精品解析：广东省东莞市东莞松山湖未来中学2026年中考前 数学模拟试卷

2025-2026学年第二学期第三次模拟教学质量自查试卷 （九年级数学） （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图所示的是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得∠2+∠3=∠1，然后用∠2+∠3的度数减去∠2的度数即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠2+∠3=∠1=100°， ∵∠2=48°， ∴∠3=100°-48°=52°， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等的知识是解题关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标平面内的图形关于原点同向或反向位似时点的坐标变化规律求解即可． 【详解】如果所画三角形与关于原点同向位似，则点的对应点的坐标是，即； 如果所画三角形与关于原点反向位似，则点的对应点的坐标是，即； 综上，点的对应点的坐标是或． 6. 下列关于反比例函数的说法，正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在该函数的图象上 D. 在每一象限内，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】先确定反比例函数中的值，再根据反比例函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：对于反比例函数，可得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，因此B正确，A，D错误； 将代入函数，得 ，因此点不在该函数图象上，C错误． 7. 如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，以及扇形的半径和圆心角，由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：． 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 9. 如图，点在反比例函数，的图像上，点在反比例函数的图像上， 轴于点．且，则的值为（ ） A. -3 B. -6 C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知S△AOM，S△BOM=||，则S△AOM：S△BOM=3：|k|，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，则3：|k|=1：2，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定k的值． 【详解】∵点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点M，∴S△AOM，S△BOM=||，∴S△AOM：S△BOM：||=3：|k|． ∵S△AOM：S△BOM=AM：MB=1：2，∴3：|k|=1：2，∴|k|=6． ∵反比例函数的图象在第四象限，∴k＜0，∴k=﹣6． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数y的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键． 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、交于点，过点作于点，由正方形的性质可得，，，，由对折可得，，，推出，根据勾股定理求出，则，进而求出，证明，得到，可得，由，可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设、交于点，过点作于点， 四边形是正方形， ，，，， 由折叠可得，，， ， ， ， ， 设， 在中，由勾股定理得，即， 解得（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 12. 如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，再利用对应边成比例，得到，结合，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 13. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值． 【详解】解：6x+1＞5x﹣2， 解得：x＞﹣3， ∵x是不等式5x﹣2＜6x+1的最小整数解， ∴x＝﹣2， 把x＝﹣2代入方程2x﹣kx＝4﹣2k中得：2×（﹣2）﹣（﹣2）×k＝4﹣2k， 解得：k＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值． 14. 如图是一个电路图，从，，，这四个开关中，随机闭合一个，再从剩余的3个开关中随机闭合一个，则小灯泡能发光的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，找出所有可能的结果数，利用小灯泡发光的电路条件找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：小灯泡发光的电路条件：如果电路为通路，那么必须满足闭合，且，串联支路和支路至少有一条导通， 根据题意画出树状图如下： 共有12种等可能结果，符合条件的有2种结果， 则小灯泡能发光的概率是． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根据S阴=S扇形BDB′－S△DBC－S△DB′C，计算即可． 【详解】△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB， 连接DB、DB′， 则DB′=，A′B′=， ∴S阴=． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解分式方程． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】先整理方程，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得根是否为增根，判断原方程的解的情况． 【详解】解： 整理原方程得， 方程两边同乘最简公分母得，， 展开整理得，   移项合并同类项得，  解得，  检验：把代入最简公分母，得， 因此是原分式方程的增根，原分式方程无解． 17. 开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【答案】（1）；等腰三角形的三线合一 （2） 证明：∵， ， ， ， ． ，即． 平分． 【解析】 【分析】（1）结合甲同学的作法和乙同学的作法，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【小问1详解】 解：甲同学：如图， 由作图得，， 在与中， ， ， ， 其判定全等的方法是； 乙同学：，， （等腰三角形的三线合一）； 【小问2详解】 略 18. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】（1）每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 （1）表中________，________； （2）若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； （3）学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 【答案】（1）17.8，17.8 （2）270 （3）小王的分析不合理；理由：因为40名学生阅读素养测评得分的中位数为分，前一半的学生进行表彰，则被表彰的学生分数至少为分；年级测评得分的平均数为分，虽然小王的成绩比年级平均分高，但是不确定是否达到分，所以小王的分析不合理． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）利用“样本估计总体”进行求解即可； （3）利用中位数和平均数进行判断即可． 【小问1详解】 解：40个数据的中位数是第20个和第21个数据的平均数，由直方图可知， 和两组人数为：， 说明第20、21个数据都在组内， 在组内的10个数据从小到大排列为： ；；；；；；； ； ； 则中位数为； 由于其他各组内的数据均无重复，在组内，出现3次， 则众数为； 【小问2详解】 解：人 则该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有270人； 【小问3详解】 略 20. 数学活动-探究日历中的数字规律 如图1是2022年2月份的日历，小宇在其中画出两个2×2的方框，每个框均框住位置为的四个数，计算“bc-ad”的值，探索其运算结果的规律． （1）计算：2×8-1×9＝ ，19×25-18×26= （2）小宇通过特例分析，猜想所有日历中，2×2方框里“bc-ad”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：bc-ad的值均为 ．理由如下： 设a＝x，则b＝x＋7，c＝x＋1，d＝ 因为bc-ad＝ 所以bc-ad的值均为 （3）同学们利用小宇的方法，借助2022年4月份的日历，继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 A，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由． B．在日历中用日数柜框住位置为的七个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）7，7 （2）7，x+8，7，7 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则计算求解； （2）代入化简求值即可； （3）A：结论：bc-ad=-48，设中间O为y，则a=y-1，d=y+1，b=y-7，c=y+7，可得bc-ad=（y-7）（y+7）-（y-1）（y+1）=-48； B：结论：dc-af=28．设中间O为m，则b=m-1，e=m+1，a=m-8，c=m+6，d=m-6．f=m+8，可得dc-af=（m-6）（m+6）-（m-8）（m+8）=28． 【小问1详解】 2×8-1×9=16-9=7， 19×25-18×26=475-468=7 故答案为：7，7； 【小问2详解】 小宇通过特例分析，猜想所有日历中，2×2方框里“bc-ad”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：bc-ad的值均为7．理由如下： 设a=x，则b=x+7，c=x+1，d=x+8． 因为bc-ad=（x+7）（x+1）-x（x+8）=7． 所以bc-ad的值均为7． 故答案为：7，x+8，7，7； 【小问3详解】 同学们利用小宇的方法，借助2022年4月份的日历，继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择A或B． A．在日历中用“十字框”框住位置为 b a o d c 结论：bc-ad=-48， 理由．设中间O为y，则a=y-1，d=y+1，b=y-7，c=y+7， ∴bc-ad=（y-7）（y+7）-（y-1）（y+1）=-48， B．在日历中用“H型框”框住位置为 a d b o e c f 结论：dc-af=28． 理由：设中间O为m，则b=m-1，e=m+1，a=m-8，c=m+6，d=m-6．f=m+8， ∴dc-af=（m-6）（m+6）-（m-8）（m+8）=28． 【点睛】本题考查了日历中的数字问题，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会模仿例题解决问题． 21. 纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【答案】（1）米 （2）山体高度约为160米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质求解即可． （2）选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， ， （米），（米），（米）， 解得：（米）． 【小问2详解】 解：选择方案一无法算出，故不能解决问题． 选择方案二进行问题解决： 根据题意可得， ，， ， ，， ， 可得， （米）， （米）， 山体高度约为160米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=； 【方法应用】①证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①略 ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点C的坐标为； （2） （3）存在；m的值为4或 【解析】 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【小问1详解】 解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ 【小问2详解】 解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，． 根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第三次模拟教学质量自查试卷 （九年级数学） （全卷满分120分，考试用时为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数等于（ ） A. B. C. D. 5 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用．已知每个光量子的波长约为毫米，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列关于反比例函数的说法，正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象位于第二、四象限 C. 点在该函数的图象上 D. 在每一象限内，y随x的增大而减小 7. 如图1是某款汽车一扇车门打开实物图；如图2是车门侧开示意图，已知汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，当车门关闭时，，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. 4cm B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数，的图像上，点在反比例函数的图像上， 轴于点．且，则的值为（ ） A. -3 B. -6 C. 2 D. 6 10. 如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 如图，点在线段上，，，以为边在上方作正方形，连接交于点，则线段的长为_____________． 13. 已知不等式6x+1＞5x﹣2的最小整数解是方程2x﹣kx＝4﹣2k的解，则k＝_____． 14. 如图是一个电路图，从，，，这四个开关中，随机闭合一个，再从剩余的3个开关中随机闭合一个，则小灯泡能发光的概率是__________． 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解分式方程． 17. 开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： （1）请你将上述讨论过程补充完整． （2）完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 18. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为深入贯彻习近平总书记关于“爱读书、读好书、善读书”的重要指示精神，教育部于2026年4月发布《中国青少年阅读素养框架》教育行业标准．依据这一框架，某校从七年级学生中随机抽取40名进行阅读素养测评（满分20分），将测评成绩分为5组（每组成绩含最小值不含最大值）进行整理，绘制成如下的频数直方图： 【数据整理】 说明：①在组内的10个数据为：；；；；；；；；； ②其他各组内的数据均无重复． 【数据分析】 40名同学阅读素养测评成绩分析数据统计表 平均数/（分） 众数/（分） 中位数/（分） 【问题解决】 （1）表中________，________； （2）若将阅读素养测评得分不低于17分划定为“良好”，由此可估计该校七年级共400名学生中，阅读素养达到“良好”等级的约有________人； （3）学校对数据进行分析后，最终决定将对本次阅读素养测评成绩在前一半的学生进行表彰．学生小王说：“我的测评成绩比年级平均分高，所以我一定能受到表彰！”他的分析合理吗？请你进行判断，并说明理由． 20. 数学活动-探究日历中的数字规律 如图1是2022年2月份的日历，小宇在其中画出两个2×2的方框，每个框均框住位置为的四个数，计算“bc-ad”的值，探索其运算结果的规律． （1）计算：2×8-1×9＝ ，19×25-18×26= （2）小宇通过特例分析，猜想所有日历中，2×2方框里“bc-ad”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整； 解：bc-ad的值均为 ．理由如下： 设a＝x，则b＝x＋7，c＝x＋1，d＝ 因为bc-ad＝ 所以bc-ad的值均为 （3）同学们利用小宇的方法，借助2022年4月份的日历，继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择 A，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由． B．在日历中用日数柜框住位置为的七个数，探究bc-ad的值的规律，请写出你的结论，并说明理由． 21. 纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； （2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； （3）连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $