专题05有理数的乘法与除法(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版六升七数学暑假预习讲义

专题05有理数的乘法与除法暑假预习讲义 1.通过实际情境理解有理数乘法、除法法则的由来，熟记两数相乘、相除的符号规律与数值计算方法。 2.掌握多个有理数相乘的符号判定规则，会判断积的正负，能规范完成连乘运算。 3.理解倒数的定义，会求非 0 有理数的倒数，理清倒数与相反数的区别。 4.掌握有理数除法两种计算思路：除以一个数等于乘它的倒数；同号得正、异号得负并把绝对值相除。 5.熟练运用乘法交换律、结合律、分配律简化有理数混合乘法计算，能区分运算律适用形式。 6.理清有理数乘除混合运算顺序，统一转化为乘法再计算，规范处理符号、分数约分。 7.区分乘除符号易错点，避免和加减法符号法则混淆，提升含负号、分数的计算准确率。 8.体会转化思想：将有理数除法转化为乘法运算，为后续有理数四则混合运算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记乘、除法符号法则，会求倒数，能完成简单两数相乘、相除计算。 提高：多个有理数连乘判断符号，运用乘法运算律简便计算，分数、小数乘除互化运算。 拓展：乘除混合化简求值，含括号、多重负号的复杂计算，结合实际列式解决应用问题。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题7题 倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 1 判断两个因数符号，确定积的符号； 2 计算两个数绝对值的乘积； 3 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 一、除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】规定，求的值为( ) 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴，这样便于后面的运算， 故选：A 【跟踪专练2】从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法． 两个有理数相乘，异号得负，要使积最小，应选择绝对值最大的正数和绝对值最大的负数相乘． 【详解】解：正数中绝对值最大的是5，负数中绝对值最大的是， 两者相乘得． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不符合题意； 、，箭头所指的数可能是算式的积，符合题意； 、中里最小为，则，不符合题意； 、，若里为，则，不符合题意； 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的性质，若多个有理数的积为0，则至少有一个因数为0，据此即可解答． 【详解】解：∵2025个有理数相乘所得的积为0， ∴这2025个数中至少有一个数为0． 故选：B． 【跟踪专练2】四个整数互不相等，且满足条件，式子的值为___________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，确定出这四个数是解题的关键，也是本题的难点． 根据49的分解质因数确定出这四个数，然后相加即可得解． 【详解】解：， 这4个数只能是，1，，7， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 【答案】80 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，售价，标价，折扣三者的关系，根据题意，可知打八折表示按标价的销售，据此即可得出答案． 【详解】解：（元） 故答案为：80． 【跟踪专练1】规定，则．同理可得，___________． 【答案】22 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据新定义运算规则，将，代入公式计算即可 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：22． 【跟踪专练2】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 【答案】121天 【分析】七进制与十进制转换的关系，结合已知条件中“满十进一”的算式可列出“满七进一”的算式． 本题考查有理数的混合运算，理解题目意思是解题关键． 【详解】解：满十进一：． ∴图片中“满七进一”的数表示为：， ∴孩子已经出生的天数为121天． 故答案为：天． 【跟踪专练3】如图中能说明“”与“”相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据图形，可以分别写出四幅图所列的算式，然后即可判断哪个选项符合题意，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，图线段的长； 图大长方形的面积：； 图总的球的个数：； 图总的钱数：（元）； 由上可得，能说明“”与“”相等的是， 故选：． 题型4.倒数 【典例】3.5的倒数是_______． 【答案】 【详解】解：，且， 的倒数是． 【跟踪专练1】2026年元旦，信州区某中学七年级新生用未来密码钥匙“”开启了新年的大门，以下表示的相反数的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，先根据相反数的定义求出的相反数，再根据倒数的定义求出该相反数的倒数，最后匹配对应的选项． 【详解】解：∵根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是； 又∵根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数， ∴的倒数是； 故选：D． 【跟踪专练2】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 __． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和互为倒数， 故选：C． 题型.5.有理数乘法运算律 【典例】简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义． 结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可． 【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确； 选项B运用乘法结合律，运算律运用正确； 选项C中，除法无分配律，运算律运用错误； 选项D运用乘法分配律，运算律运用正确； 故选：C． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】1000 【分析】本题考查了有理数乘法与加减的混合运算，解题的关键是根据运算定律来计算．先将9998拆分成，然后根据乘法分配律逐步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：1000． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算和乘法分配律的应用，解题的关键是准确识别并运用乘法分配律对式子进行变形． 根据乘法分配律直接计算即可． 【详解】解： ； 故选：A． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算_____． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握有理数除法法则是解题的关键． 利用除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练1】将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【答案】B 【分析】本题考查十进制数转化为二进制数，使用“除2取余，逆序排列”的方法求解即可 【详解】解：∵余1 余0 余1 余1 余1 将所得余数从下往上逆序排列，得到二进制数11101， 故选：B 【跟踪专练2】若 ，且，则______． 【答案】7或 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的除法，有理数的减法． 根据绝对值的定义和有理数的除法法则，确定x和y的值，进而计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴x和y异号， 即或． 当时，； 当时，． 故答案为：7或． 【跟踪专练3】数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可知点到点的距离等于点到点的距离，即点是线段的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：以点为折点将数轴向右对折，点的对应点刚好与点重叠， ，即点是线段的中点， 点表示，点表示， 点表示的数为． 题型7.有理数除法的应用 【典例】“拔仙台”是秦岭山脉主峰太白山的最高顶，海拔约为．气象资料表明，高度每增加，气温下降约，已知太白山地面气温为，那么“拔仙台”处的气温约为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，弄清题意是解此题的关键．根据题意列出算式，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 【跟踪专练2】第十四届国际数学教育大会会徽如图所示，会徽右下方的“卦”是用我国古代的计数符号表达的八进制数3745，转换成十进制：，即．七进制也曾是我国古代采用的进制记数法，现将采用七进制数，则（( )）7． 【答案】 【分析】本题主要考查了除法运算的应用，解题的关键是熟练掌握十进制转化为7进制的方法．先分别求出，继而作答即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：5622． 【跟踪专练3】干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据有理数的乘除运算法则，运算顺序从左到右，先将除法转化为乘法，再计算乘法． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，， ∴． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，掌握算理是解决问题的关键。根据运算算理逐一判断即可。 【详解】解：， ∴选项不符合题意； ， ∴B选项不符合题意； ∴C选项符合题意； ∴D选项不符合题意， 故选：C． 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 【跟踪专练1】计算： 【答案】 【详解】解：原式 【跟踪专练2】数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 的倒数为，求出其值，再求倒数即可． 【详解】解：的倒数为， ， 所以． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法与加法的混合运算，熟练掌握有理数的乘法与加法的混合运算是关键．根据有理数的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若定义新运算规定：，则计算的结果为（   ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，只需将对应数值代入给定的新运算公式，按照有理数四则运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，按照运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号先算括号内的，逐一计算验证选项即可。 【详解】选项A： ∵ ， ∴ A错误； 选项B： ∵ ， ∴ B错误； 选项C： ∵ ， ∴ C错误； 选项D： ∵ ， 计算符合运算法则，结果正确， ∴ D正确； 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 【答案】4050 【分析】第一次降价以原价为基础，第二次降价以第一次降价后的价格为基础，计算得到最终售价． 【详解】解：第一次降价后，售价为元； 第二次降价，以第一次降价后的价格为基础计算，售价为元． 【跟踪专练1】有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 【答案】B 【分析】先计算6筐水果的标准总重量，再计算所有重量偏差的和，最后将两者相加得到实际总重量． 【详解】解：（千克）． 答：这6筐水果总重量为115.5千克． 【跟踪专练2】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 【答案】 【详解】解：设原来的观众人数为，原来票价为元，则原来总收入为元， 降价后观众增加一半，因此降价后的观众人数为： 收入增加五分之一，因此降价后的总收入为：元， 可得降价后的门票单价为：元， 因此降价金额为：元． 【跟踪专练3】某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算的应用． 设商品原来的价格为a元，求出三种方案的最终价格，进而判断即可． 【详解】解：设商品原来的价格为a元， 方案一提价后的价格为（元）； 方案二提价后的价格为（元）； 方案三提价后的价格为（元）． 因为， 所以， 所以方案三提价最多． 故选：C． 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号．由数轴可知，，，从而得到，，最后根据有理数的乘法法则即可得解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示：则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴可得，进而根据有理数的加法与乘法法则判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，． 【跟踪专练2】有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据数轴上点的位置得到式子的正负，再根据绝对值的性质化简求值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 题型13.数轴上的翻折 【典例】将数轴折叠后，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． 【答案】2025 【分析】本题考查了数轴知识，解题的关键是熟练的掌握数轴知识．先根据已知条件表示的点与表示3的点重合，确定折叠时的对称轴所在的数，根据对称性，再求与重合的点表示的数． 【详解】解：∵表示的点与表示3的点重合， ∴折叠时对称点为：， ∴， 即表示的点与表示2025的点重合． 故答案为：2025． 【跟踪专练1】在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点表示的数，涉及折叠性质，数形结合是解决问题的关键． 先由折叠性质得到点表示的数是，且，再由数轴上中点表示的数的求法列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，，如图所示： 点表示的数是，且， 则由数轴上中点表示的数的求法得，点表示的数是， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 【跟踪专练3】点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 题型14.新定义运算 【典例】若定义一种新运算，规定，则______． 【答案】0 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】我们用“”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定当时，；当时，，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了新定义运算与有理数的混合运算，解题的关键是准确理解新运算的规则，分情况计算． 先判断与的大小关系，按对应规则计算；再将所得结果与比较大小，继续按新运算规则计算最终结果． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：16． 【跟踪专练2】定义一种关于有理数的新运算：对于不为3的有理数a，其“伽马值”为．如当时，其“伽马值”为；当时，其“伽马值”为．已知，是的“伽马值”，是的“伽马值”，是的“伽马值”，以此类推，（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类的规律探索和新定义的运算．找到序列周期和理解新定义运算法则是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为6．因此，求2026除以6的余数，对应周期中的项即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ， 序列周期为6．   ∵， ．   故选：D． 【跟踪专练3】对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， 因为，， 所以， 以此类推，得 ， ， ， ， ， ， ， …… ∵， ∴ ， 故选：D． 【跟踪专练4】若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 【答案】 【详解】解：原式． 【跟踪专练5】对于整数，，有如下规定： ，计算：； 【答案】 【分析】先根据定义计算出，再计算即可． 【详解】解：， ． 解答题 1．计算： 【答案】 【分析】先把原式变形为，再根据异分母分数加减法运算，可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘除运算，熟练掌握有理数的乘除运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解； （2）根据有理数的除法运算可进行求解； （3）根据有理数的乘法及除法运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 4．计算： 【答案】 【详解】解： ． 5．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. 6．合肥市第四十五中学为了增强学生身体素质，增强校园体育文化氛围，举行了分钟单人跳绳比赛，若以个为基准，超过为正，不足为负，前名孩子的成绩记录如下： ，，，，，，，． (1)求第一名比第八名同学多跳了多少个？ (2)求这名孩子平均每个孩子每分钟跳多少个？ 【答案】(1)个 (2)个 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，理解基准数是解题关键． （1）先算出第一名和第八名的实际跳绳数，再相减得到两人的数量差； （2）先计算名孩子的跳绳成绩总和，再结合基准数求出总跳绳数，然后除以人数得到平均数． 【详解】（1）解：据题可知，第名的实际跳绳数为个，第名的实际跳绳数为个． 则第名比第名同学多跳了（个）． 答：个． （2）解：， 前名孩子的基准总个数为（个）， 则总跳绳数为（个）， 故名孩子平均跳绳数为（个）． 答：个． 7．如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 【答案】(1)， (2)点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为 【分析】本题主要考查数轴上数的表示、数轴的折叠，根据数轴的折叠求对称中心表示的数是解题的关键． （1）首先根据已知条件求出对称中心为1，即可求解与5和重合的点表示的数； （2）首先根据题意分两种情况进行讨论：①点B在点A右侧，即可得到求解A点和B点表示的数；②点A在点B右侧，即可得到求解A点和B点表示的数． 【详解】（1）解：∵折叠后表示的点与表示3的点重合， ∴对称中心为， 设与5重合的点表示的数为x，与重合的点表示的数为y， ∴，解得：；，解得：； ∴与5重合的点表示的数为，与重合的点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由①得：对称中心为1，设点A表示的数为a，点B表示的数为b， ∵A、B两点之间的距离为9， ∴a距离1的距离为，b距离1的距离为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为或点A表示的数为，点B表示的数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的乘法与除法暑假预习讲义 1.通过实际情境理解有理数乘法、除法法则的由来，熟记两数相乘、相除的符号规律与数值计算方法。 2.掌握多个有理数相乘的符号判定规则，会判断积的正负，能规范完成连乘运算。 3.理解倒数的定义，会求非 0 有理数的倒数，理清倒数与相反数的区别。 4.掌握有理数除法两种计算思路：除以一个数等于乘它的倒数；同号得正、异号得负并把绝对值相除。 5.熟练运用乘法交换律、结合律、分配律简化有理数混合乘法计算，能区分运算律适用形式。 6.理清有理数乘除混合运算顺序，统一转化为乘法再计算，规范处理符号、分数约分。 7.区分乘除符号易错点，避免和加减法符号法则混淆，提升含负号、分数的计算准确率。 8.体会转化思想：将有理数除法转化为乘法运算，为后续有理数四则混合运算打好基础。 分层预习要求 基础：熟记乘、除法符号法则，会求倒数，能完成简单两数相乘、相除计算。 提高：多个有理数连乘判断符号，运用乘法运算律简便计算，分数、小数乘除互化运算。 拓展：乘除混合化简求值，含括号、多重负号的复杂计算，结合实际列式解决应用问题。 预习必备知识梳理 1.倒数 2.有理数乘法 3.有理数除法 4.有理数乘除混合运算 5.实际应用题型 6.高频易错点汇总 常考题型精讲精练 1.两个有理数的乘法运算 2.多个有理数的乘法运算 3.有理数乘法的实际应用 4.倒数 5.有理数乘法运算律 6.有理数的除法运算 7.有理数除法的应用 8.有理数乘除混合运算 9.有理数乘除中的简便运算 10.有理数四则混合运算 11.有理数四则混合运算的实际应用 12.数轴位置判断代数式正负 13.数轴上的翻折 14.新定义运算 强化题型 解答题7题 倒数 1.定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。 2.关键点：0 没有倒数（不存在一个数与 0 相乘等于 1）。 3.符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；互为倒数两数符号相同。 例：-3的倒数是-；的倒数是。 4.倒数的求法 知识点02:有理数的乘法 一、两数相乘法则 1.法则内容：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同 0 相乘，都得 0。 2.分步计算步骤： 1 判断两个因数符号，确定积的符号； 2 计算两个数绝对值的乘积； 3 组合符号与绝对值结果。 3.举例： (-3)×(-4)：同号得正，3×4=12，结果12； (-5)×2：异号得负，5×2=10，结果-10； 0×(-7.5)=0。. 二、多个有理数相乘符号规律 1.几个不为 0 的数相乘，负因数的个数决定积的符号： 负因数有偶数个，积为正数；负因数有奇数个，积为负数。 2.简便口诀：偶负得正，奇负得负。 3.特殊情况：几个数相乘，只要有一个因数是 0，积直接等于 0，无需判断符号。 例：(-1)×(-2)×(-3)，3 个负因数（奇数），积为负；(-2)×0×5=0。 三.乘法三大运算律（简便计算必考） 设a、b、c为任意有理数 简便计算 4 种分组技巧 ① 凑 1 分组：互为倒数优先相乘；② 凑整分组；③ 同符号结合；④ 分配律拆分带分数、小数 知识点03:有理数的除法 一、除法两条核心法则 法则 1（转化法，通用） 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 公式：ab=a(b≠0) 适用：分数、小数、多步混合运算。 法则 2（符号直接判断，两数相除） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 注意：0 不能作除数，0÷0 无意义。 乘除符号规则对比表 运算类型 符号判定 数值计算 两数相乘 同正异负 绝对值相乘 两数相除 同正异负 绝对值相除 知识点04:有理数乘除混合运算步骤 1.先把所有除法统一转化为乘法（变除号为乘号，除数换成它的倒数）； 2.统计所有负因数个数，确定最终结果符号； 3.约分计算所有绝对值的乘积； 4.写出最终带符号结果，化为最简分数。 运算顺序要求 无括号：从左至右依次计算；有括号先算括号内部； 禁止跳步约分，移动数字必须连带自身符号。 知识点05:实际应用题型 通用解题流程 1.规定相反意义量的正负； 2.根据题意列乘除算式； 3.按乘除法则计算； 4.结合正负解读实际含义，带单位作答。 常见场景：平均升降、单价总价、盈亏分摊、速度路程计算。 知识点06:高频易错点汇总表（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 正确解答 错误根源 0 有倒数 0 的倒数是 0 0 没有倒数 概念记忆模糊 分配律漏乘 2(3-5)=6-5 23-25 括号内每一项都要乘外面因数 多因数符号数错 (-2)(-3)(-1)=6 -6 奇数个负因数结果为负 除法直接约分不变倒数 4(-)=4 4(-2) 忘记除法要乘倒数 0 作除数 80=0 0 不能做除数，式子无意义 忽略除法限制条件 题型1.两个有理数的乘法运算 【典例】规定，求的值为( ) 【跟踪专练1】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】从4，5，，，中任意取两个数相乘，最小的积为_______． 【跟踪专练3】如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 题型2.多个有理数的乘法运算 【典例】已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【跟踪专练1】如果2025个有理数相乘所得的积为0，那么这2025个数中（） A．最多有一个数为0 B．至少有一个数为0 C．均为0 D．均不为0 【跟踪专练2】四个整数互不相等，且满足条件，式子的值为___________． 【跟踪专练3】若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型3.有理数乘法的实际应用 【典例】某商品标价100元，现在打八折销售，则售价是__________元． 【跟踪专练1】规定，则．同理可得，___________． 【跟踪专练2】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数的，满十进一，例如：．在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示，孩子已经出生的天数（十进制）为___________． 【跟踪专练3】如图中能说明“”与“”相等的是（    ） A． B． C． D． 题型4.倒数 【典例】3.5的倒数是_______． 【跟踪专练1】2026年元旦，信州区某中学七年级新生用未来密码钥匙“”开启了新年的大门，以下表示的相反数的倒数是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 __． 【跟踪专练3】因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 题型.5.有理数乘法运算律 【典例】简便运算：________． 【跟踪专练1】下列各式运用运算律不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】在下列计算过程中，表示的是（　　） A． B． C． D． 题型6.有理数的除法运算 【典例】计算_____． 【跟踪专练1】将十进制数29转化为二进制表示为（   ） A．11100 B．11101 C．11001 D．11111 【跟踪专练2】若 ，且，则______． 【跟踪专练3】数轴上有，，三点，其中点，分别表示数，，现以点为折点将数轴向右对折（如图），若点的对应点刚好与点重叠，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 题型7.有理数除法的应用 【典例】“拔仙台”是秦岭山脉主峰太白山的最高顶，海拔约为．气象资料表明，高度每增加，气温下降约，已知太白山地面气温为，那么“拔仙台”处的气温约为___________． 【跟踪专练1】一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【跟踪专练2】第十四届国际数学教育大会会徽如图所示，会徽右下方的“卦”是用我国古代的计数符号表达的八进制数3745，转换成十进制：，即．七进制也曾是我国古代采用的进制记数法，现将采用七进制数，则（( )）7． 【跟踪专练3】干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 题型8.有理数乘除混合运算 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】规定新运算阶乘：，，……则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】下列算式运算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型9.有理数乘除中的简便运算 【典例】简便计算： (1)； (2)． 【跟踪专练1】计算： 【跟踪专练2】数学老师布置了一道思考题： “计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：． 题型10.有理数四则混合运算 【典例】计算：______． 【跟踪专练1】若定义新运算规定：，则计算的结果为（   ） A． B． C．0 D．10 【跟踪专练2】已知，，则( )． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 【典例】某品牌电脑原来的售价是5000元，先降价，再降价，则现在的售价是_____元． 【跟踪专练1】有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 【跟踪专练2】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，则每张门票降价________元． 【跟踪专练3】某种商品的成本大幅增加，商家决定对该商品进行提价，现有三种方案．方案一：第一次提价，第二次提价；方案二：第一次提价，第二次提价；方案三：第一、二次提价均为．则以下说法正确的是（   ） A．方案一提价低于方案二 B．方案一提价高于方案二提价 C．方案三的提价最多 D．方案二、方案三提价一样 题型12.数轴位置判断代数式正负 【典例】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【跟踪专练1】有理数、在数轴上的对应点的位置如图所示：则下面结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练2】有理数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于______． 【跟踪专练3】数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 题型13.数轴上的翻折 【典例】将数轴折叠后，表示的点与表示3的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． 【跟踪专练1】在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4，如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点在点的右边，且，则点表示的数是（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【跟踪专练3】点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 题型14.新定义运算 【典例】若定义一种新运算，规定，则______． 【跟踪专练1】我们用“”定义一种新运算：对于任意有理数a，b，规定当时，；当时，，则______． 【跟踪专练2】定义一种关于有理数的新运算：对于不为3的有理数a，其“伽马值”为．如当时，其“伽马值”为；当时，其“伽马值”为．已知，是的“伽马值”，是的“伽马值”，是的“伽马值”，以此类推，（   ） A．4 B． C． D． 【跟踪专练3】对于每个正整数n，设表示的末位数字，例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字）…，则的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练4】若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 【跟踪专练5】对于整数，，有如下规定： ，计算：； 解答题 1．计算： 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 4．计算： 5．焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 6．合肥市第四十五中学为了增强学生身体素质，增强校园体育文化氛围，举行了分钟单人跳绳比赛，若以个为基准，超过为正，不足为负，前名孩子的成绩记录如下： ，，，，，，，． (1)求第一名比第八名同学多跳了多少个？ (2)求这名孩子平均每个孩子每分钟跳多少个？ 7．如图：将下面的数轴进行对折，使表示的点与表示3的点重合，然后回答下列问题： (1)表示5的点与表示 的点重合，与重合的数是 ； (2)若数轴上A、B两点之间的距离为9，点A在点B的一侧，且A、B两点折叠后重合，求A点和B点表示的数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $