湖北省襄阳市第三中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

湖北省衰阳市第三中学校别训：志有远学济天不按风：文明和增务实进取 www x13z com 数风：爱失乐业严漢争优学风：自主勒查博学高效 2025~2026学年高一年级数学学科 6月月考试卷 命题人：刘艳茹 审题人：张华芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所 有师生中抽取一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n等于() A.80 B.100 C.192 D.200 2.一组从小到大排列的数据：3,4，，12,16，若这组数据的第60百分位数比平均数太2，则x 的值为() A.10 B.9 C.8 D.7 3.如图，在四面体OABC中，OA=2,OB=3,OC〧4，OALOB,QB⊥OC,OALOC, M为BC的中点，则点B到平面OMA的距离为(.) A.4 C.213 24 D. 3 号 5 4.已知数据×，为2，，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数 为2√a,则a=() A.16 B.8 C.4 D.2 5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,若∠A=60°，b=2,其面积为2N3, 则， a+b+c sin4+sinB+sinc（) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合 于点O且三组对边分别平行。如图2，点A,·B是“六芒星”的两个顶 点，动点P在“六芒星”内（包含边界），则OB.AP的取值范围是( a.[B.[引c[-6D.[8 图2六芒星 图1 7.已知△ABC中C为直角，分别以CA,CB,AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成 3个几何体，体积分别为，，若=3=牙，则%=（) 第1 A B.若 C. D. 8. 设△4BC的外心为0，若A0-BC+2Bo.C+3Co.AB=0,sinC=Y sinA,则cosA=（ A.75 B.53 C.5/6 D 6 24 18 12 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是 A.i+2+3+4=0 B.复数z=3-i的虚部为-i, C.若z=(1+2)2,则复平面内2对应的点位于第二象限、 D.已知复数z满足2-1=2+1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 10.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，点P在线段B,C上运动（包括端点），则下列结论证殲的是 ( D A.直线B,D与BD是异面直线， B A B.直线AP∥平面DC C异面直线4P与40质成角的取值范围是引 D D.当直线AP与直线BD,相交时，交点在靠近B的三等分点处 11.已知一组样本数据×，2，x的方差为3，则下列说法正确的是) A.X,x2,x3不可能都相等 B.x+k,3+k,+k的方差也为3 C.该组样本数据的平均数有最值 D.x+x3+x的最小值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,已知b=4,B=45,若△ABC有两解，则a 的取值范围是 13.若复数m2-m-12+(m2-10m+24)i>0,则实数m的取值为 14.已知三棱维A-BCD中三组相对的棱长分别相等，长度分别为√+a,V1+b，√a2+b,其中 4>0,b>0,a+b=2,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积的最小值为 页共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量ā，6满足la=6,且(a+2b)·(a-2b)=2,61(a-2. (1)求向量ā与五的夹角0的余弦值； (2)若向量ā-3b与a-36的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥AD,侧面PAB为等边三 角形，AD=2BC=2AB=4,E为PD中点. (I)求证：CE∥平面PAB; (2)设F为AB中点，PC=2√2，求直线CF与PA所成角的余弦值. 17.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.且V3 acosC-√3b=csinA. (1)求角A; (2)若△ABC的面积为 ,且sinB=2sinC. 2 ①求△ABC的周长； ②求sin(B-A). 第2可 18.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展 人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于DeepSeek 的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中 的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的 频率/组距 深度融合与创新.某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同 0.06 的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题)，收集其准 0.04 确率，整理得到如下频率分布直方图 0.02 (1)求图中a的值； 80859095100准确率% (②)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史） 与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%； ②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少（结果用分数表示）？ ②一份“优秀表现的试卷，DeepSeek的平均得分是多少（最后结果保留小数点后两位）？ 19.已知两个非零向量ā，五，在空间任取一点0，作OA=ā，OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角， 记作<a,6>.定义a与b的“向量积为：axb是一个向量，它与向量a,b都垂直，它的模a×b=d ·sin(亿，.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD,DP=DA=4,E为 线段AD上一点，AD×BP=85. (1)求AB的长； (2)若E为线段AD的中点，求二面角P-EB-A的正弦值： (3)线段PB上是否存在一点M,使得AD×BP=1EM,若存在，请求出风的值； 若不存在，请说明理由。 页共2页 湖北省来阳市￥三中学校训志有這远学济天下校风：文明和诣务交进趣题 ww x132 com 教：爱生乐业严漢争优学风：自丰勤蚕博学高效 2025~2026学年高一年级数学学科6月月考试卷答案 命题人：刘艳茹 审题人：张华芳 日期：2026.6.17 号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 案 C A B A D B B D AD BCD 号 11 12 13 14 答 案 ABD (4,4v2) 6 3π 15.（1)因为(d+2·d-2D=2,所以-46=2，即2-42=2， 又=6，所以=1； 3分 因为51d-20,所以奶·d-2=0,即d6-2=0,所以d.6=2=2, 5分 所以a0-品-号 1分 (2)d-3t·(tà-3=ta-(3t2+3)d.b+9ti=-6t2+15t-6, 由题意知位-3t场·(td-3>0且向量d-3t6与ta-36不同向共线，所以-6t2+15t-6>0 10分 当向量a-3t6与td-36同向共线时，d-3t6=k(td-3b(化>0)， 即得1=kt,-3t=-3k,解得t=k=1(负值舍去).所以-6t2+15t-6>0,且t≠1， 分 解得<t<2,且t≠1，即实数t的取值范围为（作，1）U(1,2) 13分 16.(1)证明：取PA中点G,连接BG,GE,EC :EG//AD,EG=号AD,BC//AD,BC=号AD·BC//GE,BC=GE :GBCE为平行四边形·GB/CE, 5分 又：CE平面PAB,BGC平面PAB ·CE/平面PAB 7分 (2)取PB中点H,连接FH,FH/PA,则∠CFH或其补角为直线CF与PA所成角，9分 PF2+FC2=PC2,PF⊥FC, 又：PF⊥AB,AB∩CF=F,AB,CFC平面ABCD,·PF⊥平面ABCD, 又：PFC平面PAB,∴.平面PAB⊥平面ABCD,平面PABA平面ABCD=AB, 又：BC⊥AB,BCC平面ABCD,·BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,BC⊥PB, 12分 AB L ADEPB=BC=2,AB =2,CH=BC2+PB)=5 2 E *CF=V5,HP=IPA=1,COSLCFH =S415=5 2×V5×1-10 所以直线CF与PA所成角的余弦值为得 15分 17.（1)由V3 acosC-V3b=csinA及正弦定理可得V3sinAcosC-V5sinB=sinCsinA, 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, V3sinAcosC-V3sinAcosC-V3cosAsinc sinCsinA, -V3cosAsinC sinCsinA, 因为C∈(0，)，所以sinC≠0，得tanA=-√3， 4分 因为A∈(0，)，所以A= 5分 (2)①因为△ABc的面积为号，所以对bcsinA=日bc=月，得bc=2, 由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c,则b=2,c=1, 1分 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=-4+1+4×号=7，得a=V万，9分 则△ABC的周长为3+V7;10分 ②由正孩定理品。=品=是=9得，snB-=得 则cosB=V1-sin2B=7 13分 则sn(B-)=sinBcosA-oinA=-号×号-青x9=- 14 15分 18.(1)由频率分布直方图可得5×(0.02+0.04+0.06+a)=1,解得a=0.08; 4分 （2)设中位数为m%,前两个矩形的面积之和为5×0.02+5×0.04=0.3， 前三个矩形的面积之和为0.3+5×0.08=0.7， 所以m∈(90,95)，则0.3+(m-90)×0.08=0.5,解得m=92.5, 所以估计准确率的中位数为92.5%； 8分 (3)①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为x,则理科题平均正确率为x+0.05, 优秀表现的准确率区间为[90,100]， 其平均准确率为：008×5X0925+0.06×5x0.975=06625= 3 0.08×5+0.06×5 0.7 56 10分 则405-君解得x=器 2 11分 则理科趣平均正确率为x+0.05=2+六=若 12分 ②文科得分为15×4×器=，理科得分为15×6×莞=号， 则DeepSeek的平均得分为7+69-9≈142.71分. 17分 19.(1)因为底面ABCD为矩形，所以AD/BC,BC上DC, 又PD⊥底面ABCD,BCC底面ABCD, 所以PD⊥BC,又PDnDC=D,PD,DCC平面PDC, 所以BC⊥平面PDC,又PCc平面PDC,所以BC⊥PC, 3分 因为AD/IBC,所以∠PBC为直线AD与PB所成角，即， 设AB=x(x>0),则PC=Vx2+42=Vx2+16,PB=√x2+42+42=Vx2+32, 在Rt△PC中，sinP8G=%- Vx2+32 又丽×B列=8V5,即4W2+32.+6=8V5,解得x=2或x=-2(舍去)， Vx2+32 所以AB=2. 5分 (2)在平面ABCD内，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F,连接PF,. PD⊥底面ABCD,BFc底面ABCD,所以PD⊥BF, 又DF⊥BF,DF n PD=D,DF,PDC平面PDF, 所以BF⊥平面PDF,又PFc平面PDF,所以BF⊥PF, 所以∠PFD为二面角P一BE一D的平面角， 7分 因为E为AD的中点，所以DF=2sin=V2,PF=J42+(V②2=3V2, B 所以cos∠PFD=票=品号=号 设二面角P一EB-A的平面角为8，则0=π-∠PFD, 所以cos6=cos(r-∠PFD)=-cos4PFD=-子 10分 所以sin0=V1-cos20=2y2,所以二面角P-EB-A的正弦值为 3 11分 (3)依题意，AD×B1AD,(AD×B1BP,又AD×B驴=EM, 所以EM⊥AD,EM⊥BP,又AD/BC,所以EM⊥BC, 又PBnBC=B,PB,BCc平面PBC,所以EM⊥平面PBC, 13分 在平面PDC内过点D作DN1PC,垂足为N, 由BC⊥平面PDC,DNc平面PDC,所以BC⊥DN, 又PCnBC=C,PC,BCc平面PBC,所以DN⊥平面PBC, 在平面PBC内过点N作MN/IBC交PB于点M,在DA上取点E,使得DE=MN, M 连接EM, 所以DE/MN且DE=MN,所以四边形DEMN为平行四边形， 所以成=N,网=产年=答即5=5 16分 所以--装=10 17分