期末复习：几何法求空间角度问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间角度几何法求解，以异面直线所成角、线面角、二面角为核心，通过分层例题与变式构建从基础到综合的训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求异面直线所成之角|2例+2变式|正方体、长方体等几何体中角度计算与位置关系证明|从平移法构建平面角切入，建立空间线线位置关系到角度量化的逻辑链| |几何法求线面角|2例+2变式|直三棱柱、四棱锥中直线与平面所成角的正弦值求解|以线面垂直为桥梁，深化斜线与射影关系的推理应用| |几何法求二面角|2例+2变式|三棱锥、四棱锥中平面角构造与正切/余弦值计算|通过作二面角平面角，衔接面面关系与空间角度量，体现问题复杂度递进|

期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 考点一 几何法求异面直线所成之角 考点目录 几何法求异面直线所成之角 几何法求线面角 几何法求二面角 例1.(25-26高一下·上海阶段检测)在棱长为2的正方体 BCD-ABCA中，O是1C的中点，E是棱 CC 的中点，F是棱AD上的一点， D C D A --------- 1 D B A ①)考E0的延长线与DF的延长线相交于点G,，证明点C在直线 上 四芳点F是楼D的中点，求异面直线OE和FD所成角的余弦值， 例2.(25-26高一下·贵州贵阳阶段检测)如图，在长方体 BD-ABCD中，AB=AD=2.4=4,点P为 DD 棱中点 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 D C B P A BD,I∥ AC (1)求证： 平面 (2)求异面直 BD与CP 所成角的大小 ABCD-ABCD CC 变式1.(25-26高一下·天津河东·阶段检测)在正四棱柱 中，E为C的中点AB=BC=1 A4=4 D B E AC/I (1)求证： 平面BDE: (2)求异面直线 G与DE所成角的余弦值 变式2.25-26高一下宁夏银川期中)如图，己知E,F,G,H分别是正方体 ABCD-ABCD 的棱AB BC,CC,CD的中点，且EF与H G相交于点e. 2 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 D H B G D E B (1)求异面直线EF与48 所成角的大小： (2)求证：点在直线DC上： (⊙)求证：￡、F、4、C四点共面。 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 考点二 几何法求线面角 例1.(25-26高一下江苏无锡·期末)如图，在直三棱柱 CABC中，1C=CG=2,D是楼BC上-点，且 AD⊥DC C B D AD⊥CD (1)证明： 2当CD=V5时，求AC与平面 ADC 所成角的正弦值 例2.(25-26高一下湖北武汉期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA垂直于底面， AD=AP,点E、F分别是AB、PC的中点. E (1)求证：EF∥平面PAD: (2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值， 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 变式1.(25-26高一下浙江丽水期末)如图，在直三棱柱 BC-A8C中，ABLAC,MB=4C=4=3 ,点 D为BC的中点，点E在AB上，AE=2. AC,∥ BDE (1)求证： 平面 BE BB.CC (2)求直线1与平面 所成角的正弦值. 变式2.(25-26高一下~浙江嘉兴·期末)如图1，将一边长为2的正六边形ABCDEF沿着对角线AD进行翻折，四 边形ADEF翻折至四边形ADMN,'得到五面体ABCDMN,如图2所示. E 图1 图2 (I)求证：BN∥平面CDM: (2)若AN⊥CD,求DM与平面ABCD所成角的余弦值. 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 考点三 几何法求二面角 例1.(25-26高一下江苏泰州期末)如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°， BD1CD.E是BD的中点，P是BC的中点，40=6 (1)求证：AE⊥平面BCD: (2)若P是AD的中点，M在CD上，PM∥平面ABC. (i)求CM的长： (ii)求二面角P-BM-D的正切值. 例2.(25-26高一下江苏南京期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ABC是正三角形，DA=DC,PA=PC, BD⊥PA. P (I)求证：平面PAC⊥平面ABCD, (2)设1B=2V5 ,若点P,A,B,C,D均在球O的球面上，且点O在平面1BCD 0 0 内 ①求四棱锥P-ABCD的体积； ②求平面PAB与平面PCB所成的锐二面角的余弦值. 6 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 > 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 变式1.(2425高一下·辽宁沈阳期末)如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面 PAD⊥平面ABCD,M是PD的中点. D (I)求证：AM⊥平面PCD; (2)求二面角M-AC-D的余弦值： PO (3)在棱PC上是否存在点Q,使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出Qc的值；如果不存在，请说明理由. 变式2.(24-25高一下·内蒙古包头期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，对角线AC与BD交 于点O,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. D (1)证明：PB/1平面AEC: (2)设AP=1AD=V3,直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为5· (i)求四棱锥P-ABCD外接球的表面积： (i)求平面AEC与平面PAD夹角的余弦值. 6期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 期末复习：几何法求空间角度问题专项训练 考点目录 几何法求异面直线所成之角 几何法求线面角 几何法求二面角 考点一 几何法求异面直线所成之角 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）在棱长为的正方体 中，是的中点，是棱的中点，是棱上的一点. (1)若的延长线与的延长线相交于点，证明点在直线上； (2)若点是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，直线，故平面， 因为平面，直线，所以平面， 因为平面平面，所以点在直线上. (2) 【分析】（1）证明出为平面、平面的一个公共点，结合基本事实可证得结论成立； （2）先证，所以为异面直线与OE所成的角或其补角，根据题意运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接，取的中点，连接、， 因为、、分别为、、的中点，所以，，，， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，， ，， 则，所以，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，，点为棱中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1) 设与相交于点，连接， 因为点为的中点，点为的中点， 所以为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 变式1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正四棱柱中，E为的中点.，． (1)求证：平面BDE； (2)求异面直线与DE所成角的余弦值. 【答案】(1)连接交于点F，连接， ∵正四棱柱，为AC中点， 又为的中点， ∴在中有， 而平面，平面，平面； (2) 【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据线面平行定理证明； （2）取中点G，连接，，确定异面直线与DE所成角即为直线与所成角，根据异面直线夹角公式求解. 【详解】（1）略 （2）取中点G，连接，， 是正四棱柱，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴异面直线与DE所成角即为直线与所成角， ，，， ∴在中，， 所以异面直线与DE所成角的余弦值． 变式2．（25-26高一下·宁夏银川·期中）如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点．    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求证：点在直线上； (3)求证：、、、四点共面． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知得出是异面直线与所成的角或其补角，再得出是等腰直角三角形，即可求解； （2）由点线面的关系，结合面面交线的性质即可证明； （3）由三角形中位线证明即可证明． 【详解】（1）根据正方体的性质可知， 是异面直线与所成的角或其补角， ，分别是，的中点， ∴是等腰直角三角形， ，即异面直线与所成角的大小为． （2），平面， 平面， ，平面， 平面， 平面平面，即， 点在直线上． （3）连接，，，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面．    考点二 几何法求线面角 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期末）如图，在直三棱柱中，，是棱BC上一点，且. (1)证明：； (2)当时，求AC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，由平面， 得，而，平面， 因此平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）作出线面角，利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）略 （2）作于，连接，由（1）知平面，而平面， 则，而平面，因此平面， 是AC与平面所成的角，由，， 得，则， 所以AC与平面所成角的正弦值为. 例2．（25-26高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，线面平行的判定即可证明； （2）根据线面夹角的定义得出即为直线与平面所成角的平面角，即可求解． 【详解】（1）略． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为．    变式1．（25-26高一下·浙江丽水·期末）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点在上，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连交于，连接， ，， ，， 又面，面， 面； (2) 【分析】（1）连接辅助线、，利用相似三角形得到线段比例相等可得，再由线面平行判定定理推出平面； （2）利用面面垂直性质作垂线，确定线面角为，再通过直角三角形边长计算该角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）过点作于，连接， ∵面面，，且面面， 面，所以是在面内的射影， 即为直线与平面所成的角， 由题可得，，， ， 即直线与平面所成角的正弦值是． 变式2．（25-26高一下·浙江嘉兴·期末）如图1，将一边长为2的正六边形沿着对角线进行翻折，四边形翻折至四边形，得到五面体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：翻折的过程中，，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，．又平面，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）连接，，先证平面，得平面平面，作于点，可得平面，即得为与平面所成角，借助于直角三角形中三角函数定义及图形对称性即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）如图，连接，，在正六边形中，， ，所以，， 又，平面,则平面， 又平面.故平面平面， 作于点，因平面平面,则平面， 所以为与平面所成角． 因平面，平面,则，， 所以，， 由对称性得与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小， 所以其余弦值为．    考点三 几何法求二面角 例1．（25-26高一下·江苏泰州·期末）如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． (1)求证：平面； (2)若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】(1)证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用条件分别证明，，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）（ⅰ）利用线面平行的性质先证得，结合条件推得是的中点，即得；（ⅱ）取的中点，连接，证明平面，作于点，连接，证明即二面角的平面角，借助于题设条件求解即得答案. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 例2．（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，是正三角形，，，． (1)求证：平面平面． (2)设，若点，，，，均在球的球面上，且点在平面内． ①求四棱锥的体积； ②求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)因，则全等于，从而， 由是正三角形，三线合一，可得，又平面， 所以平面，结合平面，可得平面平面； (2)①；②. 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可得答案； （2）①由题设可得为外心，由正弦定理可得外接球半径，然后设相交于点，可证平面，据此可得体积；②过分别向作垂线，由题可得垂足重合，设垂足为，可得为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）①由题可得到距离相等，结合点在平面内，可得为四边形外心， 即外心，则由正弦定理推论可得，即外接球半径为. 设相交于点，结合（1）解析可得为中点， 则，.连接，因，则. 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，结合平面，则. 则，； ②由①可得，. 如图，过分别向作垂线，易得，全等，则两垂线垂足重合，设为, 则为平面与平面所成的锐二面角平面角或该平面角补角， 由题可得. 则在中，由余弦定理，， 则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 变式1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期末）如图，四棱锥的底是正方形，是正三角形，平面平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面平面成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面平面， 平面，， 则平面， 又因为平面，所以， 因为是正三角形，且是的中点， 则， 又因为，平面， 所以平面； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，再由是正三角形，且是的中点，可得，最后由线面垂直的判断定理即可得证. （2）由二面角的定义，找出二面角的平面角，在直角三角形中求解即可. （3）当时，按面面垂直的判断定理进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．    因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面． 所以平面． 因为平面，所以， 则即为平面与底面所成二面角的平面角． 设，则，， 故， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）存在点Q，当时，平面平面． 证明如下： 如图，取中点，连接交于点，连接，    因为是正三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 因为， 所以， 所以平面． 因为平面，所以． 因为底面是正方形，所以． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以棱上存在点，当时，平面平面． 变式2．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，对角线与交于点，平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求四棱锥外接球的表面积； （ii）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：连接，因为四边形为矩形，所以点为的中点． 又点为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． (2)（i）（ii） 【分析】（1）连接，得，由线面平行的判定定理得证； （2）（i）由题易求，可得四棱锥外接球的球心为的中点，运算得解；（ii）作交的延长线于点，连接，可证，为平面与平面的夹角，运算得解. 【详解】（1）略 （2）底面，为在底面内的射影， 直线与平面所成角为， 则，所以， 在中，可得，在中，可得． （i）设四棱锥外接球的半径为，则四棱锥外接球即其所在长方体的外接球， 所以其球心为的中点，所以，故其外接球的表面积为. （ii）作交的延长线于点，连接， 平面，平面． ，，， 则平面，平面，故， 又，与相交，则平面，平面，故， 所以为平面与平面的夹角， 在中，，，则，，所以， 在中，可得． 在中，可得，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $