期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量与几何最值、新定义两大期末难点，通过精选典例构建从几何直观到抽象推理的解题逻辑链，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与几何最值问题|8题（4例+4变式）|结合圆、直线、三角形等几何背景，求向量模或数量积最值|向量运算（模、数量积）与几何性质（距离、位置关系）融合，体现几何直观与空间观念| |向量新定义问题|6题（3例+3变式）|自定义运算规则（仿射坐标系、复向量等），考查信息迁移与问题解决|在向量基本概念基础上构建新运算体系，延伸应用场景，发展创新意识与应用意识|

期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量新定义问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，根据二次函数的对称轴得到最小值，得到答案 【详解】，故， 故， 因为，所以， 设，则 ， 其中可看作关于的二次函数，开口向上， 当时，取得最小值， 最小值为， 所以的最小值为. 例2．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知向量，则的最大值为（    ） A．26 B．24 C．20 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量，可得，且， 由， 当且仅当时，即时，等号成立， 设，则，解得或， 所以当或时，的最大值为. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 【答案】 1 【分析】根据重心的几何性质，以及平面向量的线性运算，用基底表示出向量即可，根据题干条件，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据垂直的向量关系，求出参数关系，进而求出向量模长的最小值. 【详解】    可知， 即； 如图所示，以直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系， 则直线方程为，直线的方程为，可知点在直线上， 设，所以点， 则， 因为，所以，即， 可知， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 例4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知平面向量，，满足，，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】变形得到，将问题转化为求的最大值，由，建立的关系式并换元求解. 【详解】， 因为，所以， ，，则求的最小值等价于求的最大值， 因为，所以， 令， ， 则， 整理得， 令，则，该方程有正实数解， 故， 解得，故的最大值为， 即的最大值为， 此时， 故的最小值为. 变式1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的数量积，结合点的位置求解即可. 【详解】如图，设圆的圆心为点，，则为等边三角形. 过点作，交于点， 当点在点右侧时， 当点在点左侧时，； 当点在点正上方时，，. 当点在点右侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，即； 当点在点左侧时，由图知当点与点重合时，， 此时，则， 综上，的取值范围为. 变式2．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】建系，确定轨迹，进而可求解. 【详解】因为 ，即， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系： ，，C(0,4)， 由得：点轨迹为以为圆心，半径的圆：， 设，由得： 消去参数， 整理得点轨迹为直线：， 是直线上动点到圆上动点的距离， 其最小值为圆心到直线的距离减去圆半径， 由点到直线距离公式： ， 所以. 变式3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，再通过圆的横坐标的最小值即可得到点积的最小值. 【详解】 将放在轴上，以中点为原点，如图建立平面直角坐标系， 由圆直径为,则圆的半径，且， 得，,则, 设是圆上任意一点，则， 所以 ， 因为圆上点的横坐标最小值为, 代入得：的最小值为. 变式4．（25-26高一下·河南·期末）已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【详解】已知平面向量，，满足且， 设，，， ，代入坐标得： ， 可知向量的终点在一个圆心坐标为，半径为的圆上， 则的最大值是原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 考点二 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·上海黄浦·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，，求． (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题设定义得，，再由数量积的运算律，即可求解； （2）根据题设条件求出，再结合题设条件，即可求解； （3）设，根据题设条件得，再由正、余弦定理及三角恒等变换，即可求解. 【详解】（1）由题意知，在仿射坐标系中，， 又，则， 所以， 则. （2）因为，，则，， 则， ， 又与的夹角为， 由，得到，解得. （3）设，其中，则， 因为，又分别为中点， 所以， ， 在仿射坐标系中，， ， 在中，由余弦定理得， 所以， 则， 在中，由正弦定理， 设，则， 令 ，其中， 所以，则的最大值为. 例2．（25-26高一下·浙江台州·期末）已知集合对于，，定义． (1)若，，且，，求； (2)若，，，且，，求的最小值； (3)若，对于任意，，均有，求的最大值（用表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义计算，，得到，计算； （2）根据条件求各向量中的个数，构造向量确定的最小值； （3）先证明引理，再根据引理证明，得到. 【详解】（1）设，， 则，， 所以，或， 所以． （2）因为，， 不妨设，， 所以， 当时，，， 设，则， 而， 所以，那么，矛盾． 当时，取，， 满足条件， 综上：的最小值为． （3）先证引理：设，， 且， 则存在，使得， 即． 下证： ， 因为或， 所以存在，使得，即． 根据引理，将中的个元素平均分成组，且每组的两个元素 ，满足， 则不能来自同一组，所以． 当时，取， 则， 且中有个元素，若对于任意，， 均有． 综上：的最大值为． 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． (1)试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． (2)证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． (3)设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 【答案】(1)， (2)假设存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补， 设这6个向量为， 因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的数量积不变， 所以不妨设， 因为 ，所以有3个分量为， 设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，， 则 ，则，矛盾， 所以不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． (3)任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积， 将所有这些数量积求和得到，则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为， 所以， 令 ，所以 . 【分析】（1）由 维信号向量的定义可写出4个两两口味互补的4维喜好向量； （2）先假设存在，设6个向量为，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论； （3）任取，不妨设前 个分量都为1，计算数量积，，设的第个分量之和为，利用 ，可得结论. 【详解】（1）由题意，构造4个4维向量，每个分量为1或， 设， 则 ， ， ， ， ， ， 所以这4个向量两两口味互补. （2）略 （3）略 变式1．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先求，再求，最后根据定义求解即可； （2）先求，再求，最后根据定义求解即可； （3）由题意可得，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以； （2）由题意可得， 所以 所以, 所以， 所以， 所以； （3）因为，，， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 令， 则 ， 当且仅当时等号成立， 即的最小值. 变式2．（24-25高一下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，对平面上任意两点，以向量为两边的的面积为，当O，A，B三点共线时，． (1)已知两点，求以向量为两邻边的平行四边形的面积； (2)若向量，证明：； (3)已知，且，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）结合新定义即可求解； （2）求得，再由新定义即可求证； （3）由（2）得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为以向量为两边的的面积为， 所以以向量为两邻边的平行四边形的面积为； （2）由得，． 因此 ． （3）由（2）知，． 因为，所以． 由不等式得，，当且仅当时取等号． 故的最大值为． 变式3．（24-25高一下·湖北·阶段检测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作关于复向量的与有关运算现定义如下：两个复向量的数量积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的数量积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则．定义以复向量为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记为虚数单位．设复向量与的夹角记作． (1)求和； (2)设复向量，其中，且．试问对于满足条件的任意实数，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值， 【分析】（1）结合所给有关运算定义，可分别计算出、、、、，即可得，从而可计算出； （2）由所给有关运算定义，可得，结合即可得解. 【详解】（1）， ，， ， ，， 所以； （2）设与的夹角为， 由题意知：， ，， ， ， ，．即是定值，该定值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 期末培优：向量与几何最值问题、向量新定义问题专项训练 考点目录 向量与几何最值问题 向量新定义问题 考点一 向量与几何最值问题 例1．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知向量，则的最大值为（    ） A．26 B．24 C．20 D．18 例3．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 例4．（25-26高一下·上海徐汇·期末）已知平面向量，，满足，，且，则的最小值为_________． 变式1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）半径为4的圆上有三点，线段长为4，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·重庆·三模）在平面中，，且，若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 变式3．（25-26高一下·上海徐汇·期末）若点都在圆上，若圆的直径为且，则的最小值为__________. 变式4．（25-26高一下·河南·期末）已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 考点二 向量新定义问题 例1．（25-26高一下·上海黄浦·期末）如图，设是平面内相交成的两条射线，分别为与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，，求． (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，，分别为中点，求的最大值． 例2．（25-26高一下·浙江台州·期末）已知集合对于，，定义． (1)若，，且，，求； (2)若，，，且，，求的最小值； (3)若，对于任意，，均有，求的最大值（用表示）． 例3．（25-26高一下·浙江宁波·期末）学期末，某学校对这一学期食堂的菜品在学生中进行喜好调查，方便下学期改进．每位同学给每道菜打分，喜欢记为1，不喜欢记为．每位同学对道菜品的喜好可以表示为一个维向量，其中每个分量（ ， ， ， ）．我们称为该生的 维喜好向量．已知，为两位同学的喜好向量，定义两个向量的数量积为：．若 ，则称他们“口味互补”． (1)试构造出一组4名学生对4道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． (2)证明：不存在6名学生对6道菜的喜好向量，使得他们两两口味互补． (3)设有8名学生，对本学期96道菜的喜好向量两两口味互补．已知96道菜中有 道菜，这8名同学都喜欢，求证： ． 变式1．（25-26高一下·青海西宁·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值． 变式2．（24-25高一下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，对平面上任意两点，以向量为两边的的面积为，当O，A，B三点共线时，． (1)已知两点，求以向量为两邻边的平行四边形的面积； (2)若向量，证明：； (3)已知，且，求的最大值． 变式3．（24-25高一下·湖北·阶段检测）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作关于复向量的与有关运算现定义如下：两个复向量的数量积记作，定义为，其中，分别为，的共轭复数，显然两个复向量的数量积也为复数．复向量的模定义为，与的夹角记作，则．定义以复向量为“邻边”的“平行四边形”的面积为．记为虚数单位．设复向量与的夹角记作． (1)求和； (2)设复向量，其中，且．试问对于满足条件的任意实数，是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $