1.1 三角形中的线段和角（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》（苏科版）

本初中数学讲义聚焦三角形中的线段和角，系统梳理三角形三边关系、边与角的关系，以及中线、角平分线、高的定义与性质，构建从基本关系到具体线段的知识支架，为后续几何学习奠定基础。 资料以知识梳理结合达标检测设计，通过折纸示意图（如第5题）培养几何直观，木材市场选木棒（第15题）强化应用意识，多边形分割探究（第18题）发展推理能力，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 三角形中的线段和角（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的三边关系 知识点二三角形的边和角的关系 知识点三三角形的中线、角平分线、高 1、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段。 2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。 3、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。 一、选择题 1．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 2．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 3．、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 4．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 6．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 8．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 9．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 10．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有_______个． 11．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 12．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． ∵， 三、解答题 13．设，，是的三边，化简：． 14．如图，回答下列问题：    （1）写出以为顶点的三角形； （2）写出为内角的三角形； （3）写出以为边的三角形． 15．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． （1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ （2）选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 16．如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 17．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 18．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 三角形中的线段和角（知识梳理+达标检测） 知识点一三角形的三边关系 知识点二三角形的边和角的关系 知识点三三角形的中线、角平分线、高 1、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段。 2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。 3、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。 一、选择题 1．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 2．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 3．、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系得到，进而判断选项中哪个值不在该范围内． 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ， ， 选项中只有不在的范围内， 的长不可能是． 故选：． 4．在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 5．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（   ） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 6．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 二、填空题 7．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 9．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，角平分线定义等知识点，能求出和∠EAC的度数是解此题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：14． 10．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有_______个． 【答案】5 【分析】本题考查正方形格框中三角形面积的计算．根据题意找出使面积为1的点的个数即可得到答案． 【详解】如图， 当C取的点时，的面积均为， 当C取这5个格点时，的面积均为1， 当C取这些点时，的面积大于1， ∴是“环绕三角形”的有一共有5个， 故答案为：5． 11．如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 12．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于______． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 三、解答题 13．设，，是的三边，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系以及代数式化简求值，掌握三角形三边关系、绝对值的化简和合并同类项是解题的关键；根据三角形三边关系，得，，再对绝对值化简以及合并同类项，即可求解. 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，，， ∴，， ∴ . 14．如图，回答下列问题：    （1）写出以为顶点的三角形； （2）写出为内角的三角形； （3）写出以为边的三角形． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）直接写出以为顶点的三角形即可； （2）直接写出以为内角的三角形即可； （3）直接写出以为边的三角形即可． 【详解】（1）解：以为顶点的三角形有：． （2）解：以为内角的三角形有：． （3）解：以为边的三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义、三角形的顶点、内角、边等知识点，理解三角形的定义是解答本题的关键． 15．某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． （1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ （2）选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】（1）5种选择 （2），理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 16．如图，为的中线，为的中线． （1）已知，的周长为，求的周长； （2）若的面积为，，则点到边的距离为多少？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可得的周长； （2）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长为：， ， 的周长为：； （2）解：设点到边的距离为， 为的中线，为的中线， ，， ， ， ，即点到边的距离为． 17．数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： （1）如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； （2）如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） （3）如图②，若，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 18．小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）． 【问题解决】 （1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____； 【问题探究】 （2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形； 【拓展延伸】 （3）直接写出y，m，n之间的关系：_____． 【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3） 【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键． （1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6； （2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可； （3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律． 【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3， 即当，时，； 如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6， 即当，时，； 故答案为：3；6； （2）当，时，；当，时，； 故当时，， 当，时，如图，； 综上，，； （3）根据（1）（2）可知当，时，； 当，时，； 当，时，； ， 当，时，； 当，时，； 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $