专题03全等三角形(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版七升八数学暑假预习讲义

专题03全等三角形暑假预习讲义 .概念认知：理解全等形、全等三角形定义，会识别对应顶点、对应边、对应角，规范书写全等符号。 2.性质掌握：熟记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用性质求线段长、角度。 3.判定核心：牢记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种全等判定方法，分清各定理适用条件，区分易混淆错误判定（SSA、AAA）。 4.作图能力：会用尺规完成五种判定对应的基础作图（作等线段、等角、已知三边 / 两边夹角作三角形）。 5.角平分线：掌握角平分线尺规画法，熟记角平分线性质与判定定理，能完成距离相关计算与证明。 6.证明：学会规范几何证明步骤，能结合全等、平行线、三角形内角和完成简单几何说理。 7.方法：体会数形结合、转化、建模思想，养成严谨推理、标注图形条件的解题习惯。 分层预习要求 基础：分清全等对应元素，熟记 5 种判定定理，直接用性质简单求值； 提高：独立书写全等证明，灵活选择判定方法，运用角平分线性质解题； 拓展：多步综合证明、线段 / 角度等量代换、辅助线构造全等题型。 预习必备 知识梳理 1.全等三角形的概念 2.图形变换与全等 3.全等三角形的性质 4,全等三角形的判定 5.已知三边作三角形 6.角平分线 常考题型 精讲精练 1.图形的全等 2全等三角形的概念. 3.全等三角形的性质 4.用SAS证明三角形全等 5.全等的性质和SAS综合 6..尺规作图-作三角形 7.用ASA(AAS)证明三角形全等 8.全等的性质和ASA(AAS)综合 9..用SSS证明三角形全等 10.全等的性质和SSS综合 11.用HL证全等 12.全等的性质和HL综合 13.添加条件使三角形全等 14.灵活选用判定方法证全等 15.倍长中线模型 16.旋转模型 17.全等三角形综合问题 18.尺规作一个角等于已知角 19.作角平分线 20.角平分线的性质定理 21.角平分线的判定定理 22.角平分线性质的实际应用 强化题型 解答题11题 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑技巧 书写全等 对应顶点顺序混乱 字母必须一一对应，否则对应边角会找错 抄题时严格对齐顶点 SAS 误用 用两边及对角（SSA）证明全等 夹角才能用 SAS，对角无法判定全等 先标记角是否夹在两边中间 HL 乱用 普通三角形使用 HL 判定 HL 仅限直角三角形，普通三角形不可用 先观察是否有直角标记 角平分线漏条件 使用性质不写 “垂直” 距离必须是垂线段长度，无垂直不能直接得线段相等 证明时必须标注垂直符号 性质混淆 面积相等直接推出全等 全等一定面积相等，面积相等不一定全等 全等需要边、角条件支撑 证明跳步 省略关键推导依据（公共边、对顶角） 每一组相等条件都要标注来源 初学完整写出每一步理由 题型1.图形的全等 【典例】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【跟踪专练2】下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 题型2全等三角形的概念. 【典例】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【跟踪专练1】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型3.全等三角形的性质 【典例】如图，，若，，则等于______． 【跟踪专练1】如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【跟踪专练2】如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【跟踪专练3】如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型4.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【跟踪专练1】如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型5.全等的性质和SAS综合 【典例】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 【跟踪专练1】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【跟踪专练2】如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【跟踪专练3】如图，，，点E在上，，若，则的度数为（） A． B． C． D． 题型6..尺规作图-作三角形 【典例】如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【跟踪专练1】根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型7.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 【跟踪专练1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为___________． 【跟踪专练3】有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 题型8.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【跟踪专练1】如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【跟踪专练2】如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 题型9..用SSS证明三角形全等 【典例】如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是__________在或选填 【跟踪专练1】如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【跟踪专练2】如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【跟踪专练3】如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型10.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【跟踪专练1】在早期航海中，海员通常使用一种简易的“角度平分仪”来确定方向．如图，仪器由四根硬木条组成，其中，各结点可自由转动．测量时，将点A放在罗盘中心与顶点R重合，调整点B，D，使其分别对准两个目标方向，过点A，C画一条射线，则就是的平分线．此“角度平分仪”运用的数学原理是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为____________． 【跟踪专练3】如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型11.用HL证全等 【典例】如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，若要利用“”证明，则需要添加条件______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【跟踪专练3】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 题型12.全等的性质和HL综合 【典例】如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【跟踪专练1】如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【跟踪专练3】如图，，，下列条件中不能判断与全等的是（   ） A． B． C． D． 题型13.添加条件使三角形全等 【典例】如图，，，要证明，还需要的条件是：_________． 【跟踪专练1】傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【跟踪专练3】如图，点在同一条直线上，，根据全等三角形的判定方法，不能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 题型14.灵活选用判定方法证全等 【典例】如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【跟踪专练1】如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 题型15.倍长中线模型 【典例】在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 题型16.旋转模型 【典例】如图，，点D在边上，，则________°． 【跟踪专练1】如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【跟踪专练2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型17.全等三角形综合问题 【典例】如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 【跟踪专练1】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【跟踪专练3】如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 题型18.尺规作一个角等于已知角 【典例】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【跟踪专练1】如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【跟踪专练2】如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为_____________（用含的代数式表示） 题型19.作角平分线 【典例】如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则______． 【跟踪专练1】下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型20.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【跟踪专练1】到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【跟踪专练2】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【跟踪专练3】如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 题型21.角平分线的判定定理 【典例】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 题型22.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，在中，，平分，，，则的长为______． 【跟踪专练1】上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【跟踪专练2】如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【跟踪专练3】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 2．如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 3．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 4．商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 5．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 6．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 7．如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 8．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 9．如图，是的平分线，．求证：． 10．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 11．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形暑假预习讲义 .概念认知：理解全等形、全等三角形定义，会识别对应顶点、对应边、对应角，规范书写全等符号。 2.性质掌握：熟记全等三角形对应边相等、对应角相等，能利用性质求线段长、角度。 3.判定核心：牢记 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种全等判定方法，分清各定理适用条件，区分易混淆错误判定（SSA、AAA）。 4.作图能力：会用尺规完成五种判定对应的基础作图（作等线段、等角、已知三边 / 两边夹角作三角形）。 5.角平分线：掌握角平分线尺规画法，熟记角平分线性质与判定定理，能完成距离相关计算与证明。 6.证明：学会规范几何证明步骤，能结合全等、平行线、三角形内角和完成简单几何说理。 7.方法：体会数形结合、转化、建模思想，养成严谨推理、标注图形条件的解题习惯。 分层预习要求 基础：分清全等对应元素，熟记 5 种判定定理，直接用性质简单求值； 提高：独立书写全等证明，灵活选择判定方法，运用角平分线性质解题； 拓展：多步综合证明、线段 / 角度等量代换、辅助线构造全等题型。 预习必备 知识梳理 1.全等三角形的概念 2.图形变换与全等 3.全等三角形的性质 4,全等三角形的判定 5.已知三边作三角形 6.角平分线 常考题型 精讲精练 1.图形的全等 2全等三角形的概念. 3.全等三角形的性质 4.用SAS证明三角形全等 5.全等的性质和SAS综合 6..尺规作图-作三角形 7.用ASA(AAS)证明三角形全等 8.全等的性质和ASA(AAS)综合 9..用SSS证明三角形全等 10.全等的性质和SSS综合 11.用HL证全等 12.全等的性质和HL综合 13.添加条件使三角形全等 14.灵活选用判定方法证全等 15.倍长中线模型 16.旋转模型 17.全等三角形综合问题 18.尺规作一个角等于已知角 19.作角平分线 20.角平分线的性质定理 21.角平分线的判定定理 22.角平分线性质的实际应用 强化题型 解答题11题 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑技巧 书写全等 对应顶点顺序混乱 字母必须一一对应，否则对应边角会找错 抄题时严格对齐顶点 SAS 误用 用两边及对角（SSA）证明全等 夹角才能用 SAS，对角无法判定全等 先标记角是否夹在两边中间 HL 乱用 普通三角形使用 HL 判定 HL 仅限直角三角形，普通三角形不可用 先观察是否有直角标记 角平分线漏条件 使用性质不写 “垂直” 距离必须是垂线段长度，无垂直不能直接得线段相等 证明时必须标注垂直符号 性质混淆 面积相等直接推出全等 全等一定面积相等，面积相等不一定全等 全等需要边、角条件支撑 证明跳步 省略关键推导依据（公共边、对顶角） 每一组相等条件都要标注来源 初学完整写出每一步理由 题型1.图形的全等 【典例】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，四边形四边形，则的度数是 ______ 【答案】 【分析】本题考查了全等图形的性质，根据全等图形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和即可求解，掌握全等图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 题型2全等三角形的概念. 【典例】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 【跟踪专练2】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：   . 以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型3.全等三角形的性质 【典例】如图，，若，，则等于______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，若，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】解：， ，， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形性质推出，再结合对顶角性质和三角形内角和推出，即可解题． 【详解】解：如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型4.用SAS证明三角形全等 【典例】如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴判定的理由是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，，则能通过全等证明出，所用的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ． 【跟踪专练2】如图，AD是的角平分线，，点E在边AC上，且，连接DE．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 先根据角平分线性质得到角的关系，再通过全等三角形判定证明全等，进而得出对应角相等，最后利用补角性质求出所求角的度数． 【详解】解：∵， ， ∴． ∵AD是的角平分线， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 题型5.全等的性质和SAS综合 【典例】某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________． 【答案】12 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明即可解答． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， 故答案为12． 【跟踪专练1】如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长至D，使，连接并延长至E，使，连接．若量出米，则A，B间的距离为（   ）米． A．25 B．22.5 C．12.5 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，利用证明，则可得到米． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米， ∴A，B间的距离为25米， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则______． 【答案】70 【分析】根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，，，点E在上，，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设与相交于点，先证明，进而可依据“”判定和全等得，再根据三角形外角性质得． 【详解】解：设与相交于点，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 题型6..尺规作图-作三角形 【典例】如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作______； （2）如图③，在射线上截取______，在射线上截取______； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 【跟踪专练1】根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意； 当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 题型7.用ASA(AAS)证明三角形全等 【典例】某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是带___________去． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故答案为：③． 【跟踪专练1】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 【跟踪专练2】如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中线与面积，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再根据的面积可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（    ） A．方案一：√、方案二：√ B．方案一：×、方案二：× C．方案一：×、方案二：√ D．方案一：√、方案二：× 【答案】D 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 题型8.全等的性质和ASA(AAS)综合 【典例】如图，，，于点，于点，若，，则的面积为_________ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质． 通过全等三角形的判定定理证明，从而证明，，由即可求解． 【详解】解：， ， 于点， ， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，，，D为中点，，，垂足为点E，则________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后结合D为中点求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型9..用SSS证明三角形全等 【典例】如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是__________在或选填 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：在与中， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 【跟踪专练2】如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 【跟踪专练3】如图，已知，添加一个条件后，仍然不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定方法（、、、、），并明确不能作为判定三角形全等的依据是解题的关键． 已知，且公共边，逐一分析各选项添加条件后能否满足全等三角形的判定定理（、、、等），从而判断是否能判定． 【详解】解：在和中，已知，． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵，，， ∴不满足全等三角形的判定定理（不能判定全等）， ∴不能判定． 选项： ∵， ∴（）． 选项： ∵， ∴（）． 故选：． 题型10.全等的性质和SSS综合 【典例】如图，在与中，E在边上，，若，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】根据证明，可得再根据三角形内角和即可求出结果． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 【跟踪专练1】在早期航海中，海员通常使用一种简易的“角度平分仪”来确定方向．如图，仪器由四根硬木条组成，其中，各结点可自由转动．测量时，将点A放在罗盘中心与顶点R重合，调整点B，D，使其分别对准两个目标方向，过点A，C画一条射线，则就是的平分线．此“角度平分仪”运用的数学原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，利用可证明，则可得到，即就是的平分线，据此可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，，若，则的度数为____________． 【答案】/50度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．先由三角形内角和定理求出，再根据“”证明，得，再根据三角形外角性质求得． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．根据，推出，由外角性质求得，再根据“”证明，得即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 在和中，， ， ． 故选：C． 题型11.用HL证全等 【典例】如图，于点C，点E在上，且．要根据“”证明，需再添加的条件为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得已有一条直角边对应相等，要根据“”证明，则需要两个直角三角形的斜边对应相等，据此可得答案． 【详解】解：添加的条件为，证明如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在和中，，，若要利用“”证明，则需要添加条件______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用“”证明三角形全等是解题的关键． 利用“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴和是直角三角形， ∵为直角边相等， ∴只需添加斜边即可利用“”证明． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 【跟踪专练3】如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可得． 【详解】解：∵，， A、添加，利用定理可判定，则此项不符合题意； B、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； C、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； D、添加，∴，则，能用可判定，则此项符合题意； 故选：D． 题型12.全等的性质和HL综合 【典例】如图，为的斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于． 若，，则的长为 _______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接，证明，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在内引射线，作于点D，于点E，若，，下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用证明，即可判断A； 根据可得出，即可判断B； 根据可得出，，从而可求得，即可判断D； 再求得，即可判断C． 【详解】解：∵作于点D，于点E， ∴， 在与中， ， ∴， 故A正确，但不符合题意； ∵， ∴， 故B正确，但不符合题意； ∵， ∴，， ∴， 故D正确，但不符合题意； ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，，，一动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，为射线上一动点，随着点的运动而运动，且始终保持，当点（不与点重合）经过___________时，和全等． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ①当E在线段上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ②当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； ③当E在线段上，时，， 这时E在B点处，不合题意舍去； ④当E在上，时，， ，， ， ， ∴点E的运动时间为（秒）； 综上：当点（不与点重合）经过或或时，和全等， 故答案为：或或． 【跟踪专练3】如图，，，下列条件中不能判断与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，垂直定义和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据垂直得出直角，根据平行线的性质得出相等的角，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.该选项无法证明； B.∵，，， ∴； C.∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； D.∵， ∴， 又∵，， ∴； 故选：A． 题型13.添加条件使三角形全等 【典例】如图，，，要证明，还需要的条件是：_________． 【答案】（或或或） 【分析】根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴添加或可根据得到， 添加或可根据得到， 即还需要的条件是（或或或） 【跟踪专练1】傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 【跟踪专练2】如图，点在线段上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定解题即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 故答案为：或或（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，点在同一条直线上，，根据全等三角形的判定方法，不能证明的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，结合，再分别添加四个选项中的条件，结合全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又 A、添加，利用不能判定，故此选项符合题意； B、添加，可得，利用能判定，故此选项不合题意； C、添加，可得，利用能判定，故此选项不合题意； D、添加，利用能判定，故此选项不合题意． 题型14.灵活选用判定方法证全等 【典例】如图，一块三角形玻璃破裂成I，II号两块，现需划同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上___________号碎片．根据全等三角形的知识，这样选择的依据是___________． 【答案】 Ⅱ 角边角/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带Ⅱ号碎片去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：Ⅱ，角边角． 【跟踪专练1】如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点睛】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【跟踪专练3】根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 题型15.倍长中线模型 【典例】在三角形中，若，，则中线的取值范围为_____． 【答案】 【分析】如图，延长到E，使，连接，证明，得到，在中，，即可求出答案． 此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，在三角形中，若，，延长到E，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【跟踪专练2】如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 题型16.旋转模型 【典例】如图，，点D在边上，，则________°． 【答案】 【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【跟踪专练1】如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． . 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 【跟踪专练2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 题型17.全等三角形综合问题 【典例】如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 首先利用判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴共3对全等三角形， 故答案为3． 【跟踪专练1】如图，在2×2的正方形网格中，线段的端点均在格点上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形综合问题，证明即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【跟踪专练2】如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．首先求出的长，要使△与△全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 【详解】解：设经过秒后，使△与△全等， ，，点为的中点， 厘米， ， ， 要使△与△全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点的速度为：； 时，，故点的速度为：； 即点的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 【跟踪专练3】如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 题型18.尺规作一个角等于已知角 【典例】小华利用已学知识用尺规作一个角等于已知角，具体情况如图所示则小华得到与全等的依据是__________． 【答案】 【分析】利用作图痕迹得到，，根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：由作图痕迹得，， ． 【跟踪专练1】如图，点在的边上，用尺规作出了．以下是打乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，． A．①②③④ B．③②④① C．④①③② D．④③①② 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图——作一个角等于已知角．解题的关键是掌握作一个角等于已知角的作图过程．根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的过程可知： ④以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F； ①以C为圆心，长为半径画弧，交于点M； ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D； ②作射线，则． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D，画射线，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径依次画弧，分别交前弧于点，画射线，反向延长，画出的角平分线，则为_____________（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的性质，以及角的运算，根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到 【详解】解：由题可知，， ， 为的角平分线， ， 故答案为： 题型19.作角平分线 【典例】如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图以及三角形的外角的定义及性质，由题意得出平分，是解题关键，再根据即可求解； 【详解】解：由题意得：平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 【跟踪专练2】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图画角平分线，角平分线定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，是的平分线，根据角平分线定理可得，结合三角形的面积公式可求出． 【详解】解：如图，作，垂足为， 由作图可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线的作法及角平分线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的步骤是解题的关键； 根据尺规作图的画法可得是的角平分线，所以，，从而证得，由此可以判断各个选项． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线， ∴，， ∴选项A、D不符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵不一定成立， ∴选项C符合题意； 故选：C． 题型20.角平分线的性质定理 【典例】如图，在中，，平分，，则点到直线的距离为____． 【答案】2 【分析】角的平分线上的点到角的两边的距离相等，据此求解即可． 【详解】解：∵，平分，， ∴点到直线的距离． 【跟踪专练1】到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 【跟踪专练2】如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 【跟踪专练3】如图，已知是的角平分线，，点E是边上的中点，连接，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平分面积，得到，根据角平分线的性质得到，综合可得结果． 【详解】解：点是边上的中点， ， 是的角平分线， 点到、的距离相等，设点到、的距离为， 则， 又， ． 题型21.角平分线的判定定理 【典例】如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 【跟踪专练2】如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 【详解】解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 题型22.角平分线性质的实际应用 【典例】如图，在中，，平分，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 解答题 1．如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质得到，，然后利用线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，然后根据题意得到，进而可得到． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）略． 2．如图，，点，在上，且，连接，，，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先证明，再证明，证明即可； （2）根据平行线的判定，证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． ， ． ， ． ， ． 在和中， ， ． （2）解：，理由： 由（1）知：， ． 在和中， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 4．商丘的风筝活动丰富多彩，既包括市民在公园休闲放飞，也涵盖学校美育实践和文旅节庆中的非遗展示，体现了风筝文化在日常生活和教育传承中的活力，图1是市民在“商丘好人”主题公园放风筝的图片，图2是风筝骨架的示意图，其中，． (1)求证：； (2)小华发现平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)正确；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，然后根据角平分线定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：正确，理由： 由（1）得， ∴， 即平分， 所以小华的发现是正确的． 5．如图，点B、E、C、F在一条直线上，与交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 6．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【分析】由，得，由得，可证，可得，即可证明． 【详解】略 7．如图，在和中，，． (1)请添加一个条件________，使； (2)若，且，，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】（1）添加一个条件为，再证明出，最后利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：添加一个条件为， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 8．如图，，，，与交于点F，连接、． (1)请找出图中的全等三角形； (2)你认为线段与之间存在怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是熟知全等三角形的判定定理，，，． （1）利用全等三角形的判定定理判定即可； （2）利用得到即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴； ∴，，， ∴， ∴， 在与中， ； ∴，， ∴，即， 在与中， ， ； 综上，全等三角形有；；； （2）解： 证明：由（1）知， ∴． 9．如图，是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 10．如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知 ，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可． （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ， 在与中， ， ， ， 又∵，， 平分． （2）解：由（1）得， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 11．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $