暑假培优：矩形与折叠问题、正方形与折叠问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形与正方形折叠问题，通过分层例题与变式训练，系统构建从性质应用到动态探究的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形与折叠问题|3例+3变式|折叠后线段计算、图形判定、动态路径探究|以矩形性质为基础，通过轴对称转化等量关系，结合勾股定理与方程思想解决折叠中的几何问题| |正方形与折叠问题|3例+3变式|折叠后角度证明、三等分点探究、最值计算|依托正方形特殊性，深化折叠前后图形全等关系，渗透转化思想与空间观念|

暑假培优：矩形与折叠问题、正方形与折叠问题专项训练 暑假培优：矩形与折叠问题、正方形与折叠问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题 正方形与折叠问题 考点一 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·上海金山·期末）综合实践：折纸中的数学 问题背景：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 尝试运用： (1)在矩形中，按如图方式折叠． ①____________．②若四边形是正方形，则________． 问题拓展： (2)我们可以利用折纸折出两个角相等，折痕与一条线段垂直． ①如图，折叠正方形纸片，得到正方形和正方形．若，请判断点在上的位置； ②如图，点在锐角三角形纸片边上，折出过点且与边平行的线段．请画出你的分步折叠示意图，并加以证明． 例2．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图①，长方形纸片的长与宽的比值为（）． (1)如图②，若，分别是长边，的中点，将纸片沿直线对折，得到的长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． (2)若按图③所示的方式折叠纸片，长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． 例3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 变式1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．        【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 变式2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，为线段上一点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，为线段上一点，． 求证：是中点； 如图，将矩形的一角沿翻折，点的对应点落在处，若，当恰好为直角三角形时，则的值为______（直接写出结果）． 考点二 正方形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中 ； (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现是的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论； 【深入探究】 (3)小创小组继续探究，如图3，将沿直线折叠，点落到点处，得到．当点落在的边上时，如果正方形的边长为3，请直接写出的长． 例2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 变式1．（25-26八年级下·山东日照·期中）【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期末）【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：矩形与折叠问题、正方形与折叠问题专项训练 暑假培优：矩形与折叠问题、正方形与折叠问题专项训练 考点目录 矩形与折叠问题 正方形与折叠问题 考点一 矩形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·上海金山·期末）综合实践：折纸中的数学 问题背景：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学． 尝试运用： (1)在矩形中，按如图方式折叠． ①____________．②若四边形是正方形，则________． 问题拓展： (2)我们可以利用折纸折出两个角相等，折痕与一条线段垂直． ①如图，折叠正方形纸片，得到正方形和正方形．若，请判断点在上的位置； ②如图，点在锐角三角形纸片边上，折出过点且与边平行的线段．请画出你的分步折叠示意图，并加以证明． 【答案】(1)①90 ② (2)①点在上，靠近点的处 ②第一步，如图，过点将线段对折，折痕为； 第二步，如图，过点将线段对折，折痕为； 线段即为所求； 证明如下： 由折叠的性质可得，折痕， ∴， ∴ 【分析】（1）①根据正方形的性质以及翻折的性质得出四边形和四边形为正方形，即可得出角的度数； ②令，根据正方形的性质表示出各边的长度，即可得出比值； （2）①令正方形的边长为，根据正方形的面积比得出正方形的边长为，通过全等三角形的判定和性质得出，令，，然后列出二元一次方程组求解； ②根据翻折得出直角，利用内错角相等，两直线平行进行折叠和证明． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形，且通过翻折可得，四边形和四边形为正方形， ∴， ∴； ②若四边形是正方形，则令， ∴， ∴， ∴； （2）解：①令正方形的边长为， ∵， ∴正方形的边长为， ∵四边形和四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 令，，由翻折的性质可得， 解得， ∴ ∴点在上，靠近点的处； ②略． 例2．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图①，长方形纸片的长与宽的比值为（）． (1)如图②，若，分别是长边，的中点，将纸片沿直线对折，得到的长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． (2)若按图③所示的方式折叠纸片，长方形是否仍为“长与宽的比值为的矩形”？说明理由． 【答案】(1)解：长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”，理由如下： 设，根据题意，得， ，分别是长边，的中点， ， ， 故长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”； (2)解：长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”，理由如下： 设，根据题意，得，， ， 根据折叠的性质，得， ， 根据折叠的性质，得， ， 故长方形仍为“长与宽的比值为的矩形”； 【分析】（1）设，根据题意，得，根据折叠的性质和定义，解答即可． （2）根据折叠的性质，正方形的判定和性质，分母有理化，解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 【答案】(1) (2)正确； 理由：∵四边形是正方形， ， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ， ， 在和中， ， ， ， ∴射线是的角平分线； (3) (4)4 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，根据翻折的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，可得，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，可得答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ， ∴在中，， ∴的长为； （2）略 （3）解：延长交的延长线于点，过点作于点，设， ∵在矩形中，， ， ， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即：， ， 解得：， ， ， ，即， ， ． （4）解：过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵将沿翻折，点落在点处， ， ， ∵的角平分线与的延长线交于点， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ， 即：， 解得：， ， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为4． 变式1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．        【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 【答案】(1)四边形是菱形； 证明将矩形纸片折叠，点与点重合， 垂直平分， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)解：①理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是等边三角形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ②或 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）①先证明是等边三角形，根据折叠的性质，等边对等角推出，即可得出结论；②分在上和在延长线上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②设 与交于点， 当在上时，，则， 由（2）可知，在中，， ∴，，， ∴， ∴， 作，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当在延长线上时，，则，同理可得. 综上所述，或. 变式2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 【答案】(1)的长为 (2)四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； (3) 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． 【详解】（1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）略 （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 变式3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，为线段上一点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，为线段上一点，． 求证：是中点； 如图，将矩形的一角沿翻折，点的对应点落在处，若，当恰好为直角三角形时，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； (2)证明：如图，延长与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即是中点； ． 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，从而可得，再通过矩形的判定方法即可求证； （）延长与交于点，由四边形是矩形，得，，又，所以，证明，然后通过全等三角形的性质即可求证； 当恰好为直角三角形时，只存在，由折叠性质可知，，证明是等边三角形，所以，设，则，由勾股定理得，再通过直角三角形性质得，再代入即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； 解：当恰好为直角三角形时，只存在， 由折叠性质可知，， ∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∵是中点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 考点二 正方形与折叠问题 例1．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 (1)小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中 ； (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现是的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论； 【深入探究】 (3)小创小组继续探究，如图3，将沿直线折叠，点落到点处，得到．当点落在的边上时，如果正方形的边长为3，请直接写出的长． 【答案】(1)45； (2)证明：设正方形的边长为， 由折叠可知，是的中点， ∴， 由折叠可知，，，，，，， ∴，即点E，F，G在同一条直线上， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴，即， ∴是的三等分点； (3)的长为或 【分析】（1）由两次折叠可知，平分，平分，则可得，结合正方形，可得； （2）设正方形边长为，由对折得是中点，．由折叠得，，且，即E，F，G共线，故．设，在中由勾股定理得，解得，即，故是的三等分点； （3）根据正方形边长为3，设．由折叠性质得，，．分两种情况点落在上和点落在上时进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∵四边形是正方形， ． ∴ ； （2）略 （3）解：设， ∵正方形边长为， ∴， 由（2）同理可得，E，F，G共线，则， 设，则，， 在中， 解得， ∴， 由折叠可得，，，， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 又∵， ∴ 解得（负根舍去）， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， 综上所述，的长为或． 例2．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）探究以下问题： (1)【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，E，F分别在边、上，且，垂足为M，那么与相等吗？ (2)【问题探究】 如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； (3)【问题拓展】 如图3，将边长为的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)，证明如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点作，交于点，交于点，证明，由此可得； （3）过点F作于P，连接交于点N，交于点M，利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）略 （3）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 过点F作于P，连接交于点N，交于点M， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，． 例3．（25-26八年级下·吉林长春·期中）解决问题 (1)如图，在正方形中，点、分别在边上．已知：，求证：； (2)如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中，折痕为，点在边上，点在边上，则折痕______； (3)如图3，在正方形中，，则的最小值为______．（直接填空） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，根据，结合角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点作，交于，利用勾股定理可求出，由（1）可得，根据，可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，证明，得出，根据轴对称的性质得出点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于， ∵边长为的正方形折叠，使得点落在边上点处，其中， ∴，，垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）可知， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴点、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·期中）【折一折】将边长为2的正方形纸片折叠，使边，都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1． (1) ；点A到的距离是 ． 【转一转】 (2)将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边，于点P，Q（即），连接，如图2，点A到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 (3)连接正方形对角线，若图2中的的边，分别交对角线于点M，N，如图3，当点Q是边的三等分点时，求的长． 【答案】(1)，2 (2)不变，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）在（2）的基础上，求出，设，则，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠的性质得，，． ∴，， ∴点A到的距离． （2）解：结论：不变，仍然等于2． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点A到的距离为的长，等于2， ∴点A到的距离等于2； （3）解：∵点Q是边的三等分点， ∴， 由（2）可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴． 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期末）【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，进而证明，可得； （2）设，则，，利用勾股定理解即可； （3）证明，根据对应边成比例求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，边长为， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：设，则， 由折叠得， ， 在中，， ， 解得， 的长度为； （3）解：由（2）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 变式3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在数学综合与实践活动课上，李老师对正方形纸片进行如下操作：如图1，将正方形纸片沿过点D的一条直线翻折，使点A落在点F处，折痕为，请同学们在图1的基础上进行探究． 【操作发现】 （1）如图2，小林同学延长交射线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图3，小明在图2的基础上延长，交的延长线于点H．求证：； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，若正方形纸片的边长为6，当时，请直接写出线段AH的长______． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，证出，再根据，和，得出，即可证明； （2）根据正方形性质得出，，证明．得出，即可证明； （3）根据题意，分两种情况讨论．①当点在线段上时，如图1所示．②当点在的延长线上时，如图2所示． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得， ∵在正方形中，， ∴． ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴． ∴． ∴； （2）证明：在正方形中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， 即； （3）根据题意，分两种情况讨论． ①当点在线段上时，如图1所示．    ∵，， ∴，． ∴． 由（1）知， ∴． 由（2）知， ∴； ②当点在的延长线上时，如图所示．      同①可得，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，线段的长为12或， 故答案为：12或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $