山西省晋中市祁县2025-2026学年八年级下学有数学期末试题

2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷闭卷作答，全卷共7页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 选择题 （共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1．计算的结果为 A． B． C． D． 2．随着新能源汽车产业的快速发展，国产汽车品牌通过标志设计传递品牌理念与技术特色．以下四个国产新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．如图，小明借助直尺和三角尺，先作，再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是 A．， B．， C．， D．， 4．一元一次不等式的最小整数解是 A．-1 B．0 C．1 D．3 5．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的 A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 6．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是 A． B． C． D． 7．一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从城到城需小时，如果该车的速度每小时增加千米，那么从城到城需要的时间为 A． B． C． D． 8．如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为 A． B． C． D． 9．图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏酒或食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴．其从上面看到的图形如图②所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则放置冰块部分的面积为 A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，点，为平面内的点，且点的坐标为．若四边形是以为边的平行四边形，且的面积为8，则下列说法正确的是 A．，为任意实数 B．，为任意实数 C．为任意实数， D．为任意实数， 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ▲ ． 12．剪纸是非物质文化遗产之一，精美的剪纸作品中还蕴含着独特的数学奥秘．如图，这是一幅正八边形窗花，这个正八边形每个外角的度数为 ▲ ． 13．如图，沿射线的方向平移，得到，若，则，两点的距离为 ▲ ． 14．如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则 ▲ （用含的代数式表示）． 15．在平行四边形中，，，，点是的中点，于点，连接，，则的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共9分，（1）题4分，（2）题5分） （1）因式分解： （2）化简： 17．（本题8分）下面是小亮同学进行解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程① 方程两边都乘以，得： ② 解得： 是原方程的根． 任务： （1）小明分析：不是原方程的根，而是方程 ▲ （填序号）的根；因为它使原分式方程的分母为零，所以它是原方程的 ▲ ． （2）请根据小明的分析，就分式方程解法的过程需要注意的事项给其他同学提一条建议． （3）根据总结的解题经验，解方程：． 18．（本题8分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向右平移4个单位后的，点，，的对应点分别为，，． （2）再画出绕点顺时针旋转后的，点，的对应点分别为，． （3）直接写出点的坐标为 ▲ ． 19．（本题8分）为响应国家“碳达峰、碳中和”目标，某建筑工地计划同时使用甲型（纯电动）和乙型（柴油）两种挖掘机．工地每日获得的碳排放限额为900千克．经测算，每台甲型挖掘机每日碳排放42千克，每台乙型挖掘机每日碳排放78千克．现需共调配15台挖掘机，且每日总碳排放不得超过限额．问甲型挖掘机至少需要调配多少台？ 20．（本题9分）如图，为等边三角形，点为的中点，连接．过点作交的延长线于点，点为的中点，连接并延长，交于点．判断与的位置关系，并说明理由． 21．（本题9分）当前无人配送技术快速发展，某外卖平台计划购进一批无人送外卖车，分为小型和大型两种型号，共计12辆．已知每辆大型车的价格是小型车的2倍，且平台计划投入30万元专门用于购买小型车，投入60万元专门用于购买大型车（资金恰好全部用完）． （1）求每辆小型车的价格为多少万元． （2）车辆全部投入使用后，每辆小型车每天可完成10个配送点的任务，每辆大型车每天可完成15个配送点的任务，则所有车辆每天共可完成 ▲ 个配送点的任务． 22．（本题11分）阅读与思考下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 三角形的“和谐线” 【阅读材料】 在三角形中，从一个顶点出发向对边作一条线段，如果这条线段恰好将原三角形分割成两个等腰三角形，那么这条线段就叫做该三角形的“和谐线”，而线段在对边上的端点则称为“和谐点”． 例如，下列各图中的线段将分成了两个三角形，且和都为等腰三角形．图①中，；图②中，；图③中，．这些图中的线段都是的和谐线，点都是和谐点． 【问题解决】 问题1：如图②，在中，，，是的和谐线，图中的的形状是 ▲ ． 问题2：如图④，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条和谐线． 证明：是线段的垂直平分线， （依据）， 是等腰三角形，… 任务： （1）问题1中的的形状是 ▲ ，问题2中的依据是 ▲ ． （2）补全问题2的证明过程． （3）如图⑤，已知线段和线段，求作，使得点在边上，，且是的一条和谐线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；作出一种即可）． 23．（本题13分）综合与探究 问题情境： 活动课上，同学们以平行四边形为背景探究图形变换中的数学问题：如图1，在平行四边形中，对角线，，，将绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别是点，）旋转过程中直线与直线相交于点． 特例分析： （1）如图2，“善思”，小组画出了点落在延长线上时的情形，猜想此时线段与的数量关系，并说明理由． （2）在图2的基础上，“勤学”小组连接并延长交于点，如图3，证明四边形是平行四边形． 拓展探究： （3）在图1的基础上，若将继续绕着顺时针旋转，当直线垂直于直线时，请直接写出的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测 八年级数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1-5 CACAB 6-10 CBDDC 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分） 11． 12．45 13．3 14． 15． 三、解答题（共75分） 16．解：（1）原式 2分 4分 （2）原式 6分 8分 9分 17．解：（1）② 增根 2分 （2）解分式方程必须检验． 3分 （3） 因为分式中分母不能为零，所以． 4分 方程的两边同乘，得 5分 解得，． 6分 检验：将代入原方程， 得左边，右边，左边右边， 7分 是原方程的根． 8分 18．解：（1）（2）如图所示，和即为所求； 注：三角形的每个顶点标对得1分． 6分 （3） 8分 19．解：设甲型挖掘机需要调配台， 1分 则乙型挖掘机需要调配台 由题意可得， 4分 解得， 6分 因为为整数，取最小值，所以 7分 答：甲型挖掘机至少需要调配8台． 8分 20．解：． 1分 理由如下：为等边三角形， ， 2分 ∵点为的中点，． 3分 ，，， ∵点为的中点，， 为等边三角形， 6分 ， ， 8分 ． 9分 21．解：（1）设每辆小型车的价格为万元， 1分 则每辆大型车的价格为万元． 由题意可得，， 4分 解得，． 6分 经检验，是原方程的解，且符合题意． 7分 答：每辆小型车的价格为5万元． 8分 （2）150 9分 22．解：（1）直角三角形 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 2分 （2）证明：（是线段的垂直平分线，， 是等腰三角形，）， 3分 是的外角，， 4分 ，， ，是等腰三角形 6分 是的一条和谐线． 7分 （3）答案不唯一：∴如图，即为所求． 11分 （注：作对点得1分，作对点得2分，写结论得1分） 23．解：（1），理由如下： 1分 方法一：∵四边形是平行四边形， ，，，， 2分 绕点顺时针旋转得到，， ，，， 3分 在和中， 4分 ，； 5分 方法二：连接， ∵四边形是平行四边形，，，， 2分 绕点顺时针旋转得到，， ，，， 3分 ∴四边形是平行四边形， 4分 ； 5分 （2）证明：，，， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，． 6分 ，， 中，，，， 又，是等边三角形，， 7分 ，， ，， 9分 ∴四边形是平行四边形． 10分 （3）或．（答对1个得2分） 13分 学科网（北京）股份有限公司 $