湖北襄阳市第四中学2025-2026学年2026级高一卓越班5月月考数学试题

**基本信息** 襄阳四中高一卓越班5月月考数学卷，聚焦集合、函数、不等式核心知识，通过药物浓度衰减（第5题）、矩形花坛扩建（第17题）等实际情境及“M/N型函数”新定义题（第19题），分层考查数学抽象、运算求解与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、充分条件、函数性质|第5题结合医学情境考查指数衰减，体现应用意识| |多选题|3题|不等式最值、函数奇偶性与单调性|第10题综合函数性质判断，考查逻辑推理| |填空题|3题|函数求值、奇偶性与单调性|第14题构造函数单调性求解方程，考查转化思想| |解答题|5题|集合、不等式、实际应用、新定义|第17题矩形扩建融合函数建模与最值，第19题新定义函数考查创新思维|

襄阳四中2026级高一卓越班5月月考 数学试题 命题人：陈祥丽 审题人：高江涛 一、单选题 1．已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．命题“，使”的否定是（   ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 4．比较三个数的大小：，，（    ） A． B． C． D． 5．医学规定：服用某药物后，100mL血液中药物浓度不超过14mg时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患者至少经过多少小时后可正常驾驶.（   ） 参考数据：，， A．7 B．8 C．9 D．10 6．已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 7．已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.已知函数则方程的实数个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A．若，，则的最小值为7 B．当时，的最小值是4 C．设，，且，则的最小值是 D．当时，的最小值是3 10．已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 11．已知函数，则以下说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若在上单调递增，则 C．若，且关于x的方程有3个不等实数根，则实数m的范围为 D．若，且存在四个不等的实数使得，则的取值范围是 三、填空题 12． 则= ____. ． =___ 13.．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． 则函数的单调递增区间为______ 14．已知实数，满足，，则______. 四、解答题 15.设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 16．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m.    (1)试用表示矩形花坛的面积； (2)若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ (3)若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 18（1）设 （1）求函数的最大值. （2）当不等式在上有解时，求的取值范围. 19．记函数的定义域为，如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”；如果存在实数对，使得对任意满足且的恒成立，则称函数为“型函数”． (1)判断函数是“型函数”还是“型函数”，并说明理由； (2)若，证明：函数是“型函数”； (3)若函数定义域为，既是“型函数”又是“型函数”，当时，，试问是否存在整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论． 参考答案 1. 【答案】 B【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 2. 【答案】A 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 3. 【答案】A 4. 【答案】A 【详解】因为函数 在 为增函数，因为，所以，即， 因为函数 在上为减函数，，即， 因为，因为，则，又因为， 则，所以，即， 所以.故选：A. 5.【答案】B 【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过时，可正常驾驶机动车， 设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得， 即，两边同时取对数得， 即，， ，代入参考数据得， 整理得，故至少经过小时后可正常驾驶. 6.【答案】D 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 7.【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 8.【答案】C 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程的实根个数为11. 故选：C. 9.【答案】BC 【详解】对于A，由，得 ，当且仅当，即时取等号，A错误； 对于B，当时，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，，得， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，则， 当且仅当，即时取等号，D错误. 10.【答案】ABD 【详解】定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 11.【答案】AD 【详解】选项A：若，则， 所以，故A正确； 选项B：当时，在上单调递增，符合题意， 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以，解得， 综上a的取值范围是，故B错误； 选项C：若，则，则， 当时，，所以当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 因为关于x的方程有3个不等实数根， 所以与图象有3个不同交点，作出与图象，如图所示： 由图象可得或，故C错误； 选项D：若时，设， 即有4个不同的实根， 所以与图象有4个不同交点，作出与图象，如图所示： 因为为方程，即的根，所以， 为方程，即的根，所以， 所以， 根据C中结论及图象可得， 所以，故D正确； 故选：AD 12.【答案】24,104 13.【答案】（1）由上的奇函数，偶函数满足， 得，即， 联立解得，，所以所求解析式为，. （2）由（1）得，由，得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是. 14.【答案】2 【详解】由题意，而 易知函数为单调增函数， 因为，所以，从而， 所以， 故答案为：2. 15.【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 16.【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解：， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 17.【答案】(1) (2)最长为25米，最短为米 (3)的长为米时，总费用最少，最少为元 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. （2）依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. （3）矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 18.【答案】（1）①；②； （2）存在，100 【详解】（1）①， 令， 因为对称轴为函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. ②由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：在上有解， 0，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时， 综上：. 19.【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)存在整数，证明见解析 【分析】（1）根据题中定义逐一判断即可. （2）根据题中定义进行运算证明即可； （3）根据题中定义，结合周期的定义、二次函数的性质、结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）若函数是“型函数”， 则在实数对，使得对任意满足且的恒成立， ， 所以当时，存在实数对，所以函数是“型函数”； 假设为“型函数”， 则存在实数对，使得对任意满足且的恒成立， 所以由， 显然不是任意性，只有当时，方程才有解. 所以函数是“型函数”，不是“型函数. （2） ， 令， 所以存在实数对，使得成立， 所以函数是“型函数”. （3）因为是“型函数”， 所以. 因为是“型函数”， 所以， 所以有 ， 所以函数的周期为， 当时，， 当时，，所以， 当时，， 所以， 则当时，， 由， 二次函数的对称轴为，且开口向上， 当时，当时， 此时函数单调递增，， 要想有解，只需， 所以， 当时， 此时函数单调递减，， 要想有解，只需，显然不存在负整数使该不等式成立. 综上所述：存在整数，当时，不等式有解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $