AP=AB=17时，四边形ABEP为“等邻边四边形”； ②当PA=PE时，四边形ABEP为“等邻边四边形”， 设PA=PE=X, 在Rt△PEN中，PE=NE2+PN2, ∴.x2=42+(x-32 =25 ∴.PA=X= 2 6: ③当PE=BE时，四边形ABEP为“等邻边四边形”， 此时点P与N重合， .∴.AP=AN=3, 综上所述：AP的长为V7或25或3. 6 7.(1)证明：，△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC, ,△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF, ∴.∠CAE=60°，AC=AE, ∴，△ACE是等边三角形， ∴.AC=AE=CE, ∴.AB=BC=CE=AE, .四边形ABCE是菱形： (2)线段CD,CF,AC之间的数量关系：CD+CF=AC, 理由是：由旋转得：∠DAF=60°=∠BAC,AD=AF, ∴.∠BAD=∠CAF, ,△ABC是等边三角形， ..AB=AC, .△BAD≌△CAF|SAS, ∴.∠ADB=∠AFC,BD=CF, ,∠ADC+∠ADB=∠AFC+∠AFE=180°， ∴C、F、E在同一直线上， ∴.AC=BC=BD+CD=CF+CD 故答案为：CD+CF=AC: (3)四边形ADGF是正方形，理由如下： ,Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF, .AF=AD,∠DAF=90°， ,AD⊥BC, ∴.∠ADC=∠DAF=∠F=90°， .四边形ADGF是矩形， ..AF=AD. 四边形ADGF是正方形： (4)如图3，连接DE 图3 ,四边形ADGF是正方形， ..DG=FG=AD=AF=6, ,△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF, ∴.∠BAD=∠EAF,BD=EF=2, .EG=FG-EF=6-2=4, ,将△AFE沿AE折叠得到△AME, ∴.∠MAE=∠FAE,AF=AM, .∠BAD=∠EAM, ,∠BAD+∠DAM=∠EAM+∠DAM,即∠BAM=∠DAE, .AF=AD ..AM=AD. 在△BAM和△EAD中， AM=AD ,∠BAM=∠DAE, AB=AE ∴.△BAM≌△EAD SAS, BM-DE-EG+DG-4+62=213 8.④D解：：AE=BE=支AB,AB=BM, :.BE=BM, .∠BEM=90 如图，取BM的中点O,连接EO, D ∴EO=1BM=BO=BE 图1 .△BEO为等边三角形， ∴.∠BME=30 ∴.∠ABM=60°， ∴.∠ABP=∠PBM=30°， 故答案为：30： (2)①四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠ABC=∠C=90°， 由折叠性质得：AB=BM,∠PMB=∠BMQ=∠A=90°， ∴.BM=BC, BM=BC,BQ=BQ, .∴.Rt△BQM≌Rt△BQC HL, .∴.MBQ=∠CBQ,QM=QC, 同法(1)可得：∠MBC=30°， .∴.∠MBQ=∠CBQ=15°， .∠ABM=90°-30°=60°， .∠APM=180°-60°=120°， .∴.∠QPD=180°-120°=60°， 在Rt△ABP中，BP=2AP, 根据勾股定理：BP2-AP2=AB2,即3AP2=16, 解得：AP=43 .PD=4-43 3, 在Rt△PDQ中，PQ=2PD, 根据勾股定理：DQ=PQ-PD2,即DQ=3PD2, ∴.DQ=43-4, ∴.CQ=DG-DQ=4-4V3-4=8-43 故答案为：15,8-4/3： ②∠MBQ=∠CBQ,理由如下： BM=BC,BQ=BQ, .∴.Rt△BQM≌Rt△BQCHL, .∠MBQ=∠CBQ: (3)当点Q在点F的下方时，如图， F FQ=1cm,DF=FC=2cm AB=4cm .'QC=CD-DF-FQ=4-2-1=1cm, DQ=DF+FQ=2+1=3cm, 由(2)可知，QM=QC, 设AP=PM=X,PD=4-X, ..PD2+DQ2=PQ2, 即4-x2+32=x+1 :导 AP=12 cm; 当点Q在点F的上方时，如图， 4 D F..FQ=1cm,DF=FC=2cm AB=4cm ∴.QC=3cm,DQ=1cm, 由(2)可知，QM=QC, 设AP=PM=X,PD=4-X, ..PD2+DQ=PQ24-xP+1=(x+3P 解翻：号 Ap-cmn. 综上所述，AP=12 m或AP=号cm 9.(1)解：过点P作AB的平行线交AD于G,交BC于点H,过点P作AD的平行线交 AB于S,交CD于点R,连接PC,如图所示： D ①解：，ABCD是正方形， ∴.∠ADB=∠CDP=45°，AD=CD ∴.在△ADP和△CDP中： AD=CD ∠ADB=∠CDP PD=PD .△ADP≌△CDP(SAS), ..PA=PC; ②解：ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.∠PBA=∠PBC=45°，∠ABC=∠BAD=90°， GH‖AB,SR‖AD ∴.∠ABC=∠BAD=∠PHB=∠PSB=90°， ∴.∠PBA=∠PBC=∠SPB=∠BPH=45°， ∴.△BPH和△BPS为等腰直角三角形， .四边形SPHB为正方形， .RC=SP=BH=AG=PH. 同理可证四边形GPRD为正方形， ..PG=PR, .PQ⊥AP, ∠APQ=90, .∠APG+∠QPH=90°， ,∠QPH+∠PQH=90°， .∠APG=∠PQH, 在△PGA和△QHP中： ∠APG=∠PQH ∠PGA=∠PHQ, AG=PH .△PGA≌△QHP(AAS), ∴.PA=PQ, 由①得：PA=PC, ..PQ=PC, :在Rt△DPR中，PR+RD=PD2, ..2PR2=PD2, PR-PD. 2 :.CQ=2HC=2PR=2xPD-V2PD: (2)解：解：过点P作AB的平行线交AD于G,交BC于点H,过点P作AD的平行线交 AB于S,交CD于点R,连接PC,如图所示： ,根据(1)中的解法同理可得：CQ=2PD,PH=BH,PQ=PC, QH=ic=cQx2rD要pD ,在Rt△BPH中，PH2+BH=BP2 ..2BH2=BP2, .BH-VBP, QH-BH=BQ, 2PD-2BP-BQ ..PD-BP=2BQ. 10.解：作业：证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM, 则DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC. ,四边形ABCD是正方形， .∠A=∠ADC=∠DCB=90°， ∴.∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90. .·∠EDF=45°， ∴.∠MDF=∠EDF=45° 又.·∠A=∠DCM=∠DCB=90°， .点B,F,C,M在一条直线上 DF=DF. ∴.△EDF≌△MDF, .EF=MF=CM+CF=AE+CF. 故答案为：△MDF,AE: 探究：(1).正方形ABCD的边长为3，AE=1, ∴.BE=2,CM=1 设EF=x,则FM=EF=X,FC=FM-CM=X-1, .BF=3-(x-1)=4-x, 在Rt△BEF中，由2+(4-xP=X2, 解得x号，即5 55 故答案为：22 (2)过D作DF‖AB交队延长线于F,则∠ADF=90° 又：AB=AD=6 “.四边形ABFD是正方形 ∴.CF=2 将△ADE绕点D逝时针旋转90°，得到△DEH,如图， D 则B、C、F、H四点共线，∠ADE=∠FDH,DE=DH, :∠ADE+∠CDF=90-∠EDC=45°， ∴.∠CDH=∠CDF+∠FDH=∠CDF+∠ADH=45°， 又DE=DH,DC=DC, ∴.△CDE≌△CDH, 设CE=CH=y,则FH=AE=y-2, ∴.BE=AB-AE=8-y, ·在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2即42+(8-y=y 解得y=5, ∴.CE=5: 故答案为：5： (3)将△ADC绕点A顺时针旋和转90°得到△AEF,延长EF、CD相交于H,如图： E H B D 则AE=AD,AF=AC,EF=DC=3,∠EAD=∠E=∠ADB=90°，∠EAF=∠DAC, ∴四边形AEHD是正方形， .∠BAC=45,即∠BAD+∠CAD=45, ∴.∠EAF+∠BAD=∠DAC+∠BAD=45°， .∠FAB=45, ∴.△ABF≌△ABC, .∴.BF=BC=5, 设HF=Z,则EH=AD=AE=DH=z+3. .HB=HD-BD=z+1, 六在Rt△BFH中，HF2+BH=BF2即2+2+1=52， 解得z=3(负值舍去)，则z+3=6 .AD=6. 故答案为：6. 11.解：(1)当点B与点D重合时，四边形BEDF是菱形. 理由：设EF与BD交于点O,如图， E D(B) B 由折叠得：EF⊥BD,OB=OD, ∴.∠BOF=∠DOE=90, ,四边形ABCD是矩形， .AD‖BC .∴.∠OBF=∠ODE, ∴.△BFO≌△DEO(ASA), ∴.OE=OF, ∴.四边形BEDF是菱形. (2)当BC=3AB时，始终有AB与对角线AC平行. 理由：如图，设AC、BD交于点O, y, E D B ABCD B F 四边形 是矩形， .∴.OA=OB,∠OBA+∠OBC=90°， ∴.∠OAB=∠OBA, 设∠OAB=∠OBA=Q, 则∠OBC=90°-a, 由折叠得：∠ABF=∠ABC=90°，BF=BF ∴.∠BBF+∠ABB=90°，∠BBF=∠OBC=90°-， ∴.∠ABB=∠OBA=a, AB‖AC, ∠AB'B=∠AOB=a, .∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°， ∴.a+a+a=180°，即3a=180°， .∴.a=60°， ∴.∠BAC=60°，∠ACB=30°， AC=2AB'BC=AC2-AB2=3AB' .C-V3AB-3. AB AB ∴.BC=3AB (3)3EF=2(AP+B'D,理由如下： 如图，过点E作EG⊥BC于G,设EF交BD于H, D B B G 由折叠得：EF⊥BD,BF=BF,∠BFE=∠BFE, 设AE=m,EF=n, 由(2)得：∠BAC=60°=∠ABD, ∴.∠BBF=∠DBC=30°， ∠BFE=∠BFE=60°， Gf,G=派F-GF-2 .∠EAB=∠ABG=∠BGE=90°， ∴.四边形ABGE是矩形， ·AB=EG=3 2 n,BG=AE=m,AD I BC, BF=B F=m+zn, nH即aaP-aF-5-要a刘 :.BB-2BH=V3(m+in), .BD=2AB=3n, BD=BD-BB=93n-93(m+in) 2n= 2n-3m, .AD‖BC .∠g=∠EFG=60, .∴∠APE=∠g-∠DAC=60°-30°=30°=∠DAC, .AE=PE. 过E作ET⊥AP于T, ..AT=PT, 同理可得：ET:AT:AE=1:3:2, AP=2AT=2x3 2 AE=V3m, AP+RD=m+号n-5m-盟n 2, AP+BD-3EF 即3EF=2(AP+BD 12.解：(1)如图1，连接AC,延长CE交AD于H, A ABCD ∠ABC=60· 图1 四边形 是菱形， ∴.△ABC,△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°， .∴.AB=AC,∠BAC=60°，∠CAH=60°， ,△APE是等边三角形， ∴.AP=AE,∠PAE=60°， .·∠BAC=∠PAE, ∴.∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC, ∴.∠BAP=∠CAE, ∴.△BAP≌△CAE(SAS), ∴.BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°， 同理可证△ACD是等边三角形， ∴.∠ACD=2∠ACH=60°， ∴.CH⊥AD,即CE⊥AD 又.∵AD‖BC, .CE⊥BC. 故答案为：BP=CE,CE⊥BC: (2)(1)中结论仍然成立，理由如下： 如图2，连接AC, D ∴.△ABC△ACD 图2 为等边三角形， 在△ABP和△ACE中，AB=AC,AP=AE, 又.·∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP, ∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP ∴∠BAP=∠CAE .△ABP≌△ACE(SAS), ∴.BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°， 设CE与AD交于点H, 同理可得∠ACD=2∠ACH=60°， ∴.CE⊥AD, 又.AD‖BC, .∴.CE⊥BC (3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O,连接CE,BE,作 EF⊥AP于F, H B ABCD D 图3 四边形 是菱形， .∴.AC⊥BD,BD平分∠ABC, .∠ABC=60°，AB=2, ∴.∠AB0=30°， 0A=2AB=1, ∴.OB=AB2-OA2=3 ∴.BD=2OB=2V3 由(2)知CE⊥BC, .·BE=31,BC=AB=2, ∴.CE=VBE2-BC2=33 由(2)知BP=CE=3V3, .DP=3, .OP=23, .AP=V0A2+0P2=913 :'△APE是等边三角形，EF⊥AP, :EF=5FP=S×号AP=5AP 2 5aAe号APx5AP-3Ap-13 2 4 4 如图4中，当点p在DB的延长线上时，同法可得AP=0A2+0P2=12+43=7 .S△AEP= 4 Ap2=493 4 图4 3V349V3 综上所述，△AEP的面积为 4或 4 13.(1)解：由折叠可知，BF=DF,CG=DG,AH=DH=CH, AFG=DF+DG=BF+CG=号BC=3,点H是AC中点， 过点A作AM⊥BC于点M,AM交EH于点N,如图①所示： B- MD 图① :Sa=号BC×AM=号×6×AM=12. 2 AM=4, ∴.由折叠可知：MN=AN=2, .EF=HG=MN=2, ∴完美矩形的面积为：FG×EF=3×2=6: (2)解：由折叠可得：BE=HE,CF=HF,S△ABE=SAAHE,Sg边形AHrG=S四边形DCFG, F=8c-x6=3 1 六S短指AG之S手行形D 1×30=15, ∴AE=S矩形AEFG÷EF=15÷3=5, ∴.矩形的周长=25+3=16： (3)解：连接EG,如图所示： 由折叠可得：点E和G分别是AB和CD的中点， .AE=DG,AE‖DG, .四边形AEGD是平行四边形， .AD=EG=HF, .EF:EH=3:4, ∴.设EF=3x,则EH=4x, ,在Rt△HEF中，EF+EH=FH2, 3x2+4x2=202 解得：x=4, .EF=12,EH=16, .矩形的周长=212+16=56 14.解：(1)，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为F, .∠FAE=∠BAE,∠AFE=∠B=90°，AF=AB ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠D=∠B=90°， .∠D=∠AFP=90°，AD=AF, ..AP=AP .Rt△ADP≌Rt△AFP(HL), .∠DAP=∠FAP, ,∠BAE+∠FAE+∠DAP+∠FAP=90, .∠EAP=∠FAE+∠FAP=45°： (2)解：EF=DF+BE,证明如下： 如图：延长CD到G,使DG=BE,连接AG,则∠ADG=∠B=90°， G D B E .AD=AB .△ADG≌△ABE SAS, .AG=AE,∠GAD=∠BAE, .∠GAF=∠GAD+∠DAF=90°-∠EAF=45°=∠EAF, .AF=AF, ∴.△AFG≌△AFE SAS, .EF=GF, .DG=BE, ∴.EF=FG=DF+DG=DF+BE,即EF=DF+BE. (3)解：将△ABD沿AB翻折得到△ABM,△ADC沿AC翻折得到△ANC,延长 MB,NC交于点O, B D ∠NAM=2∠BAC=90°，AM=AD=AN=12,MB=BD,CN=CD=6,∠N=∠M=90° ,四边形AMQN是正方形， .∠Q=90°，QC=18-6=12, 设BD=BM=X,则BQ=18-X,BC=X+6, 在Rt△BCQ中，BQ2+QC2=BC2,即18-x+12=x+6,解得x=9 ..BD=9 ..BC=BD+CD=15 ∴S口c=号BCAD=号×15x18=135. 15.解：发现问题： ,以点A为直角顶点、分别以AB、AC为腰向△ABC外作等腰直角△ABE、等腰直角 △ACD: ∴.AB=AE,AD=AC,∠CAD=∠BAE=90 :.∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC, 在△BAD和△EAC中， AB=AE ∠BAD=∠EAC, AD=AC ∴.△BAD≌△EAC SAS, ..BD=CE, 故答案为：BD=CE 拓展探究： BD=CE,理由如下， ,四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形， .AB=AE,AD=AC,∠CAD=∠BAE=90 .∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC, 在△BAD和△EAC中， AB=AE ∠BAD=∠EAC, AD=AC ,△BAD≌△EACSAS, ∴BD=CE； 解决问题： 如图，以AB为边向外作等边三角形ABE,连接CE, E. B .∠BAE=60°，BE=AB=AE=8, ,△ADC为等边三角形， .∠CAD=60°，AC=AD, .∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠BAD=∠EAC, 在△BAD和△EAC中， AB=AE ∠BAD=∠EAC, AD-AC .△BAD≌△EAC|SAS, ..BD=CE, 当C、B、E三点共线时，CE最大=BC+BE=15+8=23, ∴.BD的最大值为23 16.解：(1)如图1，点D是所求作的点， D 图1 由勾股定理得AD=32+4=/25=5 CD=12+32=/101 CB=12+32=101 由图可得AB=5, ..AB=AD,CD=CB .四边形ABCD是“筝形”； (2)如图，当EF=EH时， :E是AB中点， .BE=AE, ,AE=BE,EH=EF,∠A=∠B=90°， .△AEH≌△BEF|HL, .AH=BF,又AH‖BF,∠A=90, ∴.四边形ABFH为矩形 .HF‖AB EF=EH,HG=FG. .EG是线段FH的垂直平分线， .EG⊥FH, .EG‖AD, ,∠AEG=90°=∠A=∠D, .四边形AEGD是矩形， .EG=AD=12. 如图，FE=FG,HE=HG. 过点G作GM⊥AB于点M, ∴.∠GME=∠GMB=∠B=∠C=90°， ∴.四边形BMGC是矩形， ∴.BM=CG, ,点E是AB的中点，AB=10, ..AE=BE=5,GM=BC=12 在Rt△BEF中，BE=5,EF=5V2. 由勾股定理得BF=VEF2-BE=5V2-52-51 .BC=12, .CF=BC-BF=12-5=7, 在Rt△CFG中，CF=7,GF=EF=5V2, 由勾股定理得CG=VGF2-CF=52-7子=1 .,BM=CG=1, ∴.ME=BE-BM=5-1=4, 在Rt△GME中，由勾股定理得： EG=VGM2-ME=V122-42=4/10 综上所述，EG=12或4V10】 (3)如图，过A作AH⊥EF, AE平分∠BEF, ∴.∠AEB=∠AEH ,∠AHE=∠B=90°，AE=AE, .△AEH≌△AEBAAS, ..AH=AB=AD,BE=EH. 又∠D=∠AHF=90°，AF=AF, .△AFH≌△AFD HL, .FH=FD. :∠AHF=∠D=∠DFH=90°， ∴四边形AHFD是矩形， .AH=AD, ,四边形AHFD是正方形， ..FH=FD=AD=AH=AB, 设HE=EB=X,则FH=FD=AD=AH=AB=8-X, CE=12-x,CF=12-8-x=x+4, 在Rt△CEF中，CF2+EF2=CE2, 即(x+4+82=12-x2” 解得x=2. ..AD=AB=DF=AH=6,BE=2,CF=6. .S第形ABCD=S△ABE+S△AEFr+S△ADF+S△EFC =ABBE+EF·AH+AD·DF+EF.CF 26x2+号×8×6+号x6x6+号8x6 =6+24+18+24 =72 17.解：(1)，矩形ABCD和矩形CEFG全等， .∴.AD=CG,CD=FG,∠ADC=∠CGF=90°， .∴.△ADC≌△CGF SAS, .∠CAD=∠FCG, .∴.∠ACF=∠ACD+∠FCG=∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°， 故答案为：90： (2)如图，过点F作FH⊥CD交CD延长线于点H, F5-oH ABCD 四边形 是正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD, ∴.∠CBE+∠BEC=90, 由旋转的性质可知，BE=FE,∠BEF=90°， ∴.∠BEC+∠FEH=90°， ∴∠CBE=∠FEH, 在△BCE和△EHF中， ∠CBE=∠HEF BCE=ㄥEHF=90° BE=FE .∴.△BCE≌△EHF AAS, .BC=EH,CE=FH, ∴.CD=EH, ∴.CD-DE=EH-DE,即CE=DH, ∴.DH=FH, ∴.△DHF是等腰直角三角形， .∴.∠FDH=45°， .∠DCG=45°， ∴.△DCG是等腰直角三角形， ∴.CD=CG ∴.CG=BC: (3)0cG号Bc.理南知下： 如图，过点F作∠EFK=∠BEC,交CD延长线于点K, ABCD ∠A=120° 四边形 是菱形， ∴.∠BCD=∠A=120°，BC=CD ∴.∠CBE+∠BEC=60°， 由旋转的性质可知，BE=FE,∠BEF=120°， ∴.∠BEC+∠FEK=60°， ∴.∠CBE=∠FEK, 在△BCE和△EKF中， ∠CBE=∠KEF BE=FE ∠BEC=∠EFK ∴.△BCE≌△EKF ASA, ∴.BC=EK,CE=FK,∠K=∠BCE=120°， ∴.CD=EK, ∴.CE=DK=FK, ∠FPDK=∠DFK=180-∠K=30 .∠CDG=30, ∴.∠G=BCE-∠CDG=90°， ..CG=1CD, 2 cG-sc ②如图，连接FG, 由垂线段最短可知，当EG⊥CD,EG最小， 由O可知，∠DGC=90°，CG=BC,△BCE≌△EKF, 如图，过点F作FM⊥CD延长线于点M,过点E作EN⊥BG于点N, ∴.∠M=∠CNE=90° CNG ,∠BCE=∠EKF=120, ∴.∠ECN=∠FKM=60, 又CE=FK, .∴△CNE≌△KMF AAS, ∴.FM=EN, ,四边形ABCD是菱形，∠A=120°，AB=18, .AB=BC=CD=18. ∴.CG=9, 在Rt△CEG中，∠ECG=60°， ∴.∠CGE=30°， cE=cc-号 2 DE=CD-CE=18-9=22 2 EG-VCG-GE-993 在Rt△ENG中，∠EGN=30°， N=号c-9 FM=93 4 .. △￥t=DE-M=×马×952433 224 16 18.(1)解：如图1中， M EFMN FH 图1 四边形 是正方形， .∴.EF=EN,∠FEN=∠A=∠D=90, ∴.∠AEF+∠AFE=90°，∠AEF+∠DEN=90°， ∴.∠AFE=∠DEN, .∴.△AEF≌△DNE AAS, ∴.AF=DE, .AD=3,AE=1, ∴DE=2, ∴.x=AF=2 过点M作MH⊥FB于点H. 同法可证△MHF≌△FAE, 可得MH=AF=2, S=PB=×5×2=5. 故答案为：2,5： (2)①连接FN ,四边形ABCD为矩形， D C M ∴.AB‖DC F ∴.∠DNF=∠BFN ,四边形EFMN为菱形， ∴.EN‖FM ∴.∠ENF=∠MFN .∴.∠DNF-∠ENF=∠BFN-∠MFN 即∠DNE=∠MFB ②.'AB=7,AF=x .∴.BF=7-X 过点M作MQ⊥BF,垂足为Q D N C E .∴.∠MQF=90 A B ,四边形ABCD为矩形 ∴.AB‖DC .∴.∠D=90 .∴∠D=∠MQF .四边形EFMN为菱形 ∴.EN=FM 在△DEN和△QMF中 ∠D=∠MQF ∠DNE=∠MFQ EN=FM .∴△DEN≌△QMFAAS .∴.MQ=DE=2 S=号BF×MQ=7-X (3)如图4中， D 7-x N X C 2 M E B A X F 图4 当点M在BC上时，x的值最大，△FBM的面积最小， 此时同(2)CN=AF=x, EN=EF, 1+x2=22+7-x2 冰9 26 :S的最小时，x为 故答案为： 26 (4)解：如图3中， D(N) 10 B 图3 在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行AB的线段，点M运 动的路线长=BF的长=7-3， 故答案为：7-3 19.(1)证明：过E作PQ‖AB,交AD于P,交BC于Q, .∠FPE=∠BQE=90°， ,正方形ABCD, .∠BAD=90°，∠DAC=45=∠AEP, ∴.四边形ABQP为矩形，AP=PE, .AP=BQ=PE EF⊥BE, .∠FEB=90°， 又，正方形ABCD, .∠BAD=90°， .∠BAG=90, 又，∠AGF=∠EGB, .∠F=90°-∠AGF, ∠ABE=90°-∠EGB, .∠F=∠ABE」 .△FPE≌△EQB, ∴.EF=BE (2)过E作PQ‖AB,交AD于P,交BC于Q, .∠3=∠4， 结合(1)可得：AB=PQ, ①当E在AO上， 由(1)得∠F=∠3，PA=PE, .∠F=∠4，又∠EPF=∠EQB=90°，∠DAC=45°， G.AP2+PE=AE2,AP=PE=AE ,△FPE≌△EQBAAS, .EQ=PF,AB=PE+EQ=PE+PF =PE+AP+AF, 在Rt△APE中，AP+PE=V2AE, ..AB=2AE+AF, ②当E在OC上，如图， ,∠EPF=∠EQB=∠FEB=90°，∠DAC=∠ACB=45°， 则EQ=CQ,PQ=DC=BC,∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°， .PE=BQ,∠1=∠2， .∴△FPE≌△EQBAAS, ..EQ=PF, E, 同上可知AP=PE=2 .AB=PE+EQ=PE+AP-AF, ..AB=2AE-AF. (3)解：连接BP,作BP⊥PQ,交AD于Q,当点E在点P时，点F与点Q重合， 过点E作EM,EN分别垂直AB,AD,交于点M,点N,过点E作EG⊥EC,交CB的 延长线于G,连接FG, D B 由正方形的性质可得AB=BC=4,∠BAC=∠ACB=45°=∠PAT=∠PAQ,则 △ABC'△AEM:△AEN'△EGC为等腰直角三角形：AC=VA+BC=4V2, .EM=EN,∠MEN=90°=∠EMB=∠ENF, ,BE⊥EF,则∠BEM+∠NEB=∠NEB+∠FEN, ∴.∠BEM=∠FEN, .△BEM≌△FEN ASA, ∴，EF=EB 又，△EGC为等腰直角三角形， ∴.∠ECG=∠EGC=45°，EG=EC,∠GEC=90° 则∠FEG+∠GEB=∠GEB+ㄥBEC,CG=2EC, ,∠FEG=∠BEC, .△FEG≌△BEC SAS, .∠FGE=∠ECG=45°，FG=BC=CD=4, ∴.∠FGC=90, ∴四边形FGCD是矩形，则FD=CG=V2EC, 当点E从点P运动到点C时，点F从点Q运动到点D, 当点E在点P时，EC=PC=AP+AC=8V2 此时点F与点Q重合，FD=QD=V2PC=V2×8V2=16, .动点F的运动路径的长为16， 20.证明：(1)如图所示，延长CB到M,使得BM=DH,连接AM, ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=∠D=∠ABC=90°， 在Rt△ADH,Rt△ABM中， AD=AB ∠D=∠ABM DH=BM .Rt△ABM≌Rt△ADH(SAS), .AM=AH,∠DAH=∠BAM, .∠MAH=∠BAD=90°， BF+DH=FH, .BM+BF=MF=FH, 而AF=AF, ,△AMF≌△AHF, .∠MAF=∠HAF=45； (2)如图所示，延长CB到M,使得BM=DH,连接AM, A M B ,四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠DAB=∠D=∠ABC=90°， 在Rt△ADH,Rt△ABM中， AD=AB ∠D=∠ABM, DH=BM .Rt△ABM≌Rt△ADH(SAS), .AM=AH,∠DAH=∠BAM, .∠MAH=∠BAD=90°， GH‖BC,EF‖AB,且四边形ABCD是正方形， GH⊥EF, ,四边形AGPE,四边形GPFB,四边形PFCH,四边形PEDH是矩形， 设正方形的边长为a,AG=m,GP=n,则FC=a-n,CH=a-m, ,矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍， S P=FC-CH=(a-n)(a-m)=d-(m+n)a+mn'S =AG-GP=mn' 'd-m+nla+mn=2mn'Wd-(m+n)a-mn'2d-2a(m+n)=2mn' 在Rt△FCH中，FH2=FC2+CH2=a-n+a-m2: FH2=2a2-2a(m+n)+m2+n2, FH=m2+2mn+n2=(m+n MF2=(MB+BF)2=(DH+BF2=(AG+GP)2=(m+n)2 F H2=ME=(m+nP FH=MF, .AF=AF,AH=AM. .△AMF≌△AHF(SSS), .∠MAF=∠HAF, ∴.∠HAF=∠MAF=45°. (3)如图，过P作AB,AD的平行线，交矩形ABCD的边于E,F,G,H, 则矩形ABCD被分成4个小矩形， ..AE=PH,BF=PE,PG=CF,PH=DG. A H D B F 由勾股定理可得： PA2=AE2+PE2=PE2+PH2, PC2=PF2+CF2=PF2+PG2, PB2=BE2+PF2=PE2+PE2, PD2=PG2+DG2=PG2+PH2, ..PA2+PC2=PB2+PD2, PA=3,PB=5,PC=7, .PD2=32+7-52=33, ..PD=33: