专题07整式的乘法暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版数学七升八暑假预习讲义

专题07整式的乘法暑假预习讲义 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三种运算法则，理解推导依据。 2.能结合幂的运算性质规范完成整式乘法计算，准确处理系数、字母指数与负号。 3.理解单项式乘多项式的本质是乘法分配律，会去括号并合并同类项。 4.理清多项式乘多项式展开步骤，不漏乘、不重复乘每一项。 5.能区分整式乘法各类题型，规避指数、符号、漏项等常见计算错误。 6.体会转化思想，将复杂整式乘法转化为基础幂运算，为乘法公式、因式分解打基础。 分层预习要求 基础：熟记三类整式乘法法则，完成简单单项式、多项式相乘计算； 提高：含负系数、多字母的整式乘法，计算后合并同类项化简； 拓展：整式乘法混合运算、结合整体代换的化简求值题型 预习必备 知识梳理 1.幂的运算性质 2.零指数幂与负整数指数幂 3.整式乘除运算法则 4.整式混合运算 5.科学记数法除法 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.单项式乘单项式运算 2.单项式乘法求字母或代数式的值 3.单项式乘多项式及求值 4.单项式乘多项式的应用 5.单项式乘多项式求字母的值 6.多项式乘多项式运算 7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 8.多项式乘积不含某项求字母的值 9.多项式乘多项式--化简求值 10.多项式乘多项式与图形面积 11.多项式乘法中的规律性问题 12.整式乘法混合运算 13.同底数幂的除法运算 14.同底数幂除法的逆用 15.零指数幂 16.单项式除单项式运算 17.科学记数法表示数的除法 18.多项式除单项式运算 19.整式四则混合运算 20.新定义运算 强化题型 解答题9题 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 知识点02:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 零指数幂 a0=1 a0 判断有无意义、化简求值 认为 00=1 负指数幂 a−p= a0 化简、混合运算、结果规范 a-2=-a2 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03:整式乘除运算法则 运算类型 法则要点 易错提示 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 先定符号，再算数值 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 负单项式乘各项全部变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，被除式独有字母保留 符号优先判断 多项式÷单项式 各项分别除以单项式，再相加 不能单项式 ÷ 多项式拆分 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点04:整式混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3.最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05:科学记数法除法 1.科学记数法基础形式 一个绝对值较小 / 较大的数写成：a 10n 要求：1 |a| < 10，n为整数 大数：n>0；小数：n<0 2.科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a10m) (b 10n) = (a b) (10m 10n) 分步拆解： (1)系数部分相除：ab (2)10 的幂次相除：同底数幂除法，底数 10 不变，指数相减 10m-n (3)整理结果：保证新系数满足 1 |a|<10，调整 10 的指数 知识点06:高频易错点 易错类型 错误示例 正确思路 避坑提醒 指数减法符号出错 10210-3=102-3=10-1 10210-3=102-(-3)=105 减去负数 = 加正数，去括号变号 结果不化成标准科学记数法 0.6104直接作为答案 改写为6103 系数必须在 110 之间 系数除法算错、忽略小数 (3102)(6101)=0.5101直接收尾 化为5100 小于 1 的系数要进位调整指数 混淆乘除指数规则 除法指数相加 同底数幂相除：指数相减；相乘才相加 分清运算法则 题型1.单项式乘单项式运算 【典例】___________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 【详解】解： . 【跟踪专练2】若，则___________. 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式得，由可求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】设，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．根据单项式乘单项式和同底数幂乘法，左边相乘后指数相加，再与右边对比指数，列方程求解和． 【详解】解：∵， 又∵右边为， ∴且， 解方程： ∴ 解得， ∴． 故选：A． 题型2.单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【跟踪专练2】若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【跟踪专练3】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 题型3.单项式乘多项式及求值 【典例】计算_____． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则，用单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加即可得到结果. 【详解】解：原式 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是代数式求值和单项式乘以多项式，解题关键是根据所求代数式的特征，恒等变形为已知等式的形式，整体代入求解． 根据所求代数式，将已知中的变形得到，整体代入即可得解． 【详解】解：， ， ， 又， ， 原式 ． 故选：． 【跟踪专练2】规定一种新运算，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式，单项式与多项式的乘法． 根据新运算的定义，分别计算 和 ，然后求和． 【详解】解：由新运算定义，． ． 因此，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 题型4.单项式乘多项式的应用 【典例】一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，根据长方形的面积等于长乘以宽列式计算即可． 【详解】解：∵长方形面积长宽 ， ∴这个长方形的面积是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式与图形的面积问题，分别求出两图形的面积，根据面积相等列等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，图的面积为：； 图的面积为：； 即， 故选：． 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图1和图2的阴影面积，可推出，则可推出，图3的阴影面积，据此求解即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∵图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即 ∴图3的阴影面积， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到，，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴边长为b的小正方形的面积为10， 故选：B． 题型5.单项式乘多项式求字母的值 【典例】如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式化简，再利用的展开式中不含有这一项，得出其他项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含有这一项， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练1】若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则展开式子，进而由展开式中不含项，得到项的系数为，据此解答即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 题型6.多项式乘多项式运算 【典例】若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 【跟踪专练1】定义：，例如．若，则的值为_____． 【答案】11 【分析】本题考查整式的乘法，理解定义运算法则是解答的关键． 根据定义运算规则，将转化为，然后展开多项式，比较系数得到a和c的值，最后计算． 【详解】解：由定义， 得， 与比较，得，， 所以， 故答案为：11． 【跟踪专练2】，则的值是_______ 【答案】2019 【详解】解：∵， ∴ ． 【跟踪专练3】某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据多项式的乘法法则，可求出，从而，即可求解． 【详解】解：∵， 根据题意， ∴， 解得：， ∴． 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】若，则□内应填写___________． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．通过展开左边多项式乘积，合并同类项，得到的系数，即可求解． 【详解】解： 与右边对比，可得内应填写 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，对比等式两边对应项系数，得到关于m、n的方程，求出m、n的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 整理得， 对比对应项系数得：，， 解得：，， ． 【跟踪专练3】规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 题型8.多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，先根据多项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项，根据不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进而求出m的值． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法中不含某项的字母关系求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含x的一次项即一次项系数为0，即可得出a、b的关系式． 【详解】∵ 又∵展开结果中不含x的一次项， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】若计算的结果中含项的系数为，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点包括多项式的乘法运算法则、同类项的合并方法，以及通过系数对应关系构建方程求解参数的代数思想，核心是对整式运算和方程求解的综合应用；将多项式展开后，合并同类项，根据项的系数为，列出方程求解． 【详解】解： ∵项的系数为， ∴， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．展开多项式，令x一次项的系数为零，即可得到p与q的关系． 【详解】解：∵ ， 又∵ 展开后不含x的一次项， ∴． 故选：C． 题型9.多项式乘多项式--化简求值 【典例】，则代数式___________． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 【跟踪专练3】实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是求代数式的值．熟练掌握多项式乘多项式法则，等式变形，整体代入，是解题的关键． 根据整式的乘法法则计算，结果中保留，由得，根据即得． 【详解】解：∵ ， 且， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 题型10.多项式乘多项式与图形面积 【典例】设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，计算出的结果，结果中项的系数即为所求答案． 【详解】解： ， ∴要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为9， 故答案为：9． 【跟踪专练1】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形面积，利用长方形面积公式以及割补法分别表示图中几何图形面积即可． 【详解】解：A、如图，①中，， ∴图中几何图形的面积的是，故A不符合题意； B、图中几何图形的面积无法用表示，故B符合题意； C、由于图中几何图形的面积4个长方形的面积和，即，故C不符合题意； D、图中右侧两个长方形可以拼接成一个长为，宽为的长方形，故图中几何图形的面积的是，故D不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【答案】23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 【跟踪专练3】如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减及整式的乘法，设，然后分别表示出和，，由与的差始终不变，得，从而可得结论． 【详解】解：设，则，， ∴ ∵与的差始终不变，即与的取值无关， ∴的系数必须为0， ∴， ∴， 故选：C． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 【典例】观察下列各式：；；，那么_____． 【答案】 【分析】此题考查多项式乘法的规律探究，通过观察已知等式，左边是乘以一个从到的等比数列求和形式，右边是，从而得出一般结论 【详解】由已知等式：， ， ， 可知，对于正整数，有：， 故答案为 【跟踪专练1】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：观察杨辉三角中数据可知，每一行的首尾数字均为1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．依次类推，则： 第5行的数为1，4，6，4，1； 第6行的数为1，5，10，10，5，1； 第7行的数为1，6，15，20，15，6，1， 所以展开式中第四项的系数为20． 【跟踪专练2】阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【答案】8 【分析】根据给出的等式的特点，可以得到等式右边的多项式按照的降幂，的升幂顺序排列，项数为项，第一项和最后一项的系数相同均为1，第二项和倒数第二项的系数相同，等于上一个等式的第一项和第二项的系数之和，第三项和倒数第三项相同，等于上一个等式的第二项和第三项的和，依次类推，根据，即可得出结论； 【详解】解：，， ， ， ， ， 项的系数是8． 【跟踪专练3】如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A．210 B．156 C．136 D．120 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法中的找规律，正确掌握找规律的方法是解题的关键． 根据题意，得出展开式中第三项的系数的规律，再根据规律计算即可求解． 【详解】解：根据题意，可得展开式中第三项的系数为： 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为， 当时，的展开式中第三项的系数为． 故选：D． 题型12.整式乘法混合运算 【典例】定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 【跟踪专练1】如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键．直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故选：A． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 【跟踪专练3】已知，，，则下列说法正确的个数是（   ） ；当时，；；当时，的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法．首先根据整式的乘法把展开可得，可得，从而可得错误；当时可得，根据可以求出、、、的值，计算可得，从而可得正确；根据整式的乘法可得，其中的常数项为，从而可得正确；当时，可得，则有，所以，故正确． 【详解】解：， ， ， ， 故错误； 当时可得：， ， 、、、， ， 故正确； ，， ， 又， ， ， 故正确； ， 当时，， ， ， 故正确． 正确的结论有个． 故选：C． 题型13.同底数幂的除法运算 【典例】若，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先将所求式子中所有幂的底数统一化为，再利用同底数幂的乘除运算法则变形，结合已知等式计算结果． 【详解】解：， 又， ∴原式． 【跟踪专练2】已知二元一次方程，则________． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可． 【详解】解： 由①②得； 将代入，得； ， ， 则， ． 题型14.同底数幂除法的逆用 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂除法的逆用； 利用指数运算的性质，将所求表达式分解为已知指数的形式，再代入数值计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】若，，则________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练3】若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂除法逆运算，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行计算； 由已知方程可得的值，再将所求表达式化为同底数幂的形式，代入计算． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴故选：D. 题型15.零指数幂 【典例】计算：_____________． 【答案】1 【详解】解：． 【跟踪专练1】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：B． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方逆用、零指数幂，先将化为，再根据积的乘方逆用和零指数幂运算，然后运算减法计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的零指数幂的知识点，掌握其知识点时解题关键； 根据指数为零或底数为，分类讨论即可求解. 【详解】解：当时，即，原式； 当 时，即，原式； 当时，即，原式； 的取值有3个； 故选：C. 题型16.单项式除单项式运算 【典例】_____________． 【答案】 【详解】解∶ 【跟踪专练1】的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练2】计算：（______）；______． 【答案】 ； ． 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式、单项式乘以多项式，第一部分设所求表达式为，根据幂的乘方可得：，再利用单项式除以单项式求出结果；第二部分先计算积的乘方，再运用单项式乘以多项式进行计算． 【详解】解：设所求表达式为， 则 ， ， ， ； ． 故答案为：；． 【跟踪专练3】如果，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式、二元一次方程组、平方根，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题关键．先计算单项式除以单项式可得一个方程组，再解方程组可得的值，然后计算平方根即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故选：C． 题型17.科学记数法表示数的除法 【典例】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 题型18.多项式除单项式运算 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式的法则，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，然后相加． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：． 【跟踪专练2】一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的混合运算，设多项式为 ，根据题意列出方程，通过代数运算求解即可． 【详解】解：设这个多项式为 ， 依题意得：， 移项得：， 两边同除以 （）：， 验证：，符合题意． 故答案为： ． 【跟踪专练3】一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 题型19.整式四则混合运算 【典例】计算：______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 先根据平方差公式和多项式的乘法法则计算，再合并同类项． 【详解】原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键． 直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故答案为：． 【跟踪专练3】著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练4】乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式的运算与大小比较，解题的关键是通过作差法比较甲、乙球员击球旋转数的大小． 先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【详解】解：展开甲球员的击球旋转数：， 展开乙球员的击球旋转数：， 作差比较：， ， ，即， 甲球员击出的球更转． 故选：A． 20.新定义运算 【典例】若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 【跟踪专练1】对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，由新规定的运算可得，，，再将，转化为后，再代入求值即可． 【详解】解：由于，，根据新规定的运算可得， ，，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练3】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 【跟踪专练4】定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 【跟踪专练5】定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 【跟踪专练6】对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是“和谐有理数对”，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐有理数对”的定义逐一判断即可； （2）根据“和谐有理数对”的定义列出算式，再等量代换，即可得出答案； （3）根据“和谐有理数对”的定义列出代数式，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“和谐有理数对”， ∵，， ∴不是“和谐有理数对”， 故答案为：； （2）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是“和谐有理数对”． 解答题 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算 (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则和积的乘方公式计算，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）利用多项式除以单项式解答即可； （4）利用多项式乘多项式的运算法则展开即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ； 【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据多项式乘以多项式法则计算并合并同类项，化简完毕后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 上式 ． 4．计算： 【答案】 【分析】先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可． 【详解】解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方和零指数幂，单项式的乘法，再合并同类项即可； （2）先算积的乘方，再根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算、幂的乘方、积的乘方、整式的四则混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先化成同底数幂，然后运用同底数幂乘法运算法则计算即可； （2）先用幂的乘法和积的乘方运算，然后再运用同底数幂乘法和除法法则计算即可； （3）先变形原式，然后再逆用积的乘方运算法则化简，最后再计算即可； （4）先运用积的乘方和幂的乘方化简，最后再算除法即可； （5）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 7．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 8．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 【答案】(1)；；； (2)见解析 (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）根据乘法公式进行计算即可； （2）根据乘法公式进行证明即可； （3）令，由上述规律可得：，即可得到答案； （4）分别求出和，两式相减即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （2）证明：设， 则， 展开，，， 两式相加得：， 即； （3）解：令， 由上述规律可得：， 故 （4）解：令， ， ， 而， ， ． 9．计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07整式的乘法暑假预习讲义 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三种运算法则，理解推导依据。 2.能结合幂的运算性质规范完成整式乘法计算，准确处理系数、字母指数与负号。 3.理解单项式乘多项式的本质是乘法分配律，会去括号并合并同类项。 4.理清多项式乘多项式展开步骤，不漏乘、不重复乘每一项。 5.能区分整式乘法各类题型，规避指数、符号、漏项等常见计算错误。 6.体会转化思想，将复杂整式乘法转化为基础幂运算，为乘法公式、因式分解打基础。 分层预习要求 基础：熟记三类整式乘法法则，完成简单单项式、多项式相乘计算； 提高：含负系数、多字母的整式乘法，计算后合并同类项化简； 拓展：整式乘法混合运算、结合整体代换的化简求值题型 预习必备 知识梳理 1.幂的运算性质 2.零指数幂与负整数指数幂 3.整式乘除运算法则 4.整式混合运算 5.科学记数法除法 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.单项式乘单项式运算 2.单项式乘法求字母或代数式的值 3.单项式乘多项式及求值 4.单项式乘多项式的应用 5.单项式乘多项式求字母的值 6.多项式乘多项式运算 7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 8.多项式乘积不含某项求字母的值 9.多项式乘多项式--化简求值 10.多项式乘多项式与图形面积 11.多项式乘法中的规律性问题 12.整式乘法混合运算 13.同底数幂的除法运算 14.同底数幂除法的逆用 15.零指数幂 16.单项式除单项式运算 17.科学记数法表示数的除法 18.多项式除单项式运算 19.整式四则混合运算 20.新定义运算 强化题型 解答题9题 知识点01.幂的运算性质 基本幂运算法则（a≠0，m、n为正整数） 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 知识点02:零指数幂与负整数指数幂（重难点 + 扣分重灾区） 1. 零指数幂 定义：任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1 公式：a0=1 硬性前提：a0 意义：任何非零数的 0 次幂等于 1 禁忌：00 无意义，考试高频坑 2. 负整数指数幂 定义：非零数的负整数次幂 = 正整数次幂的倒数 公式：a−p=（a0，p为正整数） 核心真谛：负指数≠负数！ 口诀：负指数，变倒数，指数变正 3.特殊指数对比详解表 类型 公式 限制条件 考试考法 典型错解 零指数幂 a0=1 a0 判断有无意义、化简求值 认为 00=1 负指数幂 a−p= a0 化简、混合运算、结果规范 a-2=-a2 4.拓展：分数负指数 口诀：分数负指数，直接倒过来 知识点03:整式乘除运算法则 运算类型 法则要点 易错提示 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，独有字母保留 先定符号，再算数值 单项式×多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 负单项式乘各项全部变号 多项式×多项式 逐项相乘，再合并同类项 不漏乘任意一项 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，被除式独有字母保留 符号优先判断 多项式÷单项式 各项分别除以单项式，再相加 不能单项式 ÷ 多项式拆分 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号优先括号内 知识点04:整式混合运算顺序 1.先乘方（积的乘方、幂的乘方） 2.再乘除（单项式乘除，同底数幂加减指数） 3.最后加减，合并同类项；有括号先算括号内。 知识点05:科学记数法除法 1.科学记数法基础形式 一个绝对值较小 / 较大的数写成：a 10n 要求：1 |a| < 10，n为整数 大数：n>0；小数：n<0 2.科学记数法除法计算法则 两个科学记数法相除： (a10m) (b 10n) = (a b) (10m 10n) 分步拆解： (1)系数部分相除：ab (2)10 的幂次相除：同底数幂除法，底数 10 不变，指数相减 10m-n (3)整理结果：保证新系数满足 1 |a|<10，调整 10 的指数 知识点06:高频易错点 易错类型 错误示例 正确思路 避坑提醒 指数减法符号出错 10210-3=102-3=10-1 10210-3=102-(-3)=105 减去负数 = 加正数，去括号变号 结果不化成标准科学记数法 0.6104直接作为答案 改写为6103 系数必须在 110 之间 系数除法算错、忽略小数 (3102)(6101)=0.5101直接收尾 化为5100 小于 1 的系数要进位调整指数 混淆乘除指数规则 除法指数相加 同底数幂相除：指数相减；相乘才相加 分清运算法则 题型1.单项式乘单项式运算 【典例】___________． 【跟踪专练1】计算 的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则___________. 【跟踪专练3】设，则的值为（） A． B． C． D． 题型2.单项式乘法求字母或代数式的值 【典例】若，则的值为______． 【跟踪专练1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若，则________． 【跟踪专练3】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 题型3.单项式乘多项式及求值 【典例】计算_____． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】规定一种新运算，，则______． 【跟踪专练3】如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型4.单项式乘多项式的应用 【典例】一个长方形的长和宽分别是（其中），则这个长方形的面积是______． 【跟踪专练1】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形可以拼成图，也可以拼成图，则下列关系式中，能利用图和图验证的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将两个正方形A和B按下列方式摆放，图1的阴影面积为m，图2的阴影面积为n，则图3的阴影面积为_______．（用含有m和n的式子表示） 【跟踪专练3】如图，边长为a的正方形，边长为b的正方形，边长为b，c的长方形，边长为b，的长方形，组成了边长为a，的长方形．其中边长为a的大正方形面积为26，图中的阴影部分的总面积为8，则边长为b的小正方形的面积为（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 题型5.单项式乘多项式求字母的值 【典例】如果的展开式中不含有这一项，那么的值为___________． 【跟踪专练1】若的展开式中不含项，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为______． 【跟踪专练3】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 题型6.多项式乘多项式运算 【典例】若关于的二次三项式，则的值是_____． 【跟踪专练1】定义：，例如．若，则的值为_____． 【跟踪专练2】，则的值是_______ 【跟踪专练3】某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 题型7.(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例】若，则□内应填写___________． 【跟踪专练1】已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】已知，则的值是______． 【跟踪专练3】规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型8.多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】若的展开式中不含的一次项，则常数_____． 【跟踪专练1】若展开的结果中不含x的一次项，则a、b满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若计算的结果中含项的系数为，则的值为________． 【跟踪专练3】若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（   ） A． B． C． D． 题型9.多项式乘多项式--化简求值 【典例】，则代数式___________． 【跟踪专练1】已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【跟踪专练2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【跟踪专练3】实数a，b，c满足且；则 的值为（   ） A．0 B． C． D．1 题型10.多项式乘多项式与图形面积 【典例】设有边长分别为和的类和类正方形纸片，长为、宽为的类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张类纸片、1张类纸片和2张类纸片．若要拼一个长为，宽为的长方形，则需要类纸片的张数为___________． 【跟踪专练1】下面四个整式中，不能表示图中几何图形的面积的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 【跟踪专练3】如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为，当的长变化时，与的差始终不变，则a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 题型11.多项式乘法中的规律性问题 【典例】观察下列各式：；；，那么_____． 【跟踪专练1】杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就．它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示，(此处n为自然数)的展开式中各项的系数．那么展开式中第四项的系数为(    ) A．8 B．10 C．18 D．20 【跟踪专练2】阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律． 根据上述规律，的展开式中a项的系数是_____________． 【跟踪专练3】如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　） A．210 B．156 C．136 D．120 题型12.整式乘法混合运算 【典例】定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 【跟踪专练1】如图是李伟家住房的结构图（单位：），李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【跟踪专练3】已知，，，则下列说法正确的个数是（   ） ；当时，；；当时，的值为 A． B． C． D． 题型13.同底数幂的除法运算 【典例】若，则m的值为______． 【跟踪专练1】若，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪专练2】已知二元一次方程，则________． 【跟踪专练3】若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 题型14.同底数幂除法的逆用 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．10 B．12 C．18 D．34 【跟踪专练2】若，，则________． 【跟踪专练3】若 ，则 （     ） A．9 B．12 C．27 D．81 题型15.零指数幂 【典例】计算：_____________． 【跟踪专练1】若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】若，则的取值有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型16.单项式除单项式运算 【典例】_____________． 【跟踪专练1】的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：（______）；______． 【跟踪专练3】如果，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 题型17.科学记数法表示数的除法 【典例】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【跟踪专练1】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 题型18.多项式除单项式运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】如图是一道残缺不全的题目，被遮住的式子是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个多项式乘，再加上，得，则这个多项式是____________． 【跟踪专练3】一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型19.整式四则混合运算 【典例】计算：______________． 【跟踪专练1】如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为________． 【跟踪专练3】著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 【跟踪专练4】乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（，简称）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为，乙球员击球数据为，谁击出的球更转（   ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 20.新定义运算 【典例】若规定，则当时，的值为__________． 【跟踪专练1】对定义一种新运算：．如：．计算：___________． 【跟踪专练2】如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则_______． 【跟踪专练3】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【跟踪专练5】定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【跟踪专练6】对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 解答题 1．计算： (1) (2) 2．计算 (1)； (2)． (3)． (4)． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．计算： 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1) (2) (3) (4) (5) 7．某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 8．根据规律求解： (1)计算下列各式： ______； ______； ______； … 观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整； ______． 根据上面规律解决下列问题： (2)证明这个等式． (3)计算：； (4)直接写出：的计算结果． 9．计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $