平行四边形的性质、平行四边形的判定专项训练-2026年人教版数学八升九暑假培优

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，通过例题+变式系统覆盖角度计算、边长求解、判定证明等核心题型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形的性质|6例+6变式|角度计算、边长求解、翻折变换、角平分线应用|从定义出发，围绕边、角、对角线性质，结合图形变换深化性质应用| |平行四边形的判定|4例+4变式|判定证明、中点性质、对角线关系、面积关联|基于边、角、对角线判定条件，通过推理构建判定逻辑，衔接性质与判定的互逆关系|

暑假培优：平行四边形的性质、平行四边形的判定专项训练 暑假培优：平行四边形的性质、平行四边形的判定专项训练 考点目录 平行四边形的性质 平行四边形的判定 考点一 平行四边形的性质 例1．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，即可求得，再利用等腰三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：在平行四边形中，，， ， 根据作图可得， , ， ． 例2．（2026·广东河源·二模）如图，▱中，，，平分交于点 E，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到，利用平行线的性质及角平分线定义证得，得到，求出即可． 【详解】解：▱中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．（2026·广东广州·二模）如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 例4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线，交于点，且，过点作，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，先求出，，根据勾股定理，求出，推导出，得到，，根据三角形的面积公式，得到，求出，再根据勾股定理求出，则 ，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ，，，， ∴，， ∴， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ． 例5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，连接，若，则的度数为____________． 【答案】/30度 【分析】先根据平行四边形的邻角互补和对角相等性质求出和的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系计算的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴， ，， 平分， ， ， ， ． 例6．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，平行四边形中，的平分线交于点，如果，那么________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，确定，，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴． 变式1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）在中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴根据平行四边形对角相等，可得． 变式2．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，由平行四边形的性质推出，，得到，由题意得不到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ． 、分别平分、， ，， ， ． 故D不符合题意； 平分， ． ， ， ， ， 同理：． 故A不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故B不符合题意； 由题意得不到， 故C符合题意． 变式3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，已知平行四边形．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交于点，当，时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据基本作图，判定是角的平分线，利用平行四边形的性质，角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：根据题意，得平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴; 变式4．（2026·广东广州·二模）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 变式5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，且，过点A作，垂足为E．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，求出平行四边形的面积，进而得到的面积，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交于点O， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 变式6．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点在边上，平分，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可证，可得． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 考点二 平行四边形的判定 例1．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，，分别平分和，交于点，交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若已知，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． (2)平行四边形周长为． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质，得到对角相等、对边平行的关系，再结合角平分线的定义，推导和的关系，以及与的位置关系，结合与的平行关系，依据平行四边形的判定定理证明结论. （2）首先根据平行的性质，推导角的等量关系，得到，再结合（1）中平行四边形的性质，得到的长度，进而求出的长度，最后利用平行四边形周长公式计算即可. 【详解】（1）略． （2）解：∵， ， 又平分， ， ∴， ∴． 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴平行四边形周长为：． 例2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 点E，F分别在的延长线上，且， ， ， 四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质得出，，得出，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ． 例3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点．点，在上，小王同学认为添加一个条件可使为平行四边形． (1)你添加的条件是 ．（写出一种情况即可） (2)根据你添加的条件证明为平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：∵在中，对角线与相交于点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，添加即可； （2）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 例4．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】（1）先根据对称性可得，，进而得，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据对称性可得，，然后说明，接下来作，再根据直角三角形的性质得， 并根据勾股定理求出，即可得，接下来求出，最后根据平行四边形的对边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵点D与点F关于直线对称， ∴． ∵点E与点G关于直线对称， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 过点F作，交延长线于点H， 在中，则， ∴． 根据勾股定理，得． ∵， ∴， 在中，． ∵四边形是平行四边形， ∴． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理并结合平行四边形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵中， 对角线，相交于点O， ∴，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，且， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 变式2．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，是的中线，延长至E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 变式4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，由已知可得，可得，即可证得结论； （2）由，可得，可得四边形的对角线互相平分，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵，四边形的对角线交于点， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：平行四边形的性质、平行四边形的判定专项训练 暑假培优：平行四边形的性质、平行四边形的判定专项训练 考点目录 平行四边形的性质 平行四边形的判定 考点一 平行四边形的性质 例1．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，延长和，相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·广东河源·二模）如图，▱中，，，平分交于点 E，则（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东广州·二模）如图，是的高，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线，交于点，且，过点作，连接，若，，则的长为________． 例5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点，连接，若，则的度数为____________． 例6．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，平行四边形中，的平分线交于点，如果，那么________． 变式1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）在中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏泰州·二模）如图，在中，为上一点，、分别平分、．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，已知平行四边形．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点；③作射线，交于点，当，时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（2026·广东广州·二模）如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 变式5．（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，且，过点A作，垂足为E．若，则的长为________． 变式6．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点在边上，平分，若，则的长为_______． 考点二 平行四边形的判定 例1．（25-26八年级下·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，，分别平分和，交于点，交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若已知，，求平行四边形的周长． 例2．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 例3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点．点，在上，小王同学认为添加一个条件可使为平行四边形． (1)你添加的条件是 ．（写出一种情况即可） (2)根据你添加的条件证明为平行四边形． 例4．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中， 对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，且，求线段的长． 变式2．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，是的中线，延长至E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是2，求四边形的面积． 变式4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $